2. Багатоканальна смо з очікуванням

Розглянемо n-канальну СМО з очікуванням, на яку надходить потік заявок з інтенсивністю λ; інтенсивністю обслуговування (для одного каналу)- μ; число місць очікування в черзі m.

Стан випадкового процесу можна пронумерувати по числу заявок, пов'язаних із системою:

S₀ - S_n - черги немає.

S₀ – всі канали вільні;

S 1-₁- зайнятий один канал, інші вільні;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S_к – зайнято к каналів, інші вільні;

S_n – зайняті всі канали;

S_n+1 – n каналів зайняті, одна заявка в черзі;

S_n+2 – n каналів зайняті, 2 заявки в черзі;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S_n+m - n каналів зайняті, m заявок у черзі.

Граф СМО має такий вигляд:

Випадковий процес із графом такого виду ставиться до процесу «загибелі й розмноження». Тому позначимо ρ=λ /μ запишемо відразу вираз для граничних імовірностей стану:

Р₁₌ ρ/1!* Р₀

Р₂₌ ρ^2/2!* Р₀

. . . . . .. . . . . .

Р_n= ρⁿ/n!* Р₀

Р_n+1= ρⁿ⁺¹/nn!* Р₀

Р_n+2= ρⁿ⁺²/n²n!* Р₀

_{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

Р_n+m= ρ^n+m/n^mn!* Р₀

Р₀ =ми властиво визначимо вище.

Визначимо х-ки системи:

Р_отк = Р_n+m = ;

Заявка одержує відмову, якщо зайняті всі канали й вільних місць в черзі немає.

Відносна пропускна здатність

q= 1-1- Р_отк = 1-1-

Абсолютна пропускна здатність

А= λ q= λ( 1-1-) ;

Середнє число зайнятих каналів позначимо Z.

Кожний зайнятий канал обслуговує в середньому μ заявок в одиницю часу. Всі СМО обслуговує А заявок в одиницю часу. Тому, якщо поділити А на μ одержимо середнє число зайнятих каналів.

Z=А/μ= λ/μ( 1-1- )= ρ( 1-1-).

Середнє число заявок у черзі можна обчислити як маточікування дискретної випадкової величини:

r = 1Р_n+1 +2 Р_n+2 +…+mР_n+m = 1

=

Вираз типу в дужках ми вже виконували раніше. Тому скористаємося раніше отриманим результатом. Одержимо:

r = *

Якщо скласти середнє число заявок у черзі r і число заявок, які обслуговуються каналами, одержимо кількість заявок, пов'язаних із системою:

θ= Z+ r

Середній час очікування заявки в черзі t_оч . Якщо заявка застане не всі канали заповненими, їй не доведеться чекати. Якщо вона прийде в момент, коли зайняті всі n каналів, а черги немає, їй доведеться чекати час у середньому 1/ nμ. Якщо застане зайнятими всі канали й одну заявку перед собою в черзі, їй доведеться в середньому чекати 2/ nμ. Якщо ж у черзі k заявок, їй доведеться чекати k/nμ. А якщо всі місця в черзі заповнені, то заявка не чекає - вона залишає систему.

Враховуючи вищесказане вираз для t_оч запишеться як:

t_оч =

Цей вираз відрізняється від виразу для середньої довжини черги тільки множником

1/ ρμ= 1/λ;

t_оч = r/λ; або остаточно

t_оч =

Контрольні запитання

1. Який граф станів випадкового процесу відповідає одноканальній СМО з очікуванням.

2. Які основні характеристики одноканальної СМО з очікуванням визначаються при аналізі системи.

3. Яка умова граничного сталого режиму одноканальної СМО з очікуванням при зростанні кількості місць для очікування до безкінечності.

4. Який граф станів випадкового процесу відповідає багатоканальній СМО з очікуванням.

5. Які основні характеристики багатоканальної СМО з очікуванням визначаються при аналізі системи.