Контрольні запитання

1. Що визначає термін «нетерплячі заявки»

2. Яким чином при описі графу багатоканальної СМО з очікуванням можна врахувати наявність нетерплячих заявок.

Рекомендована література

1. Е.С. Вентцель. Исследование операций. «Сов. радио» М, 1972.

10 .Лекція10.

Замкнені системи масового обслуговування

План лекції

1. Замкнені системи масового обслуговування.

2. Основні характеристики СМО.

3. Багатоканальні замкнуті СМО.

1. Замкнуті системи масового обслуговування

Якщо інтенсивність потоку вступників заявок залежить від стану самої СМО, також СМО називаються замкнутими.

Типовим представником замкнутої СМО є система, що моделює процес обслуговування (налагодження) декількох верстатів одним робітниками. Або одна централізована пам'ять обслуговує кілька процесів.

Кожний верстат може в будь-який момент вийти з ладу й зажадати обслуговування з боку наладчика. Інтенсивність потоку несправностей –. Верстат, що вийшов з ладу, він береться за налагодження верстата й витрачає на це деякий середній час

Тут (- інтенсивність потоку налагоджень або , стосовно до термінології СМО, обслуговування.

Якщо в момент виходу верстата з ладу робітник зайнятий, верстат стає в чергу на обслуговування й чекає, поки робітник не звільниться.

Становить інтерес визначити:

• імовірність того, що робітник не буде зайнятий;

• імовірність наявності черги;

• середнє число верстатів, що очікують черги;

цікаво те, що в такій системі джерелами заявок є верстати, число яких відображено й вони подають або не подають заявки залежно від свого стану. Якщо верстат вийшов з ладу, він перестає бути джерелом заявок. Інтенсивність загального потоку заявок, що надходять на обслуговуючий прилад (робітника) залежить від того, скільки є несправних верстатів. У замкнутій системі масового обслуговування джерела заявок поряд з каналами обслуговування розглядаються як елементи СМО.

Розглянемо граф станів випадкового процесу, що описує наведене завдання про простій верстатів. Стани процесу будемо нумерувати по числу несправних верстатів:

S₀ – всі верстати несправні, робітник вільний;

S₁ – один верстат несправний, робітник зайнятий його налагодженням;

S₂ – два верстати несправні, один налагоджується, інші в черзі.

S_n – всі n верстатів несправні, один налагоджується, n-1 верстат у черзі.

Граф випадкового процесу можна представити як:

Він являє собою варіант графа процесу «загибелі й розмноження». Тому, підставивши відповідні інтенсивності потоків у раніше отриманий вираз для граничних імовірностей станів процесу «загибелі й розмноження» одержимо:

2. Основні характеристики смо.

Очевидно, що замість абсолютної здатності системи тут буде становити інтерес середня кількість несправностей, що усуваються в одиницю часу.

Робітник зайнятий налагодженням з імовірністю

P_зап= 1-P₀ ;

Якщо він зайнятий, він обслуговує  верстатів в одиницю часу. Отже його пропускна здатність або середня кількість несправностей, що усуваються в одиницю часу дорівнює:

A=( 1-P₀)

Відносна пропускна здатність для замкнутих СМО просто не має змісту, тому що кожна заявка зрештою завжди буде обслужена.

Імовірність того, що робітник не буде зайнятий

P_вільн.= 1-Р_зап=Р₀

Становить інтерес середнє число несправних верстатів. Воно буде дорівнює:

w=1*p₁+2*p₂+…+n*p_n

Або цю ймовірність можна простіше знайти через величину А.

Дійсно, кожний працюючий верстат породжує потік несправностей . У такій системі в середньому працює n-w верстатів. Породжуваний потік несправностей у середньому буде дорівнює

( n-w)(

і всі вони усуваються робітником. Т.т.

( n-w)=( 1-p₀).

Звідси

де =/

Можна визначити середнє число верстатів r, що очікують наладчиків черги.

Загальне число верстатів, пов'язаних з обслуговуванням - випадкова величина w. Вона складається із числа верстатів R, що стоять у черзі. Число верстатів, що безпосередньо перебувають під обслуговуванням W=R+.

=1, якщо робітник зайнятий;

=0, якщо він вільний.

Т.т. середнє значення  дорівнює граничній ймовірності того, що робітник зайнятий

= 1-P₀.

Віднявши цю величину від числа верстатів, зв'язаних (тобто несправних), отримаємо середнє число верстатів, що очікують обслуговування в черзі.

Становить інтерес продуктивність групи верстатів, що обслуговуються робітником.

Знаючи середнє число несправних верстатів і продуктивність l справного верстата в одиницю часу, можна оцінити середню втрату продуктивності групи верстатів в одиницю часу за рахунок несправностей .

L=w*l, або відносну втрату продуктивності групи верстатів за рахунок несправності =w/n.

Завдання про простій верстатів легко інтерпретувати як процес обслуговування декількох процесів одним запам'ятовувальним пристроєм.

Наприклад.

Маємо три процесори, кожний з них звертається до пам'яті 2 рази в мікросекунду. Середній час обслуговування пам'яттю 100nсек.

Тобто маємо:

n=3, =2,

=1/t_об=10,

=2/10=0.2.

P₀=1/(1+3*0.2+3*2*0.04+3*2*1*0.012)=0.525

w=0.62; =0.62/30.21, тобто процесори втрачають близько 20% продуктивності.