3. Багатоканальні замкнуті смо

Можна розглянути й більше загальний випадок.

Бригада з m робітників обслуговує n верстатів. (m<n)

Стан системи:

S₀ – всі верстати працюють, робітники відпочивають;

S₁ – один верстат зупинився, один робітник зайнятий;

S₂ – два верстати зупинилися, два робітники зайнятий;

…

S_m – m верстатів зупинилися, всі робітники зайняті;

S_m+1 – (m+1) верстат зупинився, m з них налагоджують;

…

S_n – всі n верстатів зупинилися, m з них налагоджуються n-m коштують у черзі.

Граф станів випадкового процесу:

S₂

Для визначення граничних імовірностей системи можна скористатися загальними виразами для відповідних імовірностей процесу «загибелі й розмноження».

Через ці ймовірності виражається середнє число Z зайнятих робітників

Z=0P₀+1P₁ +2P₂ +…+m(P_m+P_m+1+…+P_n)

Через Z, у свою чергу, можна виразити середнє число верстатів , що обслуговуються бригадою в одиницю часу

A=Z*, а так само середнє число несправних верстатів w= n-n-(Z/)= n-Z/, звідси, знаючи w  l, можна визначити величину L і .

Контрольні запитання

1. Які системи СМО називають замкненими.

2. Яким чином граф випадкового процесу враховує кінечність джерела заявок.

3. Які основні характеристики замкненої СМО.

Рекомендована література

1. Е.С. Вентцель. Исследование операций. «Сов. радио» М, 1972.

11 Лекція11.

Не-марківські СМО

План лекції

1. СМО з не-пуасонівськими потоками подій.

2. СМО з відмовами.

3. Одноканальна СМО з очікуванням.

4. Задача про простій верстатів.

1. СМО з не-пуасонівськими потоками подій.

Всі розглянуті нами випадки відносилися тільки до СМО, які представлялися безперервною марковською метою з дискретними станами й безперервними часами.

Потоки, які переводили випадковий процес зі станів у стан були пуассоновськими.

Для одержання величин граничних імовірностей стану було необхідно, щоб ці потоки були ще й найпростішими, тобто з постійними інтенсивностями, які б не змінювалися в часі.

На практиці часто виявляється , що потоки подій , що діє в СМО, істотно відрізняються від найпростіших. Особливо це відноситься до потоків обслуговування.

Строго говорячи, якщо закон розподілу часу обслуговування відрізняється від показового, розглянутими нами методи є в загальному випадку некоректними. Тобто не можна записати ні лінійних диференціальних рівнянь для ймовірностей станів, ні лінійних алгебраїчних рівнянь для граничних імовірностей станів.

Математичний апарат дослідження стає дуже складним і аналітичні формули можна одержати тільки для ряду дуже простих випадків.

Для початку приведемо без доказу деякі результати, отримані в цій області.

2. Смо з відмовами.

Розглянемо випадок, коли на n - канальну СМО надходить найпростіший потік з інтенсивність , а час обслуговування має довільний розподіл з математичними очікуваннями

В 1959р. Севастьяновим В.А. було доведено, що в цьому випадку формули Ерланга для ймовірностей стану виявляються справедливими й

3. Одноканальна смо з очікуванням.

Нехай маємо одноканальну СМО з необмеженою чергою: n=1, m=. На її вхід надходить найпростіший потік заявок з інтенсивністю . Закон розподілу часу обслуговування f(t) – довільний, з математичним очікуванням t_об=1/ і середнім квадратичним відхиленням _tоб; (_tоб=Д_tобс).

Величина _tоб/t_об= і називається коефіцієнтом варіації часу обслуговування. Цей коефіцієнт, t сутності, показує на скільки великий розкид часу обслуговування щодо його середнього значення.

Кофман А. і Крюн Р. у книзі «Массовое обслуживание. Теория и применение» «Мир», М., 1965р. довели, що середнє число заявок, що перебувають у черзі, для такої системи виражається формулою:

Середній час очікування в черзі виражається формулою:

Ці наведені формули називаються формулами Полячека-Хинчина.

Для показового розподілу коефіцієнт варіації

І наведені формули в цьому випадку перетворюються в отримані раніше нами для відповідної СМО, а саме

Цікаво розглянути інший граничний випадок, коли час обслуговування взагалі не випадковий і дорівнює своєму маточікуванню. t_оч=1/

У цьому випадку _tоб=0; =0 і відповідні формули дають:

Тобто середнє число заявок у черзі й середній час очікування при строго постійному часі обслуговування, розподіляють за показовим законом.