№ 1

1. Заміна змінних в кратних інтегралах. Подвійний інтеграл в полярній системі координат.

2. Знайти циркуляцію поля вздовж замкненого контуру С: , який обходиться проти годинникової стрілки.

3. Знайти потік векторного поля через внутрішню сторону частини поверхні , яка розташована в першому октанті.

4. Знайти екстремуми функції .

5. Знайти розв’язок задачі Коші .

№ 2

1. Диференціювання складеної функції багатьох змінних. Повна похідна функції.

2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями .

4. Знайти екстремум функції за умови .

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 3

1. Деякі типи ДР: диференціальні рівняння першого порядку з відокремленими та відокремлюваними змінними; однорідні ДР першого порядку.

2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.

3. Знайти масу частини поверхні , яка відтинається від неї циліндром при заданій поверхневій густині маси .

4. Знайти найбільше та найменше значення функції в області

5. Знайти розв’язок задачі Коші .

№ 4

1. Задача про обчислення маси матеріальної кривої. Криволінійні інтеграли І роду (по довжині дуги). Означення та обчислення, фізичний зміст та властивості. Криволінійні інтеграли І роду (по довжині дуги): означення, умови існування, фізична зміст та обчислення.

2. Знайти масу кардіоїди , якщо лінійна густина маси .

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями .

4. Знайти екстремуми функції .

5. Знайти криву, для якої довжина відрізка, що його нормаль відтинає від осі ОХ, дорівнює .

№ 5

1. Означення ФСР ОЛДР n-го порядку. Необхідні та достатні умови існування такої системи.

2. Показати, що поле потенціальне та знайти роботу поля при переміщенні матеріальної точки від точки А(-1,2) до В(2,3).

3. Знайти масу частини однорідної поверхні яка відтинається від неї поверхнями , перший октант.

4. Знайти екстремум функції за умови .

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 6

1. Задача про роботу змінної сили по переміщенню матеріальної точки вздовж кривої. Криволінійні інтеграли ІІ роду (за координатами). Означення та фізичний зміст, властивості. Криволінійні інтеграли ІІ роду загального виду.

2. Знайти масу однієї арки циклоїди якщо лінійна густина маси

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями .

4. Знайти площу фігури, обмеженої лініями

5. Знайти розв’язок задачі Коші .

№ 7

1. Потенціальні векторні поля та їх властивості. Скалярний потенціал векторного поля: означення та його обчислення. Необхідна і достатня ознака потенціальності векторного поля.

2. При заданій густині заряду знайти заряд, розподілений вздовж відрізка прямої від А(0,0) до В(4,3).

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону частини поверхні

4. Знайти екстремум функції

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 8

1. Зв’язність області. Формула Гріна: формулювання та доведення.

2. Знайти масу заряду, розподіленого вздовж астроїди , якщо лінійна густина заряду .

3. Знайти потік векторного поля через внутрішню частину поверхні

4. Знайти екстремуми функції .

5. Знайти розв’язок задачі Коші .

№ 9

1. ОЛДР n-го порядку: ФСР, структура загального розв’язку, формула Остроградського-Ліувілля.

2. Знайти циркуляцію поля вздовж кола , яке обходиться проти годинникової стрілки.

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону частини поверхні , яка розташована в І октанті .

4. Знайти найбільше та найменше значення функції в області .

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 10

1. ДР n-го порядку: загальний вигляд; задача Коші; загальний розв'язок; теорема Коші. Існування та єдиність розв’язку задачі Коші.

2. Знайти роботу сили , яка виконується при переміщенні матеріальної точки вздовж ламаної , якщо .

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями

4. Знайти екстремум функції .

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 11

1. Потенціальні та соленоїдальні векторні поля: означення та їх властивості. Векторні труби.

2. Знайти масу заряду , розподіленого вздовж лінії якщо задана густина заряду .

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями

4. Знайти найбільше та найменше значення функції в області

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 12

1. Поняття подвійного інтегралу, його обчислення по прямокутній та довільній області. Геометричний зміст. Фізичні застосування подвійного інтеграла. Теорема про середнє в подвійному інтегралі.

2. Знайти масу петлі кривої (першої арки), якщо лінійна густина маси дорівнює .

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону частини поверхні , якщо .

4. Знайти екстремуми функції .

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 13

1. Поняття подвійного інтегралу Рімана по області, необхідна умова існування, класи інтегрованих функцій, геометричний та фізичний зміст. Властивість лінійності в подвійному інтегралі.

2. Знайти масу дуги лінії від до , якщо лінійна густина маси

3. Знайти потік векторного поля через внутрішню сторону частини поверхні

4. Знайти екстремум функції

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 14

1. Заміна змінних в кратних інтегралах. Потрійний інтеграл в циліндричних і сферичних координатах.

2. Знайти циркуляцію поля вздовж замкненого контуру С: , який обходиться проти годинникової стрілки.

3. Знайти потік векторного поля через внутрішню сторону частини поверхні , яка розташована в першому октанті.

4. Знайти екстремуми функції .

5. Знайти розв’язок задачі Коші .

№ 15

1. Частинний та повний прирости функції в точці. Частинні похідні функцій багатьох змінних та їх геометричний зміст при n=2. Диференційованість функції багатьох змінних в точці (означення). Необхідна та достатня умови диференційовності функції. Диференціал функції.

2. Знайти координати центра ваги однорідної дуги циклоїди , якщо .

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону частини поверхні

5. Знайти екстремум функції за умови.

№ 16

1. Формула Тейлора для функції багатьох змінних.

2. Знайти масу дуги кубічної параболи , якщо лінійна густина маси дорівнює .

3. Знайти потік векторного поля через внутрішню сторону частини поверхні , яка розташована у І октанті.

4. Знайти екстремум функції за умови .

5. Знайти загальний розв’язок рівняння

№ 17

1. Локальний екстремум функції багатьох змінних: означення, необхідна та достатня умови існування.

2. Знайти роботу сили , яка виконується при переміщенні матеріальної точки вздовж дуги в напрямку зростання параметру.

3. Знайти масу частини поверхні , яка відтинається від неї поверхнями , (І октант), якщо поверхнева густина маси дорівнює

4. Знайти екстремум функції .

5. Зінтегрувати диференціальне рівняння:

№ 18

1. Існування неявно заданої функції та її диференціювання.

2. При заданій лінійній густині заряду знайти масу заряду, розподіленого вздовж лінії, яка задана параметрично .

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями

4. Знайти екстремум функції за умови

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 19

1. Квадратична форма n-змінних: означення, знаковизначеність. Критерій Сильвестра.

2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.

3. Знайти масу частини однорідної поверхні , яку відтинає від неї поверхня

4. Знайти екстремуми функції .

5. Зінтегрувати диференційне рівняння: .

№ 20

1. Однорідні функції. Однорідні диференціальні рівняння 1-го порядку та ті, що зводяться до них.

2. При заданій густині заряду знайти заряд, розподілений вздовж відрізка прямої від А(0,0) до В(4,3).

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону частини поверхні

4. Знайти екстремум функції

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 21

1. Дивергенція векторного поля: означення та її властивості. Формула Остроградського-Гауса в координатній і векторній формі.

2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.

3. Знайти масу однорідної частини поверхні , вирізаної з неї поверхнями (І октант).

4. Знайти умовні екстремуми функції за умови

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 22

1. Лінійно залежні і лінійно незалежні системи функцій. Визначник Вронського для лінійно-залежних систем функцій.

2. При заданій лінійній густині маси , знайти масу лінії

3. Знайти потік векторного поля через внутрішню частину поверхні , яка розташована у першому октанті.

4. Знайти екстремуми функції

5. Знайти загальний розв’язок рівняння

№ 23

1. Площа криволінійної поверхні: означення та її обчислення за допомогою подвійного та поверхневого інтегралів.

2. Знайти роботу сили , при переміщенні матеріальної точки вздовж дуги , якщо .

3. Знайти потік радіус-вектора точки через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями

4. Знайти екстремуми функції .

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 24

1. Умовний екстремум функції багатьох змінних: означення, необхідна умова існування. Обчислення методом виключення і Лагранжа.

2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями

4. Знайти екстремуми функції .

5. Знайти розв’язок задачі Коші .

№ 25

1. Диференціальні операції другого порядку в стаціонарних та векторних полях.

2. Знайти масу петлі кривої (першої арки), якщо лінійна густина маси дорівнює .

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону частини поверхні , якщо .

4. Знайти екстремуми функції .

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 26

1. Потрійний інтеграл: означення та обчислення зведенням до повторного. Геометричний та фізичний зміст. Застосування потрійних інтегралів в механіці.

2. Знайти роботу сили , при переміщенні матеріальної точки вздовж прямої від точки А(1,1,1) до точки В(2,3,4).

3. Знайти масу однорідних частин поверхні кулі , які відтинаються від неї циліндром .

4. Знайти екстремуми функції .

5. Зінтегрувати диференційне рівняння:

№ 27

1. Скалярне поле. Похідна скалярного поля за напрямом. Градієнт скалярного поля та його властивості.

2. Знайти масу всієї кардіоїди , якщо лінійна густина маси

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону частини поверхні , яка розташована у І октанті.

4. Знайти екстремуми функції за умови .

5. Знайти криві, для яких площа трикутника, утвореного віссю ОХ, дотичною і радіус-вектором точки дотику, стала і дорівнює .

№ 28

1. Дотична площина і нормаль до поверхні. Геометричний зміст диференціалу двох змінних.

2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.

3. Знайти центр ваги частини поверхні параболоїда , яка відтинається від нього площиною , якщо поверхнева густина маси обернено пропорційна до .

4. Знайти екстремум функції .

5. Знайти розв’язок задачі Коші .

№ 29

1. Векторне поле. Потік векторного поля через просту і замкнену поверхню. Фізичний зміст потоку векторного поля.

2. При заданій лінійній густині заряду знайти заряд, розподілений вздовж лінії .

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями .

4. Знайти екстремум функції за умови .

5. Знайти розв’язок задачі Коші .

№ 30

1. Диференціальні рівняння вищих порядків, що допускають зниження порядку.

2. Знайти роботу сили , яка виконується при переміщенні матеріальної точки вздовж дуги в напрямку зростання параметру.

3. Знайти масу частини поверхні , яка відтинається від неї поверхнями , (І октант), якщо поверхнева густина маси дорівнює

4. Знайти екстремум функції .

5. Зінтегрувати диференціальне рівняння: .

№ 31

1. Умови незалежності криволінійного інтегралу ІІ роду від форми кривої інтегрування.

2. Знайти циркуляцію поля вздовж замкненого контуру С: , який обходиться проти годинникової стрілки.

3. Знайти потік векторного поля через внутрішню сторону частини поверхні , яка розташована в першому октанті.

4. Знайти екстремуми функції .

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 32

1. Диференційовність функції багатьох змінних в точці. Поняття диференціалу в точці та його властивості. Наближені обчислення за допомогою диференціала.

2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями .

4. Знайти екстремум функції за умови .

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 33

1. Лінійні ДР першого порядку; рівняння Бернуллі.

2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.

3. Знайти масу частини поверхні , яка відтинається від неї циліндром при заданій поверхневій густині маси .

4. Знайти найбільше та найменше значення функції в області

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 34

1. Векторне поле. Циркуляція та ротор векторного поля. Теорема Стокса про зв’язність між ними.

2. Знайти масу кардіоїди , якщо лінійна густина маси .

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями .

4. Знайти екстремуми функції .

5. Знайти криву, для якої довжина відрізка, що його нормаль відтинає від осі ОХ, дорівнює .

№ 35

1. ОЛДР n-го порядку. Властивості розв’язків ОЛДР n-го порядку та структура загального розв’язку ОЛДР n-го порядку.

2. Показати, що поле потенціальне та знайти роботу поля при переміщенні матеріальної точки від точки А(-1,2) до В(2,3).

3. Знайти масу частини однорідної поверхні яка відтинається від неї поверхнями , перший октант.

4. Знайти екстремум функції за умови .

5. Знайти розв’язок задачі Коші

№ 36

1. Орієнтація поверхні. Поняття поверхневого інтегралу ІІ роду, правило обчислення по простій поверхні, зведення до подвійного, властивості, геометричний і фізичний зміст.

2. Знайти масу однієї арки циклоїди якщо лінійна густина маси

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями .

4. Знайти площу фігури, обмеженої лініями

5. Знайти розв’язок задачі Коші .

№ 37

1. Ротор векторного поля: означення, властивості, інваріантне означення, фізичний зміст. Формула Стокса в векторній формі.

2. Знайти масу заряду, розподіленого вздовж кривої , якщо лінійна густина заряду

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями (І октант).

4. Знайти екстремум функції

5. Знайти закон руху матеріальної точки, маса якої , по прямі ОА під дією відштовхуючої сили, обернено пропорційної кутові відстані х=ОМ від точки М до нерухомого центру.

№ 38

1. Означення ДР та його розв’язку. ДР 1-го порядку. Поле напрямів і ізоклін. Теорема Коші. Загальний розв’язок і розв’язок задачі Коші.

2. Знайти масу заряду, розподіленого вздовж дуги , якщо лінійна густину заряду

3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону частини поверхні

4. Знайти загальний розв’язок рівняння

5. Знайти найбільше та найменше значення функції в області області D:

№ 39