18

1.Квантова теорія вільних електронів у кристалі.

Квантова теорія вільних електронів базується на тих же відомих експериментальних даних з властивості металів, що і класична теорія (велика електро- та теплопровідність металів, збільшення електричного струму зі збільшенням температури та ін.). Але спосіб опису електронів в цій теорії був принципово інший в порівнянні з класичною теорією. Стан електрона описувався за допомогою хвильової функції, а розподіл колективізованих зовнішніх електронів за станами, визначався законами квантової статичної фізики

Хвильова функція вільних електронів

Хвильову функцію вільних електронів в кристалі треба знаходити з рівняння Шредінгера для стаціонарного стану, тобто коли потенціальна енергія

.

Рівняння Шредінгера:

(2-1)

де, ∆ - оператор Лапласса;

- хвильова функція вільного електрону;

ħ – стала Планка;

m – маса електрона;

Е – енергія (кінетична).

В одновимірному випадку рівняння має вигляд:

(2-2)

Позначимо вираз:

(2-3)

Параметр к пов’язаний з енергією електрона і від нього залежить хвильова функція. Він відіграє дуже важливу роль в квантовій теорії твердого тіла.

(2-4)

Знайдемо розв’язок рівняння (2-4). Розв’язок цього рівняння має вигляд:

(2-5)

де, r₁, r₂ – корні характерного рівняння:

(2-6)

(2-7)

(2-8)

де, і = √-1

Тоді загальний розв’язок рівняння буде мати вид:

(2-9)

Індекс k в рівнянні (2-9) ми пишемо тому, що хвильова функція залежить від k, як від параметру. Окремі розв’язки:

(2-10)

(2-11)

В результаті цих розрахунків можна зробити висновок:

вільний електрон в кристалі може перебувати в трьох станах з хвильовими функціями (2-9), (2-10), (2-11).

Графічно хвильова функція може бути представлена, як плоска хвиля, що поширюється у напрямку осі ох.

Фізична суть параметра k

Оскільки, , то

(2-12)

(2-13)

(2-14)

Таким чином з одного боку параметр k пропорційний імпульсу вільного електрона.

З іншого боку:

(2-15)

- формула Де Бройля (2-16)

Це відоме в теорії оптичних явищ, як хвильове число, яке вказує скільки разів довжина хвилі даного хвильового процесу вміщується у відрізку .

У тривимірному випадку розв’язок рівняння Шредінгера буде мати вигляд:

(3-1)

(3-2)

де, - радіус вектор будь-якої точки простору в кристалі

- вектор з координатами .

Можливі значення енергії електрона визначаються властивостями хвильової функції. З виду хвильової функції (2-9), (3-1), (3-2) витікає, що при будь-яких значеннях параметра к, ця хвильова функція однозначна, кінцева та неперервна.

(3-3)

Оскільки енергія електрона пов’язана з параметром k за формулою (3-3) і оскільки можливі будь-які значення k, то можливі і будь-які значення Е. Зобразимо графік залежності енергії Е електрона від параметра k:

Таким чином робимо висновок: що енергетичний спектр вільної частини неперервний і має вигляд параболи.