2. Теорема Блоха.

Теорема Блоха:

Хвильову функцію електронів у періодичному полі кристала можна представити у такому вигляді:

(5-4).

- вектор має розміри обернені довжині функції . -деяка функція, яка має періодичність гратки.

(5-5).

Конкретний вид цієї функції невідомий, але використовуючи ф-ли (5-4) та (5-5) можна отримати всі основні висновки сучасної фізики твердого тіла.

Функція (5-5) називається модулюючим множником.

Хвильова функція, яка визначається ф-лою (5-4) називається хвильовою ф-цією Блоха.

Вона являє собою плоску хвилю модульовану в такт гратки.

Вектор називається хвильовим вектором в кристалі.

2. Наслідки теореми Блоха.

1. Стани електрона в кристалі: ψ_к(r) та ψ_k+2πb(r) в межах однієї енергетичної зони фізично еквівалентні:

ψ_к(r)= ψ_k+2πb(r) (6.1),

де b - вектор оберненої гратки.

тобто хвильовий вектор k електрона в періодичному полі кристалічної гратки визначений з точністтю до довільного вектора оберненої гратки домноженого на 2π

2. В межах кожної енергетичної зони енергія електрона в кристалі є періодичною функцією хвильового вектора k з періодом 2πb.

2. Циклічні умови Борна-Кармана.

Якщо розміри кристалу в якому знаходяться електрони досить великі, то явища на його поверхні практично не будуть впливати на стан електрона в центрі кристала. Мінімальний об’єм, починаючи з якого виконується вище наведена умова називається основною областю кристалу (V₀). Тоді вірним буде таке твердження:

в кристалі будь-якого об’єму більшому ніж V₀, фізичні стани електронів повторюються у просторі з періодом, що дорівнює лінійній величині області V₀. Це можна довести, якщо з’єднати декілька областей V₀ кристалів. Це твердження справедливе, як для полікристалів так і для монокристалів. Експериментальні дані показують, що лінійний розмір основної області має порядок величини 10^-6 м.

Дамо математичне формулювання циклічних умов Борна-Кармана. Представимо основну область у вигляді паралелепіпеда:

де, n₁, n₂, n₃ – цілі числа порядка 10⁴

- базисні вектори кристалічної гратки

- діагональ паралелепіпеда (3-4)

Властивість періодичності функції можна записати:

(3-5)

(3-6)

(3-7)

(3-8)

(3-9)

(3-10)

(3-11)

Умови (3-10), (3-11) виконуються при значеннях:

(3-12)

З (3-12) витікає:

(3-13)

Формули (3-13) визначають можливі значення складових хвильового вектора електрона в кристалі. Оскільки а₁, а₂, а₃ та n₁, n₂, n₃ фіксовані для даного кристалу числа, то визначаються відповідно числами , тобто складові хвильового вектора змінюються дискретно або мають дискретний спектр. Відповідно і сам вектор k має дискретний спектр.