2. Поверхня Фермі вільних електронів у кристалі.

Кожний квантовий стан вільного електрона в кристалі задається вектором оскільки цей стан визначається хвильовою функцією:

У кожному такому стані у відповідності з принципом Паулі можуть знаходитись два електрони з протилежно зорієнтованими спінами.

Розподілення електронів за станами при низькій температурі, визначається тим що енергія всієї системи повинна бути мінімальною. Тому при проведенні уявного експерименту, додаванні вільних електронів до кристалічної гратки електрони будуть займати мінімальну енергію яка тільки можлива згідно з принципом Паулі.

простір – це область визначення вектора з системою координат де є осі .

Якщо до ядра додавати електрони то перші два електрони будуть мати вектор

.

Якщо додати ще два електрони то (нехай для нашого експерименту: ):

(4-1).

Якщо додати ще два електрони:

(4-2).

Наступні два електрони:

(4-3).

Наступні два електрони:

(4-3).

Крім перших двох у наступних 12 електронів енергія буде однакова, оскільки довжина вектора у цих електронів буде однакова.

З цієї стадії експерименту витікає, що вектори які задають стани електронів з однаковою енергією обмежено сферою радіус якої дорівнює.

Тому можна зробити висновок, що точки в просторі, які зображають квантові стани з однаковою енергією лежать на поверхні сфери певного радіуса для даного випадку:

;

Наступні два електрони будуть мати - вектор з складовими:

(4-5).

Довжина цього вектора буде дорівнювати по теоремі Піфагора:

(4-6).

Наступні електрони будуть мати більше значення вектора і довжину вектора. Всі електрони з вектором довжини будуть мати однакову енергію і кінці векторів будуть лежати на поверхні другої сфери.

Розглядаючи таким чином всі інші можливі стани електронів, можна прийти до висновку:

(4-7);

(4-8).

Область в - просторі в межах якої точки, що зображують зайняті електронні стани при абсолютному нулі температур являють собою сферу. Поверхня цієї сфери радіус якої дорівнює називається поверхнею Фермі.

Максимальна енергія зайнятих електронами станів називається енергією Фермі:

(4-8).

2. Зони Бріллюена.

Враховуючи два наслідки з теореми Блоха побудуємо залежність Е(k) для електрона в періодичному полі кристалічної гратки для зон, що не перекриваються в одновимірному випадку:

1) В межах першої зони Е₁, при k=0. E₁(k) повинна бути min, оскільки при U_x→0: . Тоді при k=0, E=E_min=0. Функція Е₁(k) в точці k дорівнює 0.

Функція Е₁(k), а також Е_і(k) повинна бути парною функцією від k, т.б. графік функції Е_і(k) симетричний відносно осі ординат.

E(k)=E(-k) (6.3)

2) Min вектор оберненої гратки пов’язаний з періодом кубічної гратки формулою: |b|=|1/a| (6.4). Тоді період з яким буде змінюватись енергія електрона |2πb|=2π/a (6.5).

Функція E₁(k)=0 в точках: 2π/a, 4π/a, ..., -2π/a, -4π/a,...буде дорівнювати нулю.

Точки π/a=k та k’= -π/a відстають одна від одної на відстані 2π/a, тому значення Е₁(k) в цих точках повинно бути однакове. В цих точках мають бути max значення функції Е₁(k).

Як витікає з побудови в 1-й енергетичній зоні функція Е₁(k) має перші max в точках ±π/a, в цих точках dE/dk=0 (6.6), d²E/dk²<0 (6.7)

Побудована крива періодично повторюється при збільшенні та зменшенні k. Оскільки нас цікавлять стани, які фізично розрізняються (стани в яких можуть знаходитись електрони в 1-й зоні), то функцію Е₁(k) необхідно розглядати на інтервалі [-π/a; π/a]. Цей відрізок це зона значень хвильового вектора k, яка визначає можливі електронні стани з енергіями Е₁(k). Цей відрізок хвильового вектора k називають першою зоною Бріллюена, її межами є точки з координатами -π/a, π/a, які відповідають числам k, k’. Ці числа зв’язані формулою k-2π/a=k’ (6.8), k’+2π/a=k (6,9). Формули (6.8), (6.9) визначають межі першої зони Бріллюена в одновимірному випадку. Якщо вважати вісь k вісью k_x, тоді k=iπ/a, k’= -iπ/a.

k=k’- 2πb₍₁₀₀₎ (6.10)

Розглянемо 2-гу енергетичну зону і функції Е₂(k), оскільки U_x→0, ΔE→0 і залежність Е(k) перетворюється на параболу і в цьому випадку b з c, d з e. Тобто max Е₁(k)÷min Е₂(k). Значення енергії другої енергетичної зони електрон може мати лише в тому випадку коли k, яке визначає його стан лежить в межах [-π/a; π/a], ці ділянки осі k називаються другою зоною Бріллюена, межі другої зони Бріллюена визначаються формулами: k=i2π/a, k’= -i2π/a (7.1) (і – одиничний вектор (від i,j,k))

Повторюючи ці міркування для третьої енергетичної зони а токож більш високих, приходимо до висновку, що залежність енергії від хвильового вектору k, для енергетичних зон, що не перекриваються, буде мати вигляд, що зображено на малюнку. Всі міркування наведені для одновимірного простору залишаються в силі і для об’ємного простору, якщо вважати,що k по черзі k_x, k_y, k_z, та a: a_x, a_y, a_z. Тоді формули, що визначають межі зони Бріллюена матимуть вигляд:

k=k’+ 2πb (7.2) |k|=|k’|

Висновки: Можливі значення енергії електрона в періодичному полі кристалічної гратки лежать в межах енергетичних зон Е₁, Е₂,... Якщо зони не перекриваються, між ними утворюються зони заборонених енергій. Всі значення хвильового вектора k які відповідають дозволені значення енергії утворюють області в k-просторі, що називаються зонами Бріллюена.

Кожна з зон Бриллюена це зона в k-просторі, в межах якої знаходяться всі хвильові вектори, які визначають фізично відмінні стани електронів з енергіями в межах певної (відповідної) енергетичної зони. Межі зони Бріллюена це геометричне місце точок в k-просторі, які відповідають розривам неперевності функції Е(k). Ступінь заповнення електронних станів зон Бріллюена електронами визначають багато важливих властивостей твердих тіл. Тому межі побудови зони Бріллюена та підрахунок можливих станів дуже важливі