int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Мы решили задачу в общем виде. Выразим все величины в единицах СИ:

20 г = 0,02 кг, 5 см = 0,05 м.

Подставим числа и вычислим:

м/с = 3 м/с.

Ответ: vC = 3 м/с.

С10. Брусок массой М лежит на горизонтальном столе. Его пробивает пуля, летевшая параллельно поверхности стола со скоростью v. Пробив брусок, пуля вылетает в том же направлении с вдвое меньшей скоростью. При этом брусок передвигается по столу на расстояние S. Чему равен коэффициент трения бруска о поверхность стола?

Обозначим g ускорение свободного падения, μ — коэффициент трения, v0 — начальную скорость бруска, Fтр — силу трения между бруском и поверхностью стола, а — ускорение бруска, vК — конечную скорость бруска.

Дано: Решение

МБудем рассуждать так: пуля, пробив брусок,

mсообщила ему некоторую начальную скорость v0,

vс которой он стал передвигаться равнозамедленно

Sпод действием силы трения.

С другой стороны, сила трения равна произведению коэффициента трения и силы нормального давления бруска на поверхность стола, которая здесь равна силе тяжести, поэтому

170

Раздел I. Механика

Таким образом, задача сводится к нахождению ускорения бруска (точнее, его замедления), когда он тормозил на пути S. В конце этого пути его скорость vК стала равна нулю, брусок остановился. Если бы мы знали его скорость v0 сразу после того, как пуля пробила брусок, мы могли найти нужное нам ускорение, записав так:

Теперь бы найти начальную скорость бруска сразу после пробивания его пулей. Для ее нахождения закон сохранения механической энергии применять нельзя, т.к. часть кинетической энергии пули прошла на пробивание бруска и превратилась в его внутреннюю энергию, да и пуля тоже могла нагреться. А вот закон сохранения импульса применить можно. Согласно этому закону импульс пули перед попаданием

в брусок mv равен сумме импульса пули m2v после того, как

она вылетела из него, и импульса бруска Мv0, полученного вследствие пробивания:

mv = m 2v + Mv0,

откуда

Подставим правую часть равенства (3) в формулу (2) вместо v0. Так мы выразим нужное нам для формулы (1) ускорение а через известные величины:

171

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Нам осталось подставить правую часть этого равенства в формулу (1), и задача будет решена:

Задача решена.

С11. Внутри полого шара диаметром D находится маленький кубик. Шар вращается с частотой Qвокруг оси О1О2, проходящей через его центр. На какую высоту h поднимется кубик, перемещаясь по поверхности шара в процессе его вращения? Трением пренебречь.

Обозначим g ускорение свободного падения, h — высоту, на которую поднимется кубик, m — массу кубика, FN — силу реакции шара, R — радиус шара, ац — центростремительное ускорение кубика, Z — угловую скорость шара, r — радиус окружности, по которой движется кубик.

Дано: Решение

DНа кубик, вращающийся вместе с шаром,

172

Раздел I. Механика

радиус шара R = D2 , а катетами — отрезок R — h и отрезок r.

Поскольку в подобных треугольниках стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны, то

Выразим центростремительное ускорение ац через частоту вращения шара Qи радиус окружности r, по которой движется кубик:

Проанализируем полученный результат. Высота h, на которую поднимется кубик, будет возрастать с увеличением частоты вращения Q. Когда частота вращения станет бесконеч-

не сможет подняться на высоту, большую радиуса шара при любой частоте вращения.

С12. Геостационарный спутник находится на высоте Н над одной и той же точкой планеты массой М, вращающейся вокруг своей оси с угловой скоростью Z. Найти среднюю плотность вещества планеты U.

Обозначим Fтяг силу тяготения спутника к планете, m — массу спутника, G — гравитационную постоянную, R — радиус планеты, ац — центростремительное ускорение спутника, V — объем планеты.

173

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Дано: Решение

HТот факт, что спутник является геостацио-

Mнарным, т.е. висит над одной и той же точкой

Zпланеты, говорит о том, что период его обращения вокруг планеты равен периоду вращения самой

U — ? планеты. А значит, одинаковы и угловые скорости спутника и планеты.

На спутник массой m со стороны планеты действует сила тяготения, равная по закону всемирного тяготения

Эта сила, согласно второму закону Ньютона, равна произведению массы спутника и его центростремительного ускорения:

Fòÿã = maÖ.

Приравняв правые части этих равенств, получим:

Теперь свяжем центростремительное ускорение спутника с известной нам из условия задачи угловой скоростью планеты, не забывая при этом, что здесь радиусом орбиты спутника является сумма радиуса планеты и его высоты над ней:

. (2) Приравняем правые части равенств (1) и (2):

Пока что мы еще не ввели нужную нам плотность в наши формулы. Но смотрите: из последнего выражения нетрудно найти радиус планеты R, а через него выразить ее объем. Зная же объем планеты и ее массу, уже легко найти плотность планеты по формуле

174

Раздел I. Механика

Нам осталось из равенства (3) выразить радиус планеты и подставить его в правую часть выражения (4). Проделаем эти действия:

Теперь подставим правую часть последнего равенства в знаменатель формулы (4):

С13. Маленький шарик массой m, подвешенный на невесомой нити длиной l, движется по окружности (рис. 63). Угол отклонения нити от вертикали D. За какое время шарик сделает полный оборот?

Обозначим Т время полного оборота, т.е. период, ац — центростремительное ускорение, Z — угловую скорость шарика, g — ускорение свободного падения, R — радиус окружности, по которой движется шарик, FN — силу натяжения нити.

Dствующая mац направлена по радиусу к центру окружности. Из прямоугольного треугольника с

Т — ? катетами mg и mац следует равенство

tg D = maö = aö . mg g

Выразим центростремительное ускорение шарика через его угловую скорость, а ее, в свою очередь, через период:

175

Физика для старшеклассников и абитуриентов

откуда

Т = 2S l ños . g

Ответ: Т = 2S l ños . g

С14. По желобу ав с высоты h скатывается маленький кубик массой m (рис. 133). На конце желоба кубик отрывается под углом D к горизонту и пролетает отрезок вс в течение времени t. Найти работу сил трения при движении бруска по желобу. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Обозначим Атр работу сил трения, g — ускорение свободного падения, v — скорость кубика в момент отрыва от желоба.

Дано: Решение

hРабота сил трения кубика о желоб по модулю

mравна разности между его потенциальной энерги-

Dей mgh на высоте h и кинетической энергией mv2 2в момент отрыва от желоба:

Атр — ? В момент отрыва проекция начальной скорости кубика на вертикальное направление равна

v sin D, а конечная проекция vу = 0. Из кинематики

176

Раздел I. Механика

С15. Два шара массами m1 = 2 кг и m2 = 3 кг движутся горизонтально и поступательно навстречу друг другу со скоростями v1 = 8 м/с и v2 = 4 м/с и неупруго сталкиваются. Найти изменение механической энергии шаров 'E.

Обозначим v скорость шаров после столкновения.

правлении и с одинаковой скоростью v, как одно тело, поэтому их общая кинетическая энергия стала равна:

(m1 + m2 )v2 .

2

Изменение механической энергии системы шаров будет равно изменению их общей кинетической энергии:

В этом уравнении не известна скорость v шаров после столкновения. Поскольку удар неупругий, на шары, кроме консервативных сил тяжести, действуют и неконсервативные силы, поэтому закон сохранения механической энергии для определения неизвестной скорости v здесь применить нельзя, а вот закон сохранения импульса — можно, поскольку этот закон применим к любым замкнутым системам. Будем считать проекции внешних сил тяжести на направление движения шаров равными нулю, тогда по закону сохранения импульса сумма импульсов первого шара m1 и второго шара m2 до столкновения должна быть равна суммарному импульсу шаров (m1 + m2)υ после столкновения. Однако поскольку импульс — величина векторная, а шары двигались до столкновения навстречу друг другу, то при записи этого закона в

177

Физика для старшеклассников и абитуриентов

скалярном виде перед импульсом второго шара в левой части равенства мы поставим «минус». Тогда получим:

m1v1 – m2v2 = (m1 + m2)v.

Отсюда скорость шаров после столкновения станет равна:

Подставив (2) в (1) и выполнив необходимые упрощения, мы решим задачу:

Знак «минус» означает, что механическая энергия шариков уменьшилась.

Подставим числа и произведем вычисления:

178

Раздел I. Механика

кинетическую энергию, которую приобретет шар массой M сразу после удара, Ep — потенциальную энергию шара массой M на высоте h, g — ускорение свободного падения, v2 — скорость, которую приобретет шар массой M сразу после удара, Ek0 — кинетическую энергию шарика массой m перед ударом, v1 — скорость шарика массой m после удара.

Дано: Решение

mВ результате удара шар массой M поднимется

Mзать с углом отклонения шара, который мы ищем,

lи длиной нити, на которой висит шар.

Действительно, искомый угол D является μ — ? углом при вершине прямоугольного треугольника с гипотенузой l и катетом l – h, прилежащим к этому углу, поэтому

cos α = l − h = 1 − h.

ll

Теперь задача сводится к нахождению высоты h. Для ее определения удобно воспользоваться законом сохранения механической энергии. Его мы имеем право здесь применить, поскольку в системе упруго соударяющихся шаров действуют только консервативные силы тяжести и силы упругости. Кинетическая энергия Ek, которую приобретет шар массой M сразу после удара, полностью превратится в его потенциальную

Для определения v2 снова можно воспользоваться законом сохранения механической энергии, примененным к обоим шарам, согласно которому кинетическая энергия Ek0 шарика массой m перед ударом превращается в сумму кинетических энергий обоих шаров сразу после удара:

179