int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет имени Шакарима города Семей

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m1 + m2 + m3 − m1 − m3 + m2

m1 + m2 + m3

.pdf

Скачиваний:

2559

Добавлен:

06.03.2016

Размер:

4.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 7417 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Ускорение шарика aц = Z2R, где угловая скорость шарика

Z = 2SQ, а радиус окружности R = L2 + l sin α.

С учетом этого (2SQ)2						= g tg D,

откуда

L	+ l sin α =	α	,	L = 2	,
2	+ l sin α =	(2πν)2	,	L = 2	,
2		(2πν)2

L = 2 м = 0,09 м.

Ответ: L = 0,09 м.

С3. Два шарика с массами m1 и m2 подвешены на нитях одинаковой длины, касаясь друг друга. Шарик массой m1 отклоняют от вертикали на угол Dи отпускают. На какую высоту поднимутся шарики после абсолютно неупругого удара?

Обозначим h2 высоту, на которую поднимутся шарики, g — ускорение свободного падения, v — скорость обоих шаров сразу после соударения, v0 — скорость шарика 1 непосредственно перед ударом

Дано:	Решение
m1	Выполним чертеж (рис. 127). Искомую высоту
m2	h2 можно найти из закона сохранения механиче-

gской энергии обоих шариков после абсолютно неупругого соударения: кинетическая энергия

h2 — ?	(m1 + m2 )v	2
шариков сразу после соударения	(m1 + m2 )v
	2

превращается в их потенциальную энергию (m1 + m2)gh2 :

(m1 + m2 )v2 = (m1 + m2)gh2,

160

Раздел I. Механика

	h2 =	v2
откуда			.
		2g

Скорость обоих шариков сразу после соударения найдем из закона сохранения импульса, согласно которому импульс шарика 1 непосредственно перед ударом m1v0 равен импульсу обоих шариков (m1 + m2)v сразу после удара:

m1v0 = (m1 + m2) v,		откуда		v =	m1v0	.
					m1 + m2

	1	m v	2		m2
С учетом этого, h2 =		1 0	=	1			v02.
						2

	2g m1 + m2			2g (m1 + m2 )

Скорость шарика 1 перед ударом найдем по закону сохранения его механической энергии, согласно которому потенци-

альная энергия шарика 1 на высоте h1, равная m1gh1 равна его
кинетической энергии					m v2			непосредственно перед ударом:
						1 0
						2
						2
	m1gh1 =	m v2						откуда v02 = 2gh1.
			1 0				,
			2				,
			2
С учетом этого h2 =								m2			2gh1		= h1				m	2	.
								1									1
										2
				2g (m1 + m2 )													+ m2
				2g (m1 + m2 )												m1	+ m2
Высота	h1 = l – l cos D = l (1 – cos D).
Подставив правую часть этого выражения в предыдущую
формулу, получим окончательно:
	h2 = l (1 – cos D)											m		2	.
												1


									m1 + m2
Ответ: h2	= l (1 – cos D)							m		2		.
								1


							m1 + m2

С4. Лыжник массой 80 кг спустился с горы высотой 30 м и после спуска проехал еще по горизонтальной поверхности до остановки 150 м (рис. 128). Найти силу сопротивления на горизонтальном участке, если на горе она была равна нулю.

Обозначим m массу лыжника, h — высоту горы, v0 — начальную скорость лыжника на вершине горы, S — путь на горизонтальной поверхности, g — ускорение свободного падения,

161

Физика для старшеклассников и абитуриентов

v — скорость в конце пути S, Fсопр — силу сопротивления на горизонтальном участке, а — ускорение на пути S, v01 — начальную скорость на горизонтальном участке.

v0= 0

v01

v = 0

Рис. 128

Дано:

m = 80 кг h = 30 м

v0 = 0

S = 150 м g = 10 м/с2 v = 0

Fсопр — ?

откуда

Решение

Силу сопротивления можно найти по второму закону Ньютона:

Fсопр = mа.

На пути S лыжник движется с замедлением, и его конечная скорость v = 0. Поэтому здесь пригодится формула кинематики

0 – v012 = – 2а S,

а = 01 .

С учетом этого

Fсопр = m 01 . (1)

Здесь v01 — скорость в конце спуска с горы, равная начальной скорости лыжника на горизонтальном участке. Ее можно найти, применив закон сохранения механической энергии к движению лыжника на спуске. Согласно этому закону его потенциальная энергия mgh на вершине горы равна кинети-

ческой энергии 201 у ее основания:

			mv2
mgh =			01	,
mgh =			2	,
откуда			2
откуда
v	2	= 2gh.			(2)
	01

Подставив правую часть равенства (2) в формулу (1), получим:

162

Раздел I. Механика

Fсопр = m	2gh = mg	h	,	Fсопр = 80 10		30	Н = 160 Н.
		S			150
	2S

Ответ: Fсопр = 160 Н.

С5. Гиря, положенная сверху на вертикальную пружину, сжимает ее на 1 мм. Если эту гирю бросить на пружину со скоростью 0,2 м/с с высоты 10 см, то какова теперь будет деформация пружины?

Обозначим х1 деформацию пружины, когда на нее положили гирю, v0 — начальную скорость гири, h — высоту, с которой ее бросили, g — ускорение свободного падения, х2 — деформацию пружины, когда на нее бросили гирю, m — массу гири, k — жесткость пружины, Fупр — силу упругости пружины.

Дано:

х1 = 1 мм = 0,001 м

v0 = 0,2 м/с

h = 10 см = 0,1 м g = 10 м/с2

х2 — ?

пружины kx222 :

Отсюда

Решение

Применим для решения этой задачи закон сохранения механической энергии, согласно которому сумма

	mv2
кинетической энергии гири	0	и ее
кинетической энергии гири	2	и ее
	2

потенциальной энергии на высоте mgh равна потенциальной энергии сжатой

	mv2	+ mgh =			kx2
	0				2	.
2
					2

		2	v2
х2 =			m	0	+ gh .		(1)
		k
			2

Жесткость пружины k найдем, приравняв согласно третьему закону Ньютона силу тяжести, действующую на гирю, силе упругости пружины:

mg = Fупр,	где по закону Гука			Fупр = kx1,
поэтому	mg = kx1,
откуда	k =	mg	.	(2)

		x1

Подставив правую часть равенства (2) в формулу (1), получим окончательно:

163

Физика для старшеклассников и абитуриентов

	2x	v2				2x	v2
х2 =	1	m	0	+ gh	=	1		0	+ gh ,
	mg		2			g		2

х2	=	2 0,001	0,22			м = 0, 014 м = 1,4 см
		10		2	+ 10 0,1

Ответ: х2 = 1,4 см.

С6. Через невесомый блок перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы m1 = 2 кг и m2 = 1 кг. К грузу массой m1 подвесили на нити груз массой m3 = 3 кг

(рис. 129). Найти силу натяжения нити между

грузами m1 и m3 .
Обозначим Fн1 силу натяжения нити между
грузами m1 и m3, g — ускорение свободного
падения, Fн2		— силу натяжения нити между		Fн2			Fн2
грузами m1 и m2, а — ускорение грузов.				Fн2			Fн2
грузами m1 и m2, а — ускорение грузов.
Дано:			Решение
Дано:			Решение
m1 = 2 кг			Запишем второй закон m		g		m	g
m2 = 1 кг			Ньютона применительно к	1		2
m2 = 1 кг			Ньютона применительно к	Fн1
m3 = 3 кг			движению каждого груза в	Fн1
m3 = 3 кг			движению каждого груза в			Fн1
g = 10 м/с	2		отдельности:
	2
			m3а = m3 g – Fн1, (1)
Fн1 — ?			m3а = m3 g – Fн1, (1)

m1а = m1g + Fн1 – Fн2,

m2а = Fн2 – m2g.

Теперь сложим левые и правые части этих трех уравнений. Правда, при этом искомая сила натяжения Fн1 «уйдет», но мы сможем найти ускорение грузов а. А зная его, найдем затем из первой формулы и силу натяжения Fн1.

m3g

Рис. 129

m3а + m1а + m2а = m3 g – Fн1 + m1g + Fн1 – Fн2 + Fн2 – m2g,

	а(m3 + m1 + m2) = g(m3 + m1 – m2),
откуда	а = g	m1	+ m3	− m2	.	(2)
			+ m2
		m1		+ m3

Теперь найдем из равенства (1) силу натяжения Fн1:

Fн1 = m3 g – m3а = m3(g – а).

164

Дано:

μ = 0,5

D — ?

Раздел I. Механика

С учетом (2) получим окончательно

Fн1 = m3 = m3g =

Ответ: Fн1 = 10 Н.

С7. На дне ящика находится шар, удерживаемый нитью в равновесии (рис. 130). На какой максимальный угол можно отклонить ящик от горизонтальной поверхности, чтобы шар остался в равновесии, если коэффициент трения шара о дно ящика равен 0,5? Весом нити пренебречь.

		Fнат
		О
mgsin α		Fтр
		α
α	α	mgcos α

Рис. 130

Обозначим μ коэффициент трения, D — максимальный угол, на который можно отклонить ящик, m — массу шара, g — ускорение свободного падения, Fнат — силу натяжения нити, Fтр — силу трения, FN — силу реакции опоры, R — радиус шара, g — ускорение свободного падения.

Решение

Выполним чертеж, на котором покажем все силы, приложенные к шару. На него действуют: сила тяжести mg, сила трения Fтр, сила ре-

акции опоры FN и сила натяжения нити Fнат. Разложим силу

165

Физика для старшеклассников и абитуриентов

тяжести на скатывающую mg sin D и прижимающую к дну

ящика mg cos D. При равновесии шара mg sin D = Fнат + Fтр, а также согласно равенству моментов сил трения и натяжения

относительно оси вращения, проходящей через точку О,

	Fнат R = FтрR ,
откуда	Fнат = Fтр.
Здесь R — радиус шара, который является плечом сил
трения и натяжения.
С учетом этого, mg sin D = 2Fтр, где Fтр = μmg cos D,
поэтому	mg sin D = 2 μmg cos D,
откуда	tg D = 2 μ = 2 · 0,5 = 1 и D = 450.

Ответ: D = 450.

С8. Шарик из материала, плотность которого в n раз меньше плотности воды, падает в воду с высоты Н. На какую максимальную глубину h погрузится шарик?

Обозначим m массу шарика, А — работу архимедовой выталкивающей силы, Fвыт — выталкивающую силу, Uв — плотность воды, Uш — плотность шарика, V — объем шарика, g — ускорение свободного падения.

Дано:		Решение
n =	ρâ	Потенциальная энергия шарика mg(Н + h)
	ρø	на высоте Н + h относительно нижней точки по-

Hгружения равна по модулю работе архимедовой

h — ?	выталкивающей силы А = Fвытh:

mg(Н + h) = Fвытh.	(1)
Выразим массу шарика через его плотность Uш и объем V:
m = UшV.	(2)
Теперь запишем формулу выталкивающей силы:
Fвыт = Uв g V.	(3)

Подставим правые части равенств (2) и (3) в формулу (1):

UшVg(Н + h) = Uвg Vh.

Отсюда
UшН + Uшh = Uвh,	h =	ρøH	.

		ρâ − ρø

166

vC — ?

Дано: m = 20 г x = 5 см

g = 10 м/с2 k = 300 Н/м

Раздел I. Механика

По условию задачи			ρâ	= n,	откуда Uв = nUш.
По условию задачи				= n,	откуда Uв = nUш.
			ρø
С учетом этого h =			ρøÍ		=	ρøÍ	=	H		.
	H		nρø − ρø			ρø (n − 1)		n −	1
Ответ: h =	H	.
Ответ: h =	n − 1	.
	n − 1

С9. Два одинаковых бруска массами по 20 г каждый соединены упругой вертикальной пружиной с жесткостью 300 Н/м

(рис. 131, а). Нажатием
на верхний брусок пру-
жину сжали так, что ее
деформация стала 5 см
(рис. 140, б). Какова будет		x1	C
скорость центра масс этой C		x
системы тел в момент от-		x
системы тел в момент от-		C
рыва нижнего бруска от
стола? Сопротивление не	а)	б)	в)
учитывать.	а)	б)	в)
учитывать.		Рис. 131
Обозначим m массу		Рис. 131
Обозначим m массу

каждого бруска, k — жесткость пружины, x — деформацию пружины при сжатии, vC — скорость центра масс, g — ускорение свободного падения, Ер1 — потенциальную энергию сжатой пружины, Ер2 — потенциальную энергию центра масс относительно первоначального положения при сжатой пружине, Ер3 — потенциальную энергию растянутой пружины, Ер4 — потенциальную энергию центра масс относительно первоначального положения при растянутой пружине, Еk — кинетическую энергию верхнего бруска.

Решение

Давайте вспомним, что такое центр масс. Это такая материальная точка с массой, равной массе всего тела, которая движется под действием приложенных к ней сил так же, как и само тело.

В нашем случае, поскольку система бруски — пружина симметрична, ее центр масс С располагается в геометрическом центре системы, т. е. посередине пружины.

167

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Теперь обратимся к рисунку. Сначала пружина была недеформированной (рис. 131, а). Когда ее сжали, центр масс опустился на расстояние х относительно первоначального положения (рис. 131, b). Значит, пружина приобрела потенциальную энергию Ер1, которую можно определить по формуле

Ер1 = kx22 .

Кроме того, поскольку центр тяжести опустился на расстояние х, то относительно прежнего уровня центр масс приобрел отрицательную потенциальную энергию. Напомним, что потенциальная энергия может быть и положительной, и отрицательной, поскольку она относительна. Относительно стола потенциальная энергия центра масс положительна, поскольку он выше стола, а относительно прежнего положения — отрицательна, поскольку теперь центр масс ниже прежнего уровня. Эту потенциальную энергию Ер2 можно определить по формуле

Ер2 = – mgx.

Попробуем решить эту задачу, применив закон сохранения механической энергии. Этот замечательный закон выручит вас при решении почти любых задач динамики — особенно когда не требуется учитывать все силы, действующие в системе. Согласно этому закону суммарная механическая энергия брусков со сжатой пружиной равна их суммарной механической энергии в момент, когда нижний брусок еще лежит на столе, но пружина уже растянулась, ее деформация стала х1, центр тяжести поднялся на высоту х1 над первоначальным положением и верхний брусок приобрел скорость v (рис. 131, в). При этом потенциальная энергия пружины

kx2

Ер3 = 21 ,

а потенциальная энергия центра масс Ер3 относительно первоначального положения стала положительной и равной:

Ер4 = mgx1.

Кроме того, верхний брусок приобрел скорость v и, значит, кинетическую энергию Еk, которая определяется по формуле

Ek = mv2 2 .

168

Раздел I. Механика

Теперь давайте запишем закон сохранения механической энергии, а затем подумаем, какие величины нам еще надо определить, чтобы найти искомую жесткость:

Ер1 + Ер2 = Ер3 + Ер4 + Еk

или

kx2		kx2		mv2
	− mgx =	1	+ mgx1 +		.	(1)
2				2
		2

Здесь нам не известны деформация х1 и скорость верхнего бруска. По закону Гука произведение жесткости пружины на ее деформацию равно деформирующей силе, которая в момент отрыва нижнего бруска от стола равна весу этого бруска Р = mg, поэтому мы можем записать:

kx1 = mg, откуда	x = mg.		(2)
	1	k
		k

Здесь все величины в правой части нам даны. Теперь подумаем, как выразить неизвестную скорость верхнего бруска через высоту поднятия центра тяжести, которая нам известна. Попробуем связать эту скорость со скоростью центра масс vC в этот момент. Будем рассуждать так. Нижний брусок еще покоится, его скорость равна нулю, а верхний уже получил скорость v. Значит, по мере подъема от витка к витку их скорость линейно нарастает, поэтому скорость центра масс, лежащего посередине пружины, будет равна половине скорости верхнего бруска:

v = v ,

(3)

C	2

Теперь, давайте подставим правую часть равенства (2) в формулу (1) и из полученного выражения найдем скорость

верхнего бруска v, а затем — и скорость центра масс vC:

kx2

k(mg)2

mv2

− mgx

+ mg k +

2k2

mv2

kx2

3(mg)2 .

2 =

− mgx

−

Отсюда

2kx2

2mgx

2 3(mg)

kx2

3mg2

v =

−

m − 2gx −

m 2k

169

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 7417 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.09.201997.79 Кб2geografia (3).doc
#
03.09.2019117.25 Кб1Glomerular hypertension.doc
#
06.03.201619.45 Кб25holiday actitvtties.docx
#
06.03.201622.28 Кб9If I were a millionaire.docx
#
06.03.201625.99 Кб12industry of Canada.docx
#
06.03.20164.39 Mб2559int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012.pdf
#
06.03.2016279.04 Кб62KAZ-bukh.doc
#
06.03.201621.61 Кб14khattama.docx
#
06.03.20163.14 Mб219KIRISPE.doc
#
06.03.20168.54 Mб26Mathematica.pdf
#
06.03.201648.55 Кб14modal verb.docx