int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Физика для старшеклассников и абитуриентов

После того как из баллона вышла масса газа 'm, в нем осталась масса m – 'm, и при этом температура газа понизилась на 'Т, т.е. стала равной Т – 'Т. Поэтому теперь запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для нового состояния:

нении, разделим в его правой части числитель и знаменатель на m (от этого равенство не нарушится):

270

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

Выразим начальную температуру в единицах СИ:

15 0С = 288 К.

Произведем вычисления:

Ответ: р1/р2 = 1,7.

В11. В баллоне с газом имелась щель, через которую газ просачивался. При нагревании этого газа его температура повысилась в 3 раза, а давление увеличилось в 1,5 раза. Во сколько раз изменилась масса газа в баллоне?

Обозначим m1 массу газа в баллоне до утечки газа, m2 — массугазавбаллонепослеутечки,р1 —начальноедавление, р2 — конечное давление, Т1 — начальную температуру, Т2 — конечную температуру, M — молярную массу газа, R — молярную газовую постоянную.

Теперь разделим эти равенства друг на друга:

Ответ: масса газа уменьшилась в 2 раза.

В12. Ампула объемом 1 см3 содержит воздух при нормальных условиях. Ампула оставлена в космосе, в ней пробито отверстие. Через сколько времени давление в ампуле станет равно 0, если из нее каждую секунду вылетает 100 миллионов молекул?

271

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Обозначим V объем ампулы, p — нормальное атмосферное давление, Т— абсолютную температуру в ампуле, N1 — число молекул, покидающих ампулу за время t1, k — постоянную Больцмана,t —время,закотороеампулупокинутвсемолекулы и давление в ней станет равно 0, N — все число молекул N, имевшихся в ампуле при нормальных условиях, n — концентрацию молекул в ампуле при нормальных условиях (105 Па и 273 К), V — объем ампулы.

t — ?

Таким образом, задача сводится к определению числа молекул N, содержавшихся в ампуле при нормальных условиях. Это число можно определить, умножив концентрацию молекул при этих условиях n на объем ампулы:

N = nV.

Нам не известна концентрация молекул газа n. Но ее мы легко определим из формулы, устанавливающей связь давления газа с его концентрацией и температурой,

p = knT.

Подставив полученное выражение в формулу для определения времени t, будем иметь

t = pVt1 . kTN1

Мы решили в общем виде эту задачу. Переведем все единицы в СИ: 1 см3 = 10–6 м3.

272

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

Подставим числа и произведем вычисления:

Ответ:t | 2,7 1011 c.

В13. В аудитории объемом 90 м3 температура воздуха повысилась с 20 0С до 30 0С. Атмосферное давление 105 Па, молярная масса воздуха 0,029 кг/моль, Какая масса воздуха вышла из комнаты?

Обозначим V объем воздуха в комнате, t1 — начальную температуру воздуха по шкале Цельсия, t2 — конечную температуру воздуха по шкале Цельсия, p — давление воздуха, M — молярную массу воздуха, 'm — массу вышедшего из комнаты воздуха, R — молярную газовую постоянную, T1 — начальную абсолютную температуру, T2 — конечную абсолютную температуру, m1 — начальную массу воздуха в комнате, m2 — конечную массу воздуха в комнате.

Масса воздуха, вышедшего из комнаты, равна разности его масс в первом и втором состояниях:

Задача в общем виде решена. Выразим все величины в единицах СИ: 20 0С = 293 К, 30 0С = 303 К.

273

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Произведем вычисления:

Ответ: 'm = 3,1 кг.

В14. При переходе определенной массы газа из одного состояния в другое его давление уменьшается, а температура увеличивается. Как при этом меняется его объем?

Обозначим р1, V1 и Т1 первоначальные давление, объем и температуру газа, а р2, V2 и Т2 — его конечные давление, объем и температуру.

Будем рассуждать так. Здесь меняются все параметры состояния данной массы газа: и его давление, и объем, и температура. Значит, чтобы ответить на вопрос задачи, воспользуемся уравнением Клапейрона (его еще называют объединенным газовым законом):

p1V1 = p2V2 . T1 T2

Согласно условию задачи давление газа уменьшается, а

меньше, а температура в знаменателе больше, чем слева. Но тогда, чтобы само равенство сохранилось, конечный объем V2 в числителе правой части должен быть больше начального объема V1 (в противном случае, если и конечный объем будет

меньше начального, все выражение p2V2 , стоящее справа от

T2

равенства будет меньше выражения p1V1 , стоящего слева, и

T1

равенство нарушится). Значит, объем газа увеличивается. Ответ: объем увеличивается.

В15. В 3 л воды при 40 0С бросили 50 г льда при –4 0С. Какая установилась температура после того, как весь лед растаял? Удельная теплоемкость воды 4,2 · 103 Дж/(кг · К), удельная теплоемкость льда 2,1 · 103 Дж/)кг · К), удельная теплота плавления льда 3,3 · 105 Дж/кг.

274

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

Обозначим m1 массу воды, в которую бросили лед, t1 — начальную температуру воды, m2 — массу льда, t2 — начальную температуру льда, c1 — удельную теплоемкость воды, c2 — удельную теплоемкость льда, O— удельную теплоту плавления льда, t0 — температуру плавления льда, t — установившуюся температуру, Q1 — количество теплоты, которое отдает горячая вода, остывая от температуры t1 до t, Q2 — количество теплоты , полученное льдом при нагревании от t2 до t0 = 0 0C, Q3 — количество теплоты, полученное льдом при плавлении, Q4 — количество теплоты, полученное водой, образовавшейся из растаявшего льда при нагревании от t0 = 0 0С до искомой температуры t.

Решение

Следует знать, что 1 л воды имеет массу 1 кг, поэтому мы вместо объема 3 л записали массу воды 3 кг, ведь в формулах количеств теплоты везде стоит масса.

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения тепловой энергии, ведь здесь не идет речь о КПД процесса, и значит, сумма всех отданных ко-

личеств теплоты одними телами равна сумме всех количеств теплоты, полученных другими. В нашей задаче отдает количество теплоты Q1 только горячая вода, остывая от температуры t1 до t, поэтому

Q1 = c1m1(t1 – t) .

Получает эту теплоту лед. Поскольку он был при отрицательной температуре, то сначала он нагревается от t2 = –4 0С до t0 = 0 0С (выше 0 0С лед нагреть нельзя, он при этой температуре тает). Поэтому количество теплоты, полученное льдом при нагревании,

Q2 = c2m2(t0 – t2).

Поскольку тепло продолжает поступать от остывающей воды, лед тает. При этом он получает количество теплоты

Q3 = m2O.

275

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Далее, вода, образовавшаяся из растаявшего льда и потому имеющая такую же массу m2, начнет нагреваться от t0 = 0 0С до искомой температуры t и при этом получит количество теплоты

Q4 = c1m2(t – t0).

Теперь запишем закон сохранения тепловой энергии:

Q1 = Q2 + Q3 + Q4 ,

в который подставим вместо количеств теплоты правые части предыдущих равенств:

c1m1(t1 – t) = c2m2(t0 – t2) + m2O + c1m2(t – t0) .

Полученное уравнение называется уравнением теплового баланса. Из него, раскрыв скобки там, где есть искомая температура t, найдем ее, поскольку остальные величины нам известны:

c1m1t1 – c1m1t = c2m2(t0 – t2) + m2O + c1m2t – c1m2t0 .

Последний член этого уравнения c1m2t0 = 0, т.к. t0 = 0. Из оставшегося выражения найдем t:

t = c1m1t1 −m(2 (c2 (t0 −)t2 )+ λ ) . c1 m1 +m2

Мы решили задачу в общем виде. Произведем вычисления:

t = 4,2 103 3 40 − 0,05(2,1 103 (0 −(−4))+ 3,3 105 ) 0С | 38 0С. 4,2 103 (3 + 0,05)

Ответ: t | 38 0С.

В16. В герметически закрытом сосуде находятся 5 моль идеального одноатомного газа при 27 0С. Какое количество теплоты надо передать этому газу, чтобы его давление увеличилось в 3 раза?

Обозначим Q количество молей газа, t1 — его первоначальную температуру по шкале Цельсия, р1 —начальное давление газа, р2 — конечное давление газа, Q — количество теплоты, которое надо передать газу, 'U — изменение внутренней энергии газа, А — работу расширения газа, R — молярную газовую постоянную, Т1 — начальную температуру газа по шкале Кельвина, Т2 — конечную температуру газа по шкале Кельвина, 'Т — изменение температуры.

276

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

Теперь задача сводится к нахождению изменения температуры 'Т = Т2 – Т1. Нам известно, во сколько раз повысилось давление газа в закрытом сосуде вследствие нагревания, поэтому мы воспользуемся законом Шарля:

Подставив равенство (2) в формулу (1), мы решим задачу в общем виде:

Q = U = 32 νR 2T1 = 3νRT1.

Задача в общем виде решена. Выразим температуру в единицах СИ: 27 0С = 300 К.

Произведем вычисления:

Q = 3 · 5 · 8,31 · 300 Дж | 3,7 · 104 Дж | 37 кДж.

Ответ: Q | 37 кДж.

В17. Какое количество теплоты нужно передать 2 моль идеального одноатомного газа, чтобы изобарно увеличить его объем в 3 раза, если начальная температура 300 К?

Обозначим Qколичество молей газа (количество вещества), V1 — начальный объем газа, V2 — конечный объем газа, Т1 —

277

Физика для старшеклассников и абитуриентов

начальную температуру газа, Т2 — конечную температуру газа, Q — переданное количество теплоты, р — давление газа, 'U — изменение внутренней энергии газа, А — работу изобарного расширения газа, R — молярную газовую постоянную.

А = р(V2 – V1).

Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона

Q = 2,5 QR(3Т1 – Т1) = 5QRТ1. Произведем вычисления:

Q = 5 · 2 · 8,31 · 300 Дж = 24930 Дж = 24,93 кДж.

Ответ: Q = 24,93 кДж.

В18. На рис. 166 изображен график зависимости температуры куба со стороной 10 см от выделенного им количества теплоты. Плотность вещества куба 7000 кг/м3. Определить удельную теплоемкость вещества. Ответ округлить до целого числа.

278

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

Обозначим а длину стороны куба, V — его объем, m — массу куба, U— плотность меди, с — удельную теплоемкость металла, Т1 — начальную температуру, Т2 — конечную температуру, 'Т — изменение температуры, Q — количество выделенной теплоты.

С учетом этого получим:

Q

с = ρ a3 (T1 − T2 ). Произведем вычисления:

150000

с= 7000 0,13 (600 − 200) Дж/(кг ·К) | 54 Дж/(кг ·К).

Ответ: с | 54 Дж/(кг ·К).

В19. С какой скоростью v должна вылететь из ружья свинцовая дробинка при выстреле, сделанном вертикально вниз с высоты h = 50 м, чтобы при ударе о камень она полностью расплавилась? Начальная температура дробинки T1 = 400 K, температура плавления свинца T2 = 600 K. Удельная теплоемкость свинца c = 0,13 кДж/(кг К), удельная теплота плавления свинца O = 25 кДж/кг.

Обозначим h высоту, с которой произведен выстрел, T1 — начальную температуру дробинки, T2 — температуру плавления свинца, c — удельную теплоемкость свинца, O— удельную теплоту плавления свинца, Еk — кинетическую энергию дробинки при вылете из ружья, Еp — ее потенциальную энергию на высоте, v — скорость дробинки при вылете из ружья, Q1

— количество теплоты, полученное пулей при нагревании, Q2 — количество теплоты, полученное пулей при плавлении, m — массу пули.

279