int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Выразим все величины в единицах СИ:

100 кПа = 1 · 10 5 Па, 200 кПа = 2 · 105 Па, 2 л = 2 · 10–3 м3, 6 л = 6 · 10–3 м3, 8 л = 8 · 10–3 м3.

Произведем вычисления:

Q = 1 · 105(6 · 10–3 – 2,5 · 2 · 10–3) + 2 · 105(2,5 · 8 · 10–3 –

– 6 · 10–3) Дж = 38 900 Дж = 38,9 кДж.

Ответ: Q = 38,9 кДж.

С13. Идеальный одноатомный газ данной массы сначала изобарно переводят из состояния 1 в состояние 2, а затем его снова адиабатно переводят из состояния 1 в состояние 3 (рис. 172). Конечный объем газа в обоих процессах V2. Отношение количества теплоты, полученного газом в изобарном процессе, к модулю изменения внутренней энергии при адиабатном процессе равно 4. Во сколько раз работа при изобарном процессе больше работы при адиабатном процессе?

Обозначим А1 работу при изобарном процессе, А2 — работу при адиабатном процессе, Q1 — количество теплоты, полученное при изобарном процессе,'U2 — модуль изменения внутренней энергии при адиабатном процессе, 'V — изменение объема газа, p1 — его начальное давление в состоянии 1, V1 — объем газа в состоянии 1, V2 — конечный объем газа, 'U1 — изменение внутренней энергии при изобарном процессе, Q — количество молей газа, R — молярную газовую постоянную, 'T1 — изменение температуры при изобарном процессе.

А согласно уравнению Менделеева — Клапейрона

300

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

Тогда количество теплоты при изобарном процессе

3

Q1 = 2 р1'V + р1'V = 2,5 р1'V.

При адиабатном процессе тепло газу не передается,поэтому по первому закону термодинамики 0 = 'U2 + А2, откуда по

модулю 'U2 = А2.

Из условия задачи

'U2 = Q41 = 2,54 р1'V = 0,625 р1'V.

С учетом этого

С14. Два теплоизолированных сосуда соединены узкой трубкой с закрытым краном, объемом которой можно пренебречь. В первом сосуде содержится Q1 молей идеального газа со средней квадратичной скоростью молекул v1, а во втором содержится Q2 молекул этого газа со средней квадратичной скоростью молекул v2. Все молекулы одинаковы. Какова будет их средняя квадратичная скорость молекул v, если кран открыть?

Обозначим Е1 общую кинетическую энергию всех молекул в первом сосуде, когда кран был закрыт, Е2 — общую кинетическую энергию всех молекул во втором сосуде, Е — общую кинетическую энергию всех молекул после того, как открыли кран, N1 —число молекул в первом сосуде, m0 —массу каждой молекулы, N2 — число молекул во втором сосуде.

Решение

Нам сказано, что сосуды теплоизолированы. Для чего это сказано? Наверно, чтобы дать понять, что суммарная энергия всех молекул в них после того, как открыли кран, никуда не денется, т.е. останется равной сумме энергий молекул в каждом сосуде, хотя энергия отдельных молекул станет иной. Речь идет, конечно, об их кинетических

энергиях, ведь потенциальной энергии у молекул идеального

301

Физика для старшеклассников и абитуриентов

газа нет, они не взаимодействуют на расстоянии. Тогда по закону сохранения энергии

Е1 + Е2 = Е .

Энергию всех молекул в первом сосуде можно представить как произведение числа молекул N1 в этом сосуде и кинетической энергии каждой молекулы, движущейся со скоростью

m v2

Е = N 0 1 .

1 1 2

Аналогично кинетическая энергия всех N2 молекул в другом сосуде (когда он еще был закрыт) равна

а кинетическая энергия всех молекул в обоих сосудах, которая останется неизменной, когда кран откроют, равна

Е = (N + N )m0v2 .

1 2 2

Подставим правые части этих равенств в первое уравнение. Так мы соединим искомую скорость v с известными скоростями v1 и v2:

или после сокращений

.

Но мы не знаем числа молекул N1 и N2 в обоих сосудах. Зато знаем число молей в каждом из них. А поскольку мы все формулы выучили назубок (а как иначе? — иначе о высоком балле на ЕГЭ можно и не мечтать), то сразу сообразим применить здесь формулу, которая позволит связать неизвестное число молекул с известным нам числом молей:

N1 = Q1NA и N2 = Q2NA .

302

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

Подставим правые части этих формул в предыдущее равенство:

Нам осталось сократить число Авогадро, и задача будет решена:

ν v2 + ν v2

Ответ: v = 1 1 2 2 .

ν1 + ν2

С15. В горизонтально расположенном цилиндрическом сосуде находится идеальный газ массой m1, закрытый поршнем массой m2. Вследствие изобарного расширения газа при его нагревании поршень приобретает скорость v, двигаясь из состояния покоя. Внутренняя энергия газа U прямо пропорциональна его абсолютной температуре, где k — коэффициент пропорциональности. Молярная масса газа M. Какое количество теплоты Q передано газу при этом? Теплоемкостями сосуда и поршня пренебречь.

Обозначим 'U изменение внутренней энергии газа, А — работу, совершенную газом против внешних сил, 'T — изменение температуры газа, р — давление газа, 'V — изменение объема газа, R — молярную газовую постоянную.

Работа расширения газа А идет на сообщение поршню кинетической энергии Еk:

. (3)

303

Физика для старшеклассников и абитуриентов

С другой стороны, при p = const

А = p'V = m1 R T . (4)

M

Подставив (2) и (4) в (1), мы сможем определить изменение

температуры 'T:

Q = k T + m1 R T, M

Нам осталось подставить (3) и (6) в (1) и из полученного выражения определить Q. Приступим:

откуда:

Q = m2v2 (Mk + m1R) 2m1R

Ответ: Q = m2v2 (Mk + m1R).

С16. В цилиндрическом сосуде под поршнем находится 2 л водяного пара при 100 0С и давлении 105 Па. Поршень опускают, и объем пара изобарно уменьшается вдвое. Какое количество теплоты отдает этот пар, если при этом его температура не изменяется? Удельная теплота парообразования 2,3 · 106 Дж/ кг, молярная масса водяного пара 0,018 кг/моль.

Обозначим V1 первоначальный объем пара, t — его первоначальную температуру по шкале Цельсия, Т — его первоначальную температуру по шкале Кельвина, р — давление пара, V2 — конечный объем пара, r — удельную теплоту парообразования, М — молярную массу пара, 'U — уменьшение внутренней энергии, m — массу сконденсировавшегося пара,

304

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

А — работу, которую совершают над паром, 'V — изменение объема пара, R — молярную газовую постоянную.

Решение

Вспомним теорию. Водяной пар при 100 0С, да еще и в закрытом поршнем сосуде, является насыщенным. А его сжимают. Если бы он был ненасыщенным, то его давление при неизменной температуре непременно увеличилось бы.Нодавлениенасыщенногопарапри данной температуре максимально, его нельзя увеличить никаким сжатием.

Куда же девается «лишний» пар при сжатии? Он конденсируется, превращается в воду. А давление оставшегося над ней пара остается прежним. Поскольку объем пара уменьшился в два раза, значит, половина бывшего пара сконденсировалась.

Теперь подумаем, в какие формулы входит количество теплоты, и какую из них лучше всего применить в данном случае.

Ближе всего к этому случаю первый закон термодинамики и формула количества теплоты, выделяющейся при конденсации пара.

Но эта формула позволяет определить количество теплоты, которое выделит пар только при конденсации. Именно настолько уменьшится его внутренняя энергия 'U. Следовательно,

где масса сконденсировавшегося пара равна массе оставшегося, ведь объем пара уменьшился наполовину.

Но у нас пар еще и сжимают, значит, совершают над ним отрицательную работу А. Тогда количество теплоты, которое выделит пар вследствие конденсации и сжатия, с учетом знаков по первому закону термодинамики равно:

Работа изобарного сжатия равна произведению давления пара и изменения его объема 'V:

305

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Подставим правые части формул (1) и (3) в равенство (2) и посмотрим, что получится:

Но масса пара, оставшегося в сосуде, нам не дана. Правда, она входит в уравнение Менделеева — Клапейрона, где молярная масса водяного пара М = 0,018 кг/моль нам известна. Запишем это уравнение и найдем из него недостающую массу:

Нам осталось подставить правую часть этого равенства в формулу (4), и задача в общем виде будет решена. Подставляем:

Задача в общем виде решена.

Теперь выразим все величины в единицах СИ и вычислим: 2 л = 0,002 м3, 100 0С = 373 К.

Ответ: Q = 1,4 кДж.

С17. Посередине теплоизолированного и закрытого цилиндрического сосуда длиной l с площадью основания S располагается поршень, толщиной которого можно пренебречь. Справа от поршня в сосуде находится газ под давлением р1 и при температуре Т1, а слева вакуум. Поршень соединен с левым основанием цилиндра сжатой упругой пружиной жесткостью k. Длина пружины в недеформированном состоянии равна длине цилиндра. Поршень удерживается в неподвижном состоянии внешним воздействием. Какая установится температура газа Т2 , если поршень отпустить? Известно, что внутренняя энергия этого газа пропорциональна его температуре: U = CT, где C — известный коэффициент пропорциональности. Трением и теплоемкостями цилиндра с поршнем можно пренебречь.

306

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

Обозначим V1 первоначальный объем газа, х — новую деформацию пружины, р2 — новое давление газа на поршень, V2 — новый объем газа.

Дано: Решение

lОбратимся к рисунку (рис. 183) и подумаем.

SГаз давит на поршень справа, а пружина — сле-

ва газ. Он и не даст ей распрямиться до конца. Газ сожмет-

ся, и его объем уменьшится. Сначала он занимал половину объема цилиндра, значит, его объем был равен произведению половины длины цилиндра и площади его основания:

После частичного распрямления пружины поршень окажется в равновесии в новом положении. Это значит, что силы, давящие на него слева и справа, станут по модулю равны друг другу. Слева на поршень давит пружина, и сила ее давления равна силе упругости, возникающей в ней, но направлена противоположно. Тогда согласно закону Гука эта сила равна kx. А справа на поршень давит сжатый газ, сила давления которого равна произведению его нового давления р2 на площадь поршня, которая тоже равна S. Тогда мы можем записать условие равновесия поршня в новом положении так:

Нам надо найти новую температуру Т2 сжатого газа. Сосуд теплоизолирован, значит, процесс сжатия газа адиабатный. Следовательно, за счет адиабатного сжатия газа его температура повысится. Поскольку сосуд теплоизолирован, при перемещении поршня энергия этой системы тел сохраняется.

307

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Когда поршень находился посередине цилиндра, его пружина была сжата и, значит, обладала потенциальной энергией. При этом ее деформация была равна разности между недеформированной длиной пружины, равной длине цилиндра l, и длиной наполовину сжатой пружины, которая равна l/2. Следовательно, деформация пружины в первом положении поршня тоже была l/2. Тогда потенциальная энергия пружины

U1 = CT1. Значит, полная энергия этой системы тел была равна

kl2 +

4 CT1 .

Когда пружину отпустили, она распрямилась, но не до конца. Значит, у нее остался запас потенциальной энергии. Теперь деформация пружины равна х, и значит, ее потенциальная

Как бы отыскать этот х? Он входит в условие равновесия (2), но там появляется неизвестное давление газа р2. Как бы его найти? Что мы еще не использовали?

А мы не использовали газовые законы. У нас масса газа, запертого поршнем, не меняется. Значит, можно воспользоваться одним из газовых законов. Только каким? Когда поршень сжал газ, у того изменились и давление, и объем, и температура. Значит, мы можем применить объединенный газовый закон, записав его для первого и второго состояний газа, тем более, что в него войдут известные и искомая величины:

Новый объем газа V2 равен произведению расстояния от поршня до правого основания цилиндра и площади этого

308

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

основания. А это расстояние равно деформации пружины. Значит,

Теперь давайте подставим в формулу (4) значения р2 , V1 и V2 . Из формулы (2) имеем:

Подставляем правые части равенств (1), (5) и (6) в формулу

(4). А давление р1 и температура Т1 нам известны из условия. Посмотрим, что получится:

Итак, мы получили систему двух уравнений (3) и (7) с двумя неизвестными: ненужной деформацией х и нужной температурой Т2. Выразим из уравнения (7) произведение kx2 и то, что получится, подставим вместо него в уравнение (3):

kx2 = p1lST2 .

2T1

Теперь подставляем правую часть этого равенства в формулу (3) вместо kx2. Так мы получим одно уравнение с одной искомой температурой Т2, которую оттуда и найдем. Вперед:

С18. Тонкостенный резиновый шар массой 40 г наполнен кислородом и погружен на глубину 20 м. Найти массу кислорода в шаре, если он находится в равновесии. Давление атмосферы 105 Па, температура на глубине 3 0С. Растяжением и объемом оболочки шара пренебречь. Молярная масса кислорода 0,032 кг/моль, плотность воды 1000 кг/м3.

309