int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Ударившись о камень, пуля сначала нагрелась от температуры Т1 до температуры плавления Т2, а затем расплавилась при температуре Т2. Количество теплоты Q1, полученное пулей при нагревании,

Q1 = cm(Т2 – Т1)

и количество теплоты Q2, полученное пулей при плавлении,

Сократим массу и определим скорость пули: v = 2(ñ (T2 − T1 )+ λ − gh).

Переведем все единицы в СИ:

0,13 кДж/(кг . К) = 130 Дж/(кг . К),

25 кДж/кг = 2,5 . 104 Дж/кг.

Подставим числа и произведем вычисления:

.

Ответ: v = 225 м/с.

В20. На рис. 167 изображен термодинамический цикл в координатах р — V, происходящий в газе. При этом цикле внутренняя энергия газа увеличилась на 500 кДж. Какое количество теплоты было передано газу?

Обозначим р давление газа, V — его объем, 'U — изменение внутренней энергии, Q — количество теплоты, A — совершенную работу.

280

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

А= (р2 – р1)( V2 – V1).

Сучетом этого равенства,

Q = 'U + (р2 – р1)( V2 – V1).

Q = 500 · 103 Дж + (300 · 103 – 100 · 103)(4 – 2) Дж =

= 900 · 103 Дж = 900 кДж.

Ответ: Q = 900 кДж.

Â21. Температуру холодильника идеального теплового двигателя уменьшили, а температуру нагревателя оставили прежней. При этом количество теплоты, полученное газом от нагревателя, тоже не изменилось. Как изменялись работа газа за цикл, количество теплоты, отданное холодильнику, и КПД двигателя?

Для каждой величины определите, как она изменилась: А) уменьшилась, Б) увеличилась, В) не изменилась.

Запишитевыбранныедлякаждойвеличины буквывтаблицу.

Решение

КПД идеального теплового двигателя определяет формула

K = Ò1 − Ò2 ,

Ò1

где согласно условию задачи температура нагревателя Т1 не изменилась, а температура холодильника Т2 уменьшилась. Значит, с уменьшением вычитаемого Т2 разность Т1–Т2 увеличилась, поэтому и КПД — тоже увеличился.

Согласно определению КПД теплового двигателя

K = Q1 − Q2 .

Q1

КПД, как мы показали, увеличился, значит, увеличился и числитель этой дроби. Но по условию количество теплоты

281

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Q1, полученное от нагревателя, не изменилось, поэтому при увеличении числителя Q1 – Q2 количество теплоты Q2, отданное холодильнику, уменьшилось.

Работа А за цикл равна разности количества теплоты Q1, полученного от нагревателя, и количество теплоты Q2, отданного холодильнику:

А = Q1 – Q2.

Поскольку количество теплоты Q1, полученное от нагревателя, не изменилось, а количество теплоты Q2, отданное холодильнику, уменьшилось, значит, работа, совершенная за цикл, увеличилась

Часть 3

С1. В горизонтально расположенной трубке, запаянной с одного конца, находится столбик ртути длиной l, запирающий столбик воздуха. Трубку поворачивают вертикально открытым концом вверх и нагревают воздух в ней на 'Т. При этом объем воздуха в трубке не изменяется. Давление наружного воздуха в комнате р0. Найти температуру воздуха в комнате.

Обозначим h длину воздушного столбика (рис. 180), U — плотность ртути, p1 — давление воздуха, запертого ртутью в трубке до нагревания, p2 — давление воздуха, запертого ртутью в трубке после нагревания, T1 — температуру воздуха в комнате, T2 — температуру воздуха в трубке после нагревания, g — ускорение свободного падения.

Дано: Решение

lПоскольку длина воздушного столбика не

где давление воздуха р1 в трубке до нагревания равно атмосферному давлению воздуха в комнате р0, а давление воздуха

282

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

lпосле нагревания р2 равно сумме атмос-

С учетом этих равенств закон Шарля примет вид:

С2. В цилиндре под поршнем находится газ. Масса поршня m, площадь его основания S. С какой силой надо давить на поршень, чтобы объем воздуха под ним уменьшился вдвое и при этом температура воздуха будет повышена на 60%? Атмосферное давление нормальное. Трением пренебречь.

Обозначим р0 атмосферное давление, р1 — первоначальное давление воздуха под поршнем, р2 — конечное давление воздуха под поршнем, F — силу давления на поршень, V1 — первоначальный объем воздуха под поршнем, V2 — конечный объем воздуха под поршнем, g — ускорение свободного падения, T1 — начальную температуру воздуха под поршнем, T2 — конечную температуру воздуха под поршнем, 'Т — изменение температуры воздуха.

mвоздуха под поршнем изменялись все три

283

Физика для старшеклассников и абитуриентов

иТ2 = Т1 + 'Т = Т1 + 0,6Т1 = 1,6Т1.

Сучетом условия задачи и этих равенств первое уравнение

F = 2,2(p0S + mg).

Ответ: F = 2,2(p0S + mg).

С3. Воздушный шар имеет объем 200 м3. Температура воздуха снаружи 17 0С, температура воздуха внутри шара 127 0С. Давление атмосферы 105 Па, в шаре имеется отверстие. Шар движется вверх равномерно. Сопротивлением пренебречь. Найти массу нерастяжимой оболочки шара.

Обозначим V объем шара, t1 — температуру наружного воздуха по шкале Цельсия, t2 — температуру внутри шара по шкале Цельсия, Т1 — температуру наружного воздуха по шкале Кельвина, Т2 — температуру воздуха внутри шара по шкале Кельвина, р — давление атмосферы, U— плотность воздуха снаружи, m — массу воздуха внутри шара, m0 — массу оболочки, R — молярную газовую постоянную, M — молярную массу воздуха, Fвыт — выталкивающую силу, g — ускорение свободного падения.

284

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

Массу воздуха внутри шара определим из уравнения Менделеева — Клапейрона:

Подставим правые части равенств (2) и (3) в выражение (1) и из полученного уравнения найдем массу оболочки:

Ответ: m0 = 66 кг.

С4. Идеальный одноатомный газ расширяется (рис. 168) сначала изобарно (участок 1–2), а потом адиабатно (участок 2–3 графика). При адиабатном расширении газ совершил работу 27 кДж. Температура газа в состоянии 1 равна температуре в состоянии 3. Найти работу расширения газа в процессе 1–2–3.

Обозначим А1-2 работу расширения газа на участке 1–2, А2-3 — работу расширения газа на участке 2–3, А1-2-3 — работу расширения газа на участке 1–2–3, Т1 — температуру газа в состоянии 1, Т2 — температуру газа в состоянии 2, Т3 — температуру газа в состоянии 3, р1 — давление газа в состоянии 1, V1 — объем газа в состоянии 1, V2 — объем газа в состоянии 2, Q — количество молей газа, R — молярную газовую постоянную, 'U2-3 — изменение внутренней энергии газа при адиабатном расширении.

285

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Работа изобарного расширения

А1-2 = р1(V2 – V1) = QR(Т2 – Т1). Работа адиабатного расширения

3

А2-3 = – 'U2-3 = – 2 QR(Т3 – Т2) = 1,5 QR(Т2 – Т3), где Т3 = Т1 согласно условию задачи.

А1-2-3 = 32 À2−3 + А2-3 = 53 А2-3 = 53 · 27 кДж = 45 кДж. Ответ: А1-2-3 = 45 кДж.

С5. Идеальный одноатомный газ, находящийся в теплоизолированном сосуде объемом V под давлением р, заперт поршнем массой М (рис. 169). Справа поршень удерживают упоры 1 и 2, не давая газу расширяться. В поршень попадает пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью v, и застревает в нем. Считая, что всю механическую энергию поршень передаст газу, определить, во сколько раз повысится температура газа. Процесс в газе изобарный.

Обозначим Т1 температуру газа до попадания пули в поршень, Т2 — температуру газа после попадания пули в поршень, Еk — кинетическую энергию поршня с застрявшей в нем пулей, 'U — увеличение внутренней энергии газа, А — работу изобарного сжатия газа, Q — количество молей газа, R — молярную газовую постоянную, 'Т — изменение температуры газа после попадания пули в поршень. Остальные величины названы в условии задачи.

Дано: Решение

VСогласно условию задачи, вся кинетическая

pэнергия поршня с застрявшей в нем пулей Еk пой-

Mдет на увеличение внутренней энергии газа 'U и

mна совершение отрицательной работы изобарного

vсжатия газа А:

Ek = 'U – A.

Ò2 — ?

Ò1

286

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

Воспользовавшись формулами кинетической энергии, внутренней энергии и работы изобарного изменения объема газа, запишем:

Здесь v0 — скорость поршня с пулей сразу после попаданий в него пули. Подставив правые части этих выражений в предыдущую формулу, получим:

Начальную температуру газа Т1 найдем из уравнения Менделеева — Клапейрона, записав его для первого состояния газа:

Подставим правые части равенств (1) и (3) в формулу (2):

. (4)

Нам осталось найти скорость поршня с пулей сразу после попадания в него пули. Ее мы найдем с помощью закона сохранения импульса, согласно которому импульс летящей пули mv равен импульсу поршня с застрявшей в нем пулей (m + M)v0:

Подставим правую часть равенства (5) в выражение (4):

.

Задача решена.

287

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

при равновесии равно сумме атмосферного давления ратм и давления поршня рп:

Объем воздуха под верхним поршнем вначале был равен:

После опускания верхнего поршня на место нижнего газ под ними сжался и давление под верхним поршнем стало р2. Теперь оно равно сумме давлений атмосферы ратм, поршня рп и некоторой силы, придавившей поршень, рс:

р2 = ратм + рп + рс или с учетом (2) р2 = 2ратм + рс. (4)

Новый объем воздуха под верхним поршнем станет равен:

Подставим равенства р1 = 2 ратм , (3), (4) и (5) в формулу (1):

2ратмhS = (2pатм + рс)(h – x)S

или после сокращения S

Теперь перейдем к газу под нижним поршнем. Запишем применительно к нему закон Бойля — Мариотта:

Давление газа под нижним поршнем р3 до опускания верхнего было равно сумме давления газа под верхним поршнем р1 и давления самого нижнего поршня рп:

р3 = р1 + рп = 2ратм + ратм

согласно условию задачи и равенству (2).

Давление газа р4 под нижним поршнем после его сжатия стало равно сумме давления газа под верхним поршнем р2 и давления самого нижнего поршня рп:

289