int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012
.pdf
Физика для старшеклассников и абитуриентов
Значит, работа газа равна полученному количеству теплоты: А = 60 кДж.
Правильный ответ 1).
А79. Работа в координатах р–V численно равна площади прямоугольника, ограниченного графиком. Из рис. 164 следует, что работа
А= (400 · 103 – 100 · 103)(0,8 – 0,3) Дж = 150 · 103 Дж = 150 кДж. Правильный ответ 3).
Часть 2
В1. В колбе объемом 1,5 л содержится 3 · 1022 атомов гелия. Какова средняя кинетическая энергия атомов? Давление газа в колбе 105 Па.
Обозначим V объем колбы, равный объему газа в ней, N — число молекул гелия в колбе, p — давление газа, n — концентрацию молекул, E — среднюю кинетическую энергию атомов гелия.
Дано:
V = 1,5 л N = 3 1022 р = 105 Па
E — ?
Решение
Среднюю кинетическую энергию атомов гелия найдем из формулы, связывающей ее с концентрацией атомов в колбе n и давлением газа р:
|
2 |
|
|
|
|
3p. |
||
р = |
n |
E |
, откуда |
E |
= |
|||
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2n |
||
Концентрация атомов гелия n равна отношению числа атомов N в объеме V к этому объему:
n = N. V
Нам осталось подставить правую часть этого выражения вместо n в предыдущую формулу, и задача в общем виде будет решена:
E = .
Переведем в единицы СИ размерность объема: 1,2 л = 0,0012 м3.
Произведем вычисления:
|
|
|
3 105 0,0012 |
= 6 10−21 |
Дж. |
|
E = |
||||||
|
||||||
G |
2 3 1022 |
|
||||
|
|
|
||||
Ответ: ȿ = 6 · 10–21 Дж.
260
Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика
В2. Вычислить среднюю квадратичную скорость молекул газа, если его масса m = 6 кг, объем V= 4,9 м3 и давление p = 200 кПа.
Обозначим v2 среднюю квадратичную скорость молекул, m0 — массу каждой молекулы газа, n — концентрацию молекул, N —все число молекул в этом объеме. Остальные величины обозначены в условии задачи.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
m = 6 кг |
|
Среднюю квадратичную скорость молекул |
|||||||||
V = 4,9 м3 |
|
газа найдем из основного уравнения кинетиче- |
|||||||||
p = 200 кПа |
|
ской теории, в которое входит и эта величина: |
|||||||||
|
|
|
|
|
р = 1m0n |
|
2, откуда |
|
2 = |
3ð |
. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
v |
v |
|||||||
v |
— ? |
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
m0n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Концентрация молекул газа n равна отношению их числа N в объеме V к этому объему:
n = N. V
Подставим последнее выражение в предыдущую формулу
ипосмотрим, что получится:
v2 = 3pV .
m0 N
Произведение массы каждой молекулы m0 на их число N в объеме V равно массе m всех молекул в этом объеме, которая нам известна. Значит, заменив произведение m0N в знаменателе последней формулы на массу всего газа m, мы решим
задачу в общем виде:
m0N = m, поэтому v2 = 3pV m
Выразим единицу давления в СИ:
200 кПа = 2 · 102 кПа = 2 · 102 · 103 Па = 2 · 105 Па.
Произведем вычисления:
v2 = 3 2 105 4,9 = 4,9 105 м2/с2. 6
Ответ: v2 = 4,9 · 105 м2/с2.
В3. На сколько процентов увеличивается средняя квадратичная скорость молекул воды в нашей крови при повышении температуры от 37 до 40 0С?
261
Физика для старшеклассников и абитуриентов
Обозначим t1 начальную температуру, t2 — конечную
температуру, v1 — среднюю квадратичную скорость молекул
при 37 0С, v2 — среднюю квадратичную скорость молекул
при 40 0С, 'v — изменение средней квадратичной скорости молекул, k — постоянную Больцмана, m0 — массу молекулы воды.
Дано:
t1 = 37 оС t = 40 оС
k2= 1,38 10–23 Дж/К
υ 100%— ?
υ1
Решение
Нам надо найти относительное изменение скорости молекул воды, выраженное в процентах. Абсолютное изменение скорости молекул 'v равно разности между средней квадратичной скоростью молекул
v2 при температуре 40 0С и средней
квадратичной скоростью молекул v1 при 37 0С:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'v = v2 – |
v1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
По формуле средней квадратичной скорости |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3kT1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3kT2 |
, |
|
|||||
υ1 |
= |
(1) |
|
|
и |
υ2 |
= |
|
|||||||||||||||
|
m0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m0 |
|
|||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
3kT2 |
|
− |
|
3kT1 |
= |
3k ( |
T2 − T1 ) |
|
||||||||||||
v |
(2) |
||||||||||||||||||||||
|
|
m |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
m |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
Нам осталось разделить (2) на (1) и, выполнив сокращения, выразить полученное отношение в процентах:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3k ( T2 − T1 ) |
|
|
|
3k ( T2 − T1 ) |
|||||||||||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
100% |
= |
|
m0 |
|
|
|
|
|
|
100% = |
m0 |
|
|
|
|
|
100%= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
v1 |
|
|
3kT1 |
|
|
|
|
|
3k |
|
T1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
|
T |
− |
T |
|
|
= |
|
T |
− |
|
T |
|
|
|
= |
T |
− |
|
|||||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
100% |
|
|
2 |
|
1 |
|
100% |
|
|
2 |
1 100%. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
T1 |
|
|
|
T1 |
|
|
|||||||
Мы решили задачу в общем виде. Подставим числа и произведем вычисления:
262
Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика
|
|
100% = |
|
313 − 1 |
|
|
|
v |
100% = 0,48%. |
||||
|
|
|
||||
v1 |
310 |
|
|
|||
|
|
|
||||
Ответ: v100% = 0,48 %. v1
В4. Газ сжат изотермически от объема V1 = 8 л до объема V2 = 6 л. Давление при этом возросло на 'р = 4 кПа. Каким было начальное давление р1?
Обозначим Т температуру газа, р2 — его конечное давление. Остальные величины в этой задаче уже имеют буквенные обозначения.
Дано:
Т = const
V1 = 8 л
V2 = 6 л 'p = 4 кПа
р1 — ?
Решение
Поскольку данная масса газа находилась при неизменной температуре, т.е. происходящий в газе процесс был изотермическим, применим для решения этой задачи закон Бойля — Мариотта:
p1V1 = p2V2. |
(1) |
Конечное давление р2 нам не дано, но его можно представить как сумму начального давления р1 и изменения давления 'р:
р2 = р1 + 'р. |
(2) |
Подставим (2) в (1) и, выполнив несложные алгебраические преобразования, найдем начальное давление р1:
р1V1 = (p1 + 'p)V2, p1V1 = p1V2 + 'pV2, p1V1 – p1V2 = 'pV2,
p1(V1 – V2) = 'pV2, откуда |
p1 |
= |
|
pV2 |
. |
|
|
||||
|
|
V1 |
− V2 |
||
Здесь не обязательно переводить все размерности в СИ, ведь литры сократятся и останется ответ в килопаскалях. Произведем вычисления:
p1 = |
4 6 |
кПа = 12 кПа. |
|
8 − 6 |
|||
|
|
Ответ: р1 = 12 кПа.
В5. Определить температуру газа, находящегося в закрытом сосуде, если давление газа увеличивается на 0,4 % первоначального давления при нагревании на 1 К.
263
Физика для старшеклассников и абитуриентов
Обозначим р1 начальное давление газа, р2 — его конечное давление, 'р — изменение давления, Т1 — начальную температуру, Т2 — конечную температуру, 'Т — изменение температуры, V — объем газа.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|||
p 100%= 0,4% |
|
Поскольку газ находится в закрытом |
|||
p1 |
|
сосуде, процесс его нагревания изохор- |
|||
'Т = 1 К |
|
ный, и к нему применим закон Шарля: |
|||
|
|
ð2 |
|
|
|
V = const |
|
|
= Ò2 . |
(1) |
|
|
1 |
||||
Т1 — ? |
|
1 |
|
||
|
Конечное давление р2 равно сумме на- |
||||
|
|||||
|
|
||||
чального давления р1 и изменения давления 'р: |
|
||||
|
|
р2 = р1 + 'р, |
|
(2) |
|
и, кроме того, конечная температура Т2 тоже равна сумме начальной температуры Т1 и ее изменения 'Т:
|
|
|
|
Т2 = Т1 + 'Т. |
|
|
|
|
(3) |
|||||
Подставим (2) и (3) в (1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ð1 + ð |
= |
Ò1 + Ò |
, |
|
ð1 |
+ ð = |
Ò1 |
+ Ò , |
|||||
|
|
ð1 |
|
|||||||||||
ð1 |
Ò1 |
|
|
ð1 |
Ò1 |
Ò1 |
|
|||||||
1 + ð = 1 + Ò , |
|
ð = Ò . |
|
|
|
|||||||||
ð1 |
Ò1 |
|
ð1 |
Ò1 |
|
|
|
|
|
|||||
Но согласно условию задачи p 100%= 0,4% или, что то |
||||||||||||||
же самое, |
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ð = 0,004, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ð1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
поэтому |
Ò = 0,004 , |
|
откуда |
Ò1 |
= |
|
Ò |
. |
||||||
|
0,004 |
|||||||||||||
Ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим числовое значение 'Т = 1 К:
Ò1 = |
1 |
0,004 К = 250 К. |
Ответ: Т1 = 250 К.
В6. Современные вакуумные насосы позволяют понижать давление до 1,3 10–10 Па (10–12 мм рт. ст.). Сколько молекул
264
Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика
газа содержится в 1 см3 при указанном давлении и температуре 27 0С?
Обозначим р давление, V — объем, t — температуру в сосуде, N — число молекул в сосуде, k — постоянную Больцмана, n — концентрацию молекул газа.
Дано: |
Решение |
р = 1,3 · 10–10 Па |
Число молекул N в 1 см3 можно |
V = 1 см3 |
найти, умножив их концентрацию |
t = 27 оС |
n на объем V: |
k = 1,38 · 10–23 Дж/К |
N = nV. |
Концентрацию молекул опреде- N — ? лим из формулы, связывающей давление газа р с концентрацией молекул и абсолютной температурой Т:
|
p = knT, |
||
откуда |
n = |
p |
. |
|
|||
|
|
kT |
|
Подставив правую часть этого выражения вместо n в предыдущую формулу, мы решим задачу в общем виде:
N = pV . kT
Выразим в единицах СИ объем и температуру:
1 см3 = 10–6 м3, 27 0С = 27 + 273 = 300 К.
Произведем вычисления:
|
1,3 10−10 10−6 |
4 |
N = |
|
= 3,14 10 . |
1,38 10−23 300 |
Ответ: N = 3,14 · 104.
В7. Где больше молекул: в комнате объемом 50 м3 при давлении 105 Па и температуре 20 0С или в стакане воды объемом 200 см3?
Обозначим: V1 объем комнаты, p — давление воздуха, t — температуру воздуха в комнате по шкале Цельсия, T — абсолютную температуру воздуха, т.е. его температуру по шкале Кельвина, V2 — объем воды в стакане, N1 — число молекул
265
Физика для старшеклассников и абитуриентов
воздуха в комнате, N2 — число молекул воды в стакане, k — постоянную Больцмана, m — массу воды в стакане, m0 — массу молекулы воды, U — плотность воды, M — молярную массу воды, NA — число Авогадро.
Дано:
V1 = 50 м3 р = 105 Па
t = 20 оС
V2 = 200 см3
k = 1,38 · 1023 Дж/К U = 103 кг/м3
М = 0,018 кг/моль NА = 6,02 · 1023 моль–1
N1 — ?
N2 — ?
Решение
Число молекул N1 воздуха в комнате найдем из формулы
pV1 |
= kT, откуда N1 |
= |
pV1 |
. |
(1) |
|
|||||
N1 |
|
|
kT |
|
|
Здесь
Т = t + 273 = 20 + 273 = 293 К.
Поскольку все величины в формуле (1) известны, вычислим N1:
N = |
105 50 |
= 1,2 1027. |
|
1,38 10−23 293 |
|||
1 |
|
Число молекул воды N2 можно найти, разделив массу воды в стакане m на массу одной молекулы m0:
N2 |
= |
m |
. |
(2) |
|
||||
|
|
m0 |
|
|
Массу всей воды в стакане найдем, умножив ее плотность U, т.е. массу каждой единицы объема воды, на объем воды V2:
m = UV2. |
(3) |
Выразим объем воды в единицах СИ:
200 см3 = 200 · 10–4 м3 = 0,02 м3.
Массу одной молекулы воды m0 найдем, разделив молярную массу воды М, т.е. массу всех молекул в одном моле воды, на их число в нем, т.е. на число Авогадро NA:
m0 |
= |
M |
. |
(4) |
|
||||
|
|
NA |
|
|
Подставив (3) и (4) в (2), мы найдем число молекул в ста-
кане воды:
N2 = ρV2 NA . M
Вычислим это число молекул:
266
Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика
N2 = 103 2 10–4 6,02 1023 = 6,7 1024 .
0,018
Сравнив численные величины N1 и N2, мы увидим, что число молекул воздуха в комнате больше, чем число молекул воды в стакане.
Ответ: N1 = 1,2 · 1027, N2 = 6,7 · 1024.
В8. Чему равна средняя квадратичная скорость молекул газа, если его масса m = 6 кг, объем V= 4,9 м3 и давление p = 200 кПа?
Обозначим v2 средний квадрат скорости молекул, m0 — массу каждой молекулы газа, n — концентрацию молекул, N —все число молекул в этом объеме. Остальные величины обозначены в условии задачи.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
m = 6 кг |
|
Средний квадрат скорости молекул газа |
||||||||
V = 4,9 м3 |
|
найдем из основного уравнения кинетической |
||||||||
p = 200 кПа |
|
теории, в которое входит и эта величина: |
||||||||
|
|
|
р = 1m0n |
|
2, |
откуда |
|
2 = |
3ð |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
v |
v |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
v — ? |
|
3 |
|
|
|
|
|
m0n |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
Концентрация молекул газа n равна отношению их числа N в объеме V к этому объему:
n = N. V
Подставим последнее выражение в предыдущую формулу
ипосмотрим, что получится:
v2= 3pV .
m0 N
Произведение массы каждой молекулы m0 на их число N в объеме V равно массе m всех молекул в этом объеме, которая нам известна. Значит, заменив произведение m0N в знаменателе последней формулы на массу всего газа m, мы решим
задачу в общем виде:
m0N = m, поэтому v2 = 3pV, откуда m
v = 3ðV . m
267
Физика для старшеклассников и абитуриентов
Выразим единицу давления в СИ:
|
|
|
200 кПа = 2 · 105 Па. |
||||
Произведем вычисления: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 2 105 4,9 |
м/с = 700 м/с. |
|||
v |
|||||||
|
6 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
Ответ: v = 700 м/с.
В9. Три сферы радиусами 4 см, 8 см и 10 см заполнены газом и соединены тонкими трубками, перекрытыми кранами (рис. 165). Давление газа в левой сфере 0,2 МПа, давление газа в средней сфере 0,4 МПа, давление газа в правой сфере 0,8 МПа. Каким станет давление газа, если оба крана открыть?
Обозначим R1 радиус левой сферы, R2 — радиус средней сферы, R3 — радиус правой сферы, p01 — давление в левой сфере до открытия кранов, p02 — давление в средней сфере до открытия кранов, p03 — давление в правой сфере до открытия кранов, p — давление газа после открытия кранов, V1 — объем левой сферы, V2 — объем средней сферы, V3 — объем правой сферы, p1 — парциальное давление газа из левой сферы после открытия кранов, p2 — парциальное давление газа из средней сферы после открытия кранов, p3 — парциальное давление газа из правой сферы после открытия кранов.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|||
R1 = 4 см |
|
Когда краны откроют, газы перемеша- |
|
R2 |
= 8 см |
|
ются и каждый газ займет объем, равный |
R3 |
= 10 см |
|
V1 + V2 + V3. Согласно закону Дальтона |
р01 = 0,2 МПа |
|
давление смеси газов р равно сумме парци- |
|
р02 = 0,4 МПа |
|
альных давлений р1, р2 и р3 каждого газа в |
|
р03 = 0,8 МПа |
|
этой смеси: |
|
|
|
р = р1 + р2 + р3. |
|
p — ? |
|
||
Поскольку температура и масса каждого газа не менялись, для нахождения их парциальных давлений применим закон Бойля — Мариотта:
|
р01V1 = p1(V1 + V2 + V3), |
|
||||
откуда |
ð1 = |
|
p01V1 |
|
. |
(1) |
V +V +V |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
268
Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика
Объемы шаров выразим через их радиусы, которые нам даны:
V = 4 |
πR3 |
, |
V = 4 |
πR3 |
и |
V = 4 |
πR3 . |
|||
1 |
3 |
1 |
|
2 |
3 |
2 |
|
3 |
3 |
3 |
Подставим правые части этих равенств вместо объемов в формулу (1):
p1 = |
|
|
4πp |
R3 |
|
|
|
= |
|
p |
R3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
01 |
1 |
|
|
|
|
|
01 |
|
1 |
|
|
||
4 |
3 |
+ |
4 |
|
3 |
+ |
4 |
3 |
|
R3 |
+ R3 |
+ R3 . |
(2) |
|||||
3 |
3 |
πR1 |
3 |
πR2 |
3 |
πR3 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогичные формулы запишем сразу для давлений р2 и р3:
p2 = |
|
p |
R3 |
|
p3 = |
|
p |
R3 |
|
|||
|
02 |
|
2 |
(3) и |
|
03 |
|
3 |
. |
(4) |
||
R3 |
+ R3 |
+ R3 |
R3 |
+ R3 |
+ R3 |
|||||||
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
Нам осталось подставить правые части равенств (2), (3) и (4) в формулу (1), и задача будет решена. Поскольку знаменатели их одинаковы, запишем их под одной чертой:
.
Задача в общем виде решена. Можно оставить давление в мегапаскалях, ведь все кубические сантиметры сократятся. Подставим числа и вычислим:
МПа = 0,65 МПа.
Ответ: р = 0,65 МПа.
В10. В баллоне находится газ при температуре 15 0С. Во сколько раз уменьшится давление газа, если 40 % его выйдет из баллона, а температура при этом понизится на 8 0С?
Обозначим t начальную температуру газа по шкале Цельсия,T — эту же температуру по шкале Кельвина (абсолютную температуру), 'T — изменение температуры, m — начальную массу газа, 'm — изменение массы газа в баллоне ( или массу газа, вышедшего из баллона), V — объем газа, R — молярную газовую постоянную, M — молярную массу газа, р1 — началь-
ное давление газа в баллоне, р2 — его конечное давление. Указание: изменение температуры по шкале Цельсия 't
равно изменению температуры по шкале Кельвина 'Т, т.е., если 't = 8 0С, то и 'Т = 8 К.
269