int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Физика для старшеклассников и абитуриентов

согласно (2) и (4).

Новый объем воздуха под нижним поршнем станет равен:

Подставим правые части равенств (8), (3), (9) и (10) в формулу (7):

3ратмhS = (3ратм + рс)хS, 3ратмh = (3pатм + рс)х. (11) Теперь нам предстоит решить систему уравнений (6) и (11)

относительно искомого расстояния х, исключив из них неизвестные давления. Давайте в этих уравнениях сначала раскроем скобки и сделаем приведение подобных членов, — может, мы их при этом немного упростим. Начнем с уравнения (6):

2ратмh = 2pатмh + pch – 2pатмх – рсх, 2ратмх = рс(h – x). (12)

Теперь проделаем то же самое с уравнением (11):

Если теперь разделить левые и правые части уравнений (12)

и(13) друг на друга, то все неизвестные давления сократятся

имы сумеем найти расстояние х:

Ответ: х | 0,55h.

С7. Агрегат мощностью 50 кВт охлаждается проточной водой, текущей со скоростью 4 м/с по охватывающей агрегат трубке радиусом 5 мм. Начальная температура воды 10 0С. До какой температуры нагревается вода, если половина тепловой мощности агрегата идет на ее нагревание? Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг · К).

Обозначим N мощность агрегата, v — скорость течения воды, R — радиус трубки, t1 — начальную температуру воды, K — КПД нагревателя, c — удельную теплоемкость воды, U— плотность воды, t2 — температуру, до которой нагревается

290

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

вода, Qпол — количество теплоты, пошедшее на нагревание воды, Qзатр — количество теплоты, затраченное агрегатом, m — массу воды, V — ее объем, l — длину водяного столбика, S — площадь сечения трубки, t — время нагревания.

Здесь Qпол — количество теплоты, пошедшее на нагревание воды:

Чтобы ввести в эту формулу известную нам скорость воды, выразим массу протекающей по трубке воды через ее плотность U и объем V, а объем, в свою очередь, — через некоторую длину столбика воды l = vt, где t — время, за которое некоторое сечение этого столбика воды пробегает длину l:

m = UV, где V = lS = vtS.

Здесь S = SR2 — площадь поперечного сечения трубки с водой. Собрав все эти равенства в формулу массы воды, получим:

Подставим правую часть равенства (3) вместо массы в формулу (2):

Теперь выразим затраченное агрегатом количество теплоты через его тепловую мощность:

Нам осталось подставить правые части выражений (4) и (5) в формулу (1) и, сократив неизвестное время t, найти искомую температуру t1. Проделаем эти действия:

291

Физика для старшеклассников и абитуриентов

.

Отсюда найдем t2:

Задача в общем виде решена. Выразим величины мощности и радиуса в единицах СИ:

5 кВт = 5 · 103 Вт, 5 см = 5 · 10—2 м. Произведем вычисления:

Ответ: t2 = 89,6 0С.

С8. Тепловой двигатель совершает круговой цикл, соответствующий графику на рис. 170. Цикл состоит из двух изохор 1–2 и 3–4, и двух адиабат 2–3 и 4–1. Найти КПД этого цикла.

Обозначим р1 давление газа в состоянии 1, р2 — давление газа в состоянии 2, V1 — объем газа в состоянии 1, V2 — объем газа в состоянии 2, K — КПД процесса, Q1 — количество теплоты, полученное газом в изохорном процессе 1–2, Q2 — количество теплоты, отданное газом в изохорном процессе 3–4, Q — количество молей газа, R — молярную газовую постоянную, 'Т1 — изменение температуры газа в процессе 1–2, 'Т2 — изменение температуры газа в процессе 3–4, р3 — давление газа в состоянии 3, р4 — давление газа в состоянии 4.

ном уменьшении давления в процессе 3–4 газ охлаждается, т.е. он отдает тепло внешней среде в количестве Q2. Поэтому КПД этого кругового процесса равен:

292

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

Количество теплоты, полученное газом при изохорном увеличении давления, соответствующем участку 1–2 графика, в соответствии с первым законом термодинамики, когда работа расширения А = 0, равно изменению внутренней энергии газа:

Q1 = 32 νR T1 ,

где в соответствии с уравнением Менделеева—Клапейрона

(ð2 − ð1)V1 = νR T1.

С учетом этого

При изохорном уменьшении давления, соответствующем участку 3–4 графика, количество теплоты Q2, выделенное в процессе охлаждения газа, найдем по аналогичной формуле:

Нам осталось подставить правые части равенств (2) и (3) в формулу (1), и задача в общем виде будет решена. Проделаем эти действия:

.

Здесь можно не переводить единицы величин в СИ, ведь все они сокращаются. Произведем вычисления:

(15−5)6

η= 1− ( ) 100%= 25%.50−10 2

Ответ: K = 25%.

С9. В калориметр налита вода массой 0,4 кг при 10 0С. В воду положили 0,6 кг льда при –40 0С. Определить температуру после установления теплового равновесия. Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг . К), удельная теплоемкость льда 2100 Дж/(кг . К), удельная теплота плавления льда 3,3 . 105 Дж/кг.

293

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Обозначим m1 массу воды в калориметре, t1 — ее начальную температуру, m2 — массу льда, t2 — начальную температуру льда, t — температуру, установившуюся в калориметре после всех тепловых процессов, c1 — удельную теплоемкость воды, c2 — удельную теплоемкость льда, O — удельную теплоту плавления льда, tо = 0 0С — температуру плавления льда и кристаллизации воды, t — температуру, установившуюся

вкалориметре, Q1 — количество теплоты, отданное водой

вкалориметре при охлаждении от температуры t1 до tо, Q2 — количество теплоты, необходимое льду, чтобы нагреться от температуры t2 до tо , Q3 — количество теплоты, которое выделит вода, если, остыв до 0 0С, полностью превратится

влед, Q4 — количество теплоты, необходимое льду, чтобы полностью растаять.

агрегатном состоянии окажутся эти вещества, давайте подсчитаем, сколько теплоты Q1 выделит вода массой m1 при охлаждении от t1 = 10 0С до tо = 0 0С, сколько теплоты Q2 потребуется льду, чтобы нагреться от температуры t2 = – 40 0С до tо = 0 0С, и сколько теплоты нужно этому льду, чтобы полностью растаять, — а потом сравним полученные величины.

Вода при охлаждении от 10 0С до 0 0С выделит

Q1 = c1m1(to – t1) = 4200 · 0,4(0 – 10) Дж = –16 800 Дж теплоты.

Льду, чтобы нагреться до 0 0С, требуется

Q2 = c2m2(to – t2) = 2100 · 0,6(0 – (–40)) Дж = = 50 400 Дж теплоты.

294

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

Значит, теплоты, выделенной водой при охлаждении до 0 0С, недостаточно, чтобы лед нагрелся до температуры плавления, т.е. тоже до 0 0С. Вода остынет до 0 0С и станет кристаллизоваться, т.е. превращаться в лед. Если она полностью превратится в лед, то выделит еще

Q3 = Om1 = 3,3 . 105 . 0,4 Дж = 132 000 Дж теплоты.

Теплоты Q1 + Q3 = (16 800 + 132 000) Дж = 148 800 Дж хватит льду, чтобы нагреться до температуры таяния, т.е. до 0 0С. Но хватит ли ее, чтобы его полностью растопить? Чтобы весь лед растаял при 0 0С, ему надо еще

Q4 = Om2 = 3,3 . 105 . 0,6 Дж = 198 000 Дж теплоты.

Значит, чтобы весь лед нагреть до 0 0С и полностью растопить, ему надо сообщить Q2 + Q4 = 50 400 + 198 000 Дж = 248 400 Дж теплоты.

Следовательно, теплоты, выделенной водой при охлаждении и замерзании, хватит на то, чтобы лед нагрелся до 0 0С, но не хватит на то, чтобы он весь растаял. Значит, окончательная температура будет 0 0С.

Ответ: t = 0 0С.

С10. В калориметр налита вода массой 0,25 кг при температуре 25 0С. В эту воду впустили стоградусный пар массой 10 г. Теплоемкость калориметра 1000 Дж/К, Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг . К), удельная теплота парообразования 2,3 . 106 Дж/К. Найти температуру при тепловом равновесии этих тел.

Обозначим m1 массу воды в калориметре, t1 — начальную температуру этой воды, m2 — массу водяного пара, t2 — начальную температуру пара, C — теплоемкость калориметра, t — установившуюся в калориметре температуру после всех тепловых процессов, c — удельную теплоемкость воды, r — удельную теплоту парообразования, Q1 — количество теплоты, полученное холодной водой при нагревании от температуры t1 до t, Q2 — количество теплоты, полученное холодным калориметром при нагревании тоже от температуры t1 до t, Q3 — количество теплоты, отданное паром при конденсации, в процессе которой его температура не менялась, Q4 — количество теплоты, отданное водой, образовавшейся из горячего пара при охлаждении от температуры t2 до t.

295

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Сложим правые части этих выражений и приравняем их нулю, откуда найдем искомую температуру t:

cm1(t – t1) + C(t – t1) – rm2 + cm2(t – t2) = 0.

Мы записали уравнение теплового баланса. Раскроем скобки, члены, содержащие искомую температуру t, оставим по одну сторону от знака равенства, а не содержащие — перенесем в другую, вынесем t за скобки и определим:

cm1t – cm1t1 + Ct – Ct1 – rm2 + cm2t – cm2t2 = 0,

сm1t + Ct + cm2t = cm1t1 + Ct1 + rm2 ,

t(c(m1 + m2) + C) = t1(cm1 + C) + rm2 ,

t = t1(cm1 + C) + rm2 c(m1 + m2 ) + C

Выразим в единицах СИ массу пара: 10 г = 0,01 кг. Произведем вычисления:

Ответ: t | 37 0С.

С11. 10 молей идеального газа нагрели на 100 К. В процессе нагревания давление газа росло прямо пропорционально его объему. Какое количество теплоты было сообщено газу?

Обозначим Q количество молей, 'Т — изменение температуры газа, р — давление, k — коэффициент пропорциональности между давлением и объемом V, Q — количество теплоты, полученное газом, 'U — изменение его внутренней энергии,

296

(3)

Теперь запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для начального и конечного состояний газа:

А теперь вычтем из последнего уравнения предпоследнее. Так мы придем к правой части равенства (3):

297

Физика для старшеклассников и абитуриентов

kV22 − kV12 = νRT2 − νRT1 ,

k(V22 −V12 )= νR(T2 −T1)= νR T .

Тогда с учетом равенства (3)

Подставив равенства (2) и (4) в формулу (1), мы решим задачу в общем виде:

Q = 1,5QR'T + 0,5QR'T = 2QR'T.

Произведем вычисления:

Q = 2 · 10 · 8,31 · 100 Дж = 16620 Дж = 16,62 кДж.

Ответ: Q = 16,62 кДж.

С12. В идеальном газе происходит процесс, изображенный на рис. 171. Какое количество теплоты подведено к газу в этом процессе, начиная от состояния 1 и кончая состоянием 4?

Обозначим p1 давление газа в состояниях 1 и 2, V1 — объем газа в состоянии 1, р2 — давление газа в состояниях 3 и 4, V2 — объем газа в состояниях 2 и 3, V3 —объем газа в состоянии 4, Q — количество теплоты подведено к газу, начиная от состояния 1 и кончая состоянием 4, Q1 — количество теплоты, полученное газом при изобарном расширении (участок 1–2), Q2 — количество теплоты, полученное газом при изохорном нагревании (участок 2–3), Q3 — количество теплоты, полученное газом при изобарном расширении (участок 3–6), 'U1 — изменения внутренней энергии газа в процессе 1–2, А1 — работа расширения газа в процессе 1–2, Q — количество молей газа, R — молярную газовую постоянную, 'T1 — изменение температуры газа в процессе 1–2, А2 — работа газа в процессе 2–3, 'T2 — изменение температуры газа в процессе 2–3.

298

Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика

газом при изобарном расширении (участок 1–2), равно сумме изменения внутренней энергии газа 'U1 и работе А1, совершенной газом против внешних сил:

Количество теплоты Q2, полученное газом при изохорном нагревании (участок 2–3), равно только изменению внутренней энергии газа 'U2, ведь при изохорном процессе работа газа

А2 = 0.

Поэтому, в соответствии с предыдущими рассуждении, мы запишем:

ведь теперь, согласно уравнению Менделеева — Клапейрона,

(р2 – р1)V2 = QR'T2.

Процесс, соответствующий участку 3–4, снова является изобарным, поэтому по аналогии с предыдущим изобарным процессом мы запишем:

Подставив правые части выражений (2), (3) и (4) в равенство (1), мы решим задачу в общем виде:

Q = 2,5p1(V2 −V1)+ 1,5(p2 − p1)V2 + 2,5p 2 (V3 −V2 ).

Задача в общем виде решена. Но правую часть этого выражения можно упростить: раскрыть скобки и сделать приведение подобных членов. Проделаем эти действия и мы:

Q = 2,5p1V2 − 2,5p1V1 + 1,5p2V2 − 1,5p1V2 + 2,5p2V3 − 2,5p2V2 = = p1V2 − 2,5p1V1 − p2V2 + 2,5p2V3 = p1 (V2 −2,5V1)+ p2 (2,5V3 −V2 )

299