int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Раздел I. Механика

Обозначим Uт плотность тела, Fвыт1 — выталкивающую силу в воде, Р — вес тела в воздухе, m — массу тела, g — ускорение свободного падения, V — объем тела.

Аналогично, применительно к маслу Р2= V g( Uт – Uм). Теперь разделим два последних равенства друг на друга:

Ответ: Uт = 400 кг/м3.

В8. Начальная скорость тела 8 м/с. При его движении на тело действует сила сопротивления, модуль которой пропорционален скорости тела согласно закону F = kv, где коэффициент пропорциональности k = 0,2 кг/с. Масса тела 2 кг. Какой путь пройдет тело до остановки?

Обозначим v0 начальную скорость тела, F — силу сопротивления, v — скорость тела, vср — среднюю скорость тела, m — его массу, Fср — среднюю силу сопротивления, t — время движения, aср — среднее ускорение, S — пройденный путь.

151

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Решение

Поскольку на грузы будут действовать постоянные и неуравновешенные силы, грузы будут двигаться равноускоренно.

На левый груз будут действовать направленная вниз сила тяжести m1g и направленная вверх сила натяжения нити FH, на правый — направленная вверх и такая же по модулю сила

натяжения нити FH, а вниз — сила тяжести m2g. По второму закону Ньютона равнодействующая сил тяжести и натяжения, приложенных к левому, более тяжелому грузу, движущемуся с ускорением вниз, равна:

152

Раздел I. Механика

Равнодействующая сил натяжения и тяжести, приложенных к правому, более легкому грузу, движущемуся с ускорением вверх, равна:

Мы записали эти уравнения, чтобы из них найти одинаковое для обоих грузов ускорение а. Потому что, если мы будем его знать, то, воспользовавшись формулой v2 – v02 = 2aS, сможем найти и искомую скорость, с которой левый груз ударится о пол, пройдя расстояние S = h.

Как же из этих уравнений найти ускорение а? Из математики вы знаете, что при решении системы уравнений их левые и правые части можно складывать, вычитать, делить или перемножать, — от этого равенство не нарушится. Какое же действие нам выполнить здесь? Нам надо, чтобы «ушла» неизвестная нам и ненужная для решения сила натяжения (она нам не дана и не спрашивается). Подумав, можно сообразить, что оба уравнения надо сложить — левую часть уравнения (1) с левой частью уравнения (2), а правую — с правой. Тогда вследствие приведения подобных членов силы натяжения в оставшемся уравнении уже не будет, и мы сможем найти нужное нам ускорение. Значит, складываем уравнения

(1) и (2):

m1a + m2a = m1g – FH + FH – m2g,

a(m1 + m2) = g(m1 – m2), откуда

Здесь все величины нам известны. Теперь учтем, что v0 = 0. Тогда

v2 = 2ah, откуда v = 2ah

или с учетом (3)

v = 2gh m1 − m2 . m1 + m2

Мы решили задачу в общем виде. Подставим числа и вычислим. Но сначала выразим все величины в единицах СИ:

800 г = 0,8 кг, 200 г = 0,2 кг.

153

Физика для старшеклассников и абитуриентов

м/с = 3,5 м/с.

Ответ: v = 3,5 м/с.

В10. Четвертая часть горизонтального стержня изготовлена из меди. Ее масса 2 кг. Масса остальной — стальной части стержня 4 кг. Длина всего стержня 1 м. Найти положение центра тяжести стержня относительно его медного конца.

Обозначим m1 массу медной части стержня, m2 — массу стальной части, l — длину стержня, x — расстояние от центра тяжести стержня О до его левого конца, g — ускорение свободного падения, М1 — момент силы, вращающей стержень по часовой стрелке, М2 — момент силы, вращающей стержень против часовой стрелки, l1 — плечо силы тяжести m1g, l2 — плечо силы тяжести m2g.

154

Раздел I. Механика

стрелки, и сила тяжести m2g, которая стремиться повернуть его по часовой стрелке вокруг центра тяжести стержня О.

Теперь подумаем: где будет располагаться центр тяжести всего стержня. Это должна быть такая точка, в которой, если стержень подпереть, он останется в равновесии. Очевидно, эта точка расположена где-то между точками С1 и С2 ближе к точке С2. Обозначим ее буквой О и подрисуем снизу малый треугольник, обозначающий опору. Нам требуется определить расстояние х от этого центра тяжести О до левого конца стержня, т.е. до точки а.

Согласно условию равновесия тела, имеющего ось вращения, на которое действуют две силы, момент силы, вращающей тело по часовой стрелке, должен быть равен моменту силы, вращающей его против часовой стрелки. При выполнении этого условия тело не будет вращаться вокруг этой оси. У нас вращает тело по часовой стрелке вокруг точки О сила тяжести m2g, а против — сила тяжести m1g. Значит, чтобы стержень оставался в равновесии, моменты М1 и М2 этих сил должны быть равны друг другу:

М1 = М2.

Согласно формуле момента силы момент силы М1 равен произведению силы тяжести m1g и ее плеча l1, а момент силы М2 равен произведению силы тяжести m2g и ее плеча l2:

Теперь осталось самое трудное: найти плечи этих сил тяжести. Напомним, что плечом силы называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия этой силы. Поэтому плечом l1 силы тяжести m1g будет отрезок С1О. Как же его найти?

Если внимательно посмотреть на рис. 124 и хорошенько подумать, то можно сообразить, что плечо l1 равно разности длин отрезков аО = х и аС1, причем отрезок аС1 составляет половину медной части стержня, ведь точка С1 делит медную часть пополам. А медная часть согласно условию задачи составляет четверть длины стержня l, поэтому отрезок аС1 составляет восьмую часть его длины. Значит,

155

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Теперь подумаем, чему равно плечо l2 — это будет отрезок ОС2. Посмотрев внимательно на рис. 124, можно сообразить, что отрезок ОС2 равен разности отрезков аС2 и аО = х. Отрезок аС2 равен сумме отрезка аb, составляющего четверть длины стержня, и отрезка bC2, который равен половине длины стальной части стержня, равной трем четвертям длины всего стержня, поэтому

Нам осталось подставить правые части равенств (2) и (3) в уравнение (1) и, выполнив алгебраические преобразования, найти х. Проделаем эти действия:

Задача в общем виде решена. Произведем вычисления:

õ = 1(2+5 4)м = 0,46 м = 46 см.

8(2+ 4)

Ответ: х = 46 см.

В11. Спутник переходит на более удаленную от Земли круговую орбиту. Как при этом изменяются линейная скорость спутника на орбите, период его обращения, кинетическая энергия, потенциальная энергия? Полная механическая энергия спутника остается постоянной.

Для каждой из этих физических величин выберите характер изменения: а) увеличилась б) уменьшилась в) не изменилась.

Решение

Когда спутник переходит на более удаленную орбиту, ее радиус R увеличивается. Ускорение спутника на орбите, которое является там ускорением свободного падения и одновременно центростремительным ускорением спутника, связано с радиусом орбиты формулой

156

Раздел I. Механика

M g = aц = G R2 .

В свою очередь, центростремительное ускорение связано с линейной скоростью и радиусом орбиты формулой

aц = v2 .

R

Приравняем правые части этих равенств:

Поскольку гравитационная постоянная G и масса Земли М не меняются, значит, с увеличением радиуса орбиты R линейная скорость спутника уменьшается.

Линейная скорость связана с периодом спутника формулой

v = 2πR . T

Подставив правую часть этого выражения в предыдущую формулу, получим:

Следовательно, при неизменных G и М с увеличением радиуса орбиты R период спутника увеличивается.

Кинетическая энергия спутника на орбите определяется формулой

= mv2 Åk 2 .

Значит, при уменьшении линейной скорости v и неизменной массе спутника m кинетическая энергия спутника уменьшается. А поскольку его полная механическая энергия, равная сумме кинетической энергии Еk и потенциальной энергии Ер не меняется, значит, с уменьшением кинетической энергии потенциальная энергия спутника увеличивается.

Ответ:

157

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Часть 3

С1. К концам однородного стержня длиной l = 1,8 м приложены силы F1 = 20 Н и F2 = 4 Н (рис. 125). Найти силу натяжения стержня на расстоянии четверти длины от его левого конца.

l3

Рис. 125

Обозначим l длину стержня, F1 — силу, приложенную к его правому концу, F2 — силу, приложенную к его левому концу, l1 — четверть длины стержня, m1 — массу четвертой части стержня, а — его ускорение, Fнат — силу натяжения стержня на расстоянии четверти длины от его левого конца, m2 — массу остальной части стержня, V1 — объем большей части стержня, V2 — объем остальной части стержня, S — площадь поперечного сечения стержня.

Аналогично, применительно другой части стержня, составляющей четверть его длины,

m2a = Fнат – F2..

Выразим массы частей стрежня m1 и m2 через их длины:

С учетом этих равенств два первых уравнения примут вид:

Теперь разделим два последних равенства друг на друга. и после сокращений из полученного выражения найдем силу натяжения:

3ρlSa 4 = F1 − Fíàò , F1 – Fнат = 3Fнат – 3F2, 4Fнат = F1 + 3F2,

4 ρlSa Fíàò − F2

158

Раздел I. Механика

Ответ: Fнат = 8Н.

С2. На краю горизонтальной доски, вращающейся вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, укреплена нить с подвешенным к ней маленьким тяжелым шариком. Длина нити 20 см, частота вращения доски 1 об/с. При вращении доски нить отклоняется от вертикали на угол 300 (рис. 126). Найти длину доски. Ответ округлить до сотых долей метра.

L

α Fн

l

R О

α

Обозначим l длину нити, Q — частоту вращения стержня, D — угол отклонения нити от вертикали, g — ускорение свободного падения, L — длину стержня, m — массу шарика, aц — центростремительное ускорение шарика, Z — угловую скорость вращения стержня, R — радиус окружности, по которой движется шарик.

159