int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Физика для старшеклассников и абитуриентов

импульса. После такого удара тела движутся с одинаковой скоростью и в одном направлении.

В. Статика

В задачах статики рассматриваются условия равновесия тел. Равновесием тел называют состояние, при котором координаты всех точек тела не меняются.

Условия равновесия:

а) все силы, приложенные к телу, уравновешены; б) сумма моментов сил, вращающих тело по часовой стрел-

ке, равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки.

Моментом силы М называется произведение силы, действующей на тело, имеющее ось вращения, и плеча этой силы.

М = Fl.

Плечом силы l называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

На рис. 65 изображен рычаг длиной L с осью вращения, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости черте-

mжа. На рычаг действует сила F вдоль линии действия mn. Плечом этой

М = Fl = FL sin D.

Рис. 65

Рассмотрим пример на условие равновесия тела, имеющего ось вращения. На рис. 66 изображен рычаг массой l3

m, к концам кото-

100

Раздел I. Механика

центру масс рычага с приложена сила тяжести mg. Равновесие наступит, когда момент силы тяжести М1, которая вращает рычаг вокруг оси вращения, проходящей через точку опоры О, против часовой стрелки, будет равен сумме моментов сил тяжести М и М2, вращающих рычаг по часовой стрелке:

М1 = М + М2

или согласно определению момента силы

m1gl1 = mgl2 + m2gl3.

Другой пример. На рис. 67 изображен рычаг массой m и длиной l, к правому концу которого человек приложил силу F под углом D к рычагу. Рычаг будет приподнят, если момент силы тяжести М1 будет меньше момента силы М2, приложенной человеком к концу рычага. В предельном случае

l mg 2

Рис. 67

Различают устойчивое, безразличное и неустойчивое равновесия.

Пусть на дне углубления находится шарик, на который действуют две силы: сила тяжести и сила реакции опоры. Эти силы уравновешивают друг друга, поэтому шарик находится в покое, т.е. в состоянии равновесия. При этом его центр тяжести занимает наиболее низкое из всех возможных положение, соответствующее минимальной потенциальной энергии шарика. Если шарик вывести из положения равновесия, вкатив его по горке на некоторую высоту, то его центр тяжести окажется выше, чем прежде, и при этом потенциальная энергия шарика увеличится. Если теперь шарик предоставить самому

101

Физика для старшеклассников и абитуриентов

себе, то он покатится вниз, стремясь вернуться в состояние с минимальной потенциальной энергией. Таким образом, шарик на дне углубления находится в состоянии устойчивого равновесия.

Равновесие называется безразличным, когда при изменении положения тела положение его центра тяжести относительно опоры тела не изменяется, благодаря чему потенциальная энергия тела остается прежней.

Пусть шарик располагается на горизонтальной поверхности. Если его покатить по ней, то положение центра тяжести шарика относительно этой поверхности все время будет оставаться прежним. Высота центра тяжести шарика над поверхностью изменяться не будет, и, значит, потенциальная энергия шарика тоже будет оставаться неизменной.

Следовательно, на горизонтальной поверхности шарик находится в состоянии безразличного равновесия.

Равновесие называется неустойчивым, если при выводе тела из состояния равновесия оно уже не может вернуться самостоятельно в прежнее положение и занимает новое положение, соответствующее его минимуму потенциальной энергии. При выводе тела из неустойчивого равновесия его центр тяжести располагается ниже, чем в состоянии равновесия, вследствие чего потенциальная энергия уменьшается.

Пусть шарик находится на вершине горки. Если его вывести из этого состояния, то он уже не сможет самостоятельно вернуться в прежнее положение. При этом положение центра тяжести шарика понизится и, следовательно, его потенциальная энергия уменьшится. Шарик будет скатываться до тех пор, пока его центр тяжести не займет низшее положение и потенциальная энергия не станет минимальной.

Следовательно, равновесие тела, расположенного на вершине выпуклости, является неустойчивым.

Теперь рассмотрим условие равновесия тела, имеющего площадь опоры. Если такое тело отклонить от положения равновесия так, что линия действия силы тяжести этого тела будет пересекать площадь опоры внутри периметра, ограничивающего ее, то тело самостоятельно вернется в исходное положение. Равновесие тела, соответствующее такому отклонению, является устойчивым.

102

Раздел I. Механика

Если тело, имеющее площадь опоры, отклонить так сильно от положения равновесия, что линия действия силы тяжести выйдет за пределы, ограниченные периметром основания тела, то при этом центр тяжести тела расположится ниже, чем когда оно опиралось на всю площадь опоры, следовательно, потенциальная энергия тела уменьшится. Нескомпенсированная сила тяжести создаст вращающий момент сил, в результате чего тело опрокинется.

Например, человек, сидящий на стуле, не сможет подняться, не наклонив корпус вперед так, чтобы линия действия его силы тяжести прошла через периметр, ограничивающий площадь опоры подошв обуви. В противном случае сила тяжести создаст вращающий момент сил, который вернет человека в прежнее положение.

Для улучшения устойчивости различных зданий и сооружений увеличивают их площадь опоры и понижают положение центра тяжести,

Г. Гидромеханика

Основные формулы

Формула давления

р = Fäàâë

S

Здесь р — давление (Па), Fдавл — сила давления (Н), S — площадь опоры (м2).

Давление столба жидкости

р = Ugh

Здесь р — давление (Па), U — плотность жидкости (кг/м3), g — ускорение свободного падения (м/с2), h — высота столба жидкости (м).

Выталкивающая (архимедова) сила

Fвыт = Uж gVт

Здесь Fвыт — выталкивающая сила (Н), Uж — плотность жидкости (кг/м3), g — ускорение свободного падения (м/с2), Vт — объем тела, погруженного в жидкость (м3).

103

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Формула гидравлического пресса

F1 = S1

F2 S2

Здесь F1 и F 2 — силы, действующие на поршни пресса (Н), S1 и S2 — площади поршней (м2).

Уравнение неразрывности струи (теорема Эйлера)

v1S1 = v2S2

Здесь v1 — скорость жидкости (м/с) в сечении площадью S1 (м2), v2 — скорость жидкости (м/с) в сечении площадью S2 (м2).

Уравнение Бернулли

Здесь U — плотность жидкости (кг/м3), g — ускорение свободного падения (м/с2), h1 и h2 — высоты элемента жидкости над землей (м), v1 и v2 — скорости на этих высотах (м/с), р1 и р2 — давления в жидкости (Па).

В основе гидродинамики лежат законы Ньютона, следствием которых являются все основные законы гидродинамики. Особенность здесь состоит в том, что эти законы применяют не

ктвердым телам, сохраняющим в процессе перемещения свою форму, а к жидкостям, не сохраняющим формы в процессе движения. Кроме того, если давление силы, приложенной к твердому телу, передается только в направлении ее действия, то давление, производимое на жидкость или газ, передается по всем направлениям одинаково. В этом состоит закон Паскаля — один из основных законов гидродинамики. Поэтому и силы давления распространяются по всей поверхности жидкости.

Давлением р называется отношение силы давления Fдавл

кплощади опоры тела S.

р= Fäàâë .

S

Силой давления Fдавл называют силу, действующую на тело перпендикулярно его площади опоры. Следует знать, что, хоть сила давления — величина векторная, но давление р — величина скалярная, оно не имеет направления.

104

Раздел I. Механика

С увеличением глубины жидкости давление в ней возрастает, т.к. увеличивается высота столба жидкости над уровнем, на котором определяется давление. Если жидкость налита в сосуд, то с увеличением ее глубины давление растет линейно с высотой столба жидкости, поэтому среднее давление жидкости на стенку сосуда равно половине ее давления на дно:

Если сверху на данный уровень давит несколько жидкостей, то давление на данном уровне равно сумме давлений каждой жидкости в отдельности.

В поле сил тяжести и в условиях земной атмосферы давление жидкости р на глубине h складывается из давления атмосферы pатм на поверхность жидкости и давления самой жидкости pж = Ugh на глубине h:

Следствием закона Паскаля является закон сообщающихся сосудов: в неподвижных и открытых сообщающихся сосудах любой формы давление жидкости на любом горизонтальном уровне одинаково.

Из закона сообщающихся сосудов вытекают два следствия. Следствие 1: в неподвижных и открытых сообщающихся

105

Физика для старшеклассников и абитуриентов

большего поршня больше площади меньшего поршня. Формула гидравлического пресса:

Согласно золотому правилу механики выигрыша в работе гидравлический пресс не дает, так как во сколько раз мы выигрываем на большом поршне в силе, во столько раз он проходит меньшее расстояние по сравнению с малым поршнем.

Другим законом гидродинамики, определяющим действие жидкостей и газов на погруженные в них тела, является закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу жидкости или газа, вытесненных телом.

Выталкивающая сила прямо пропорциональна плотности жидкости и объему погруженного в нее тела.

Fвыт = Uж gVт .

Выталкивающая (архимедова) сила не всегда направлена вверх. Как и всякая сила давления жидкости, она всегда направлена перпендикулярно поверхности жидкости. Если сосуд с жидкостью движется с ускорением горизонтально, то ее поверхность располагается под углом к горизонту, тем большим, чем больше ускорение. Поэтому выталкивающая сила, которая всегда перпендикулярна поверхности жидкости, уже не будет направлена вертикально.

Благодаря действию выталкивающей силы тела плавают в жидкости или газе. Условие плавания тел: тело плавает в жидкости, когда выталкивающая сила равна весу тела.

106

Раздел I. Механика

Когда плотность тела значительно меньше плотности жидкости, то равновесия может не наступить, если вес тела при всплытии все время будет меньше выталкивающей силы. При этом тело будет находиться на поверхности жидкости, совсем не погружаясь в нее, как это делает надувной шарик, брошенный в воду. Если плотность тела равна плотности жидкости, в которую оно полностью погружено, то тело будет плавать в жидкости во взвешенном состоянии, т.е. не поднимаясь и не опускаясь, поскольку при этом вес тела будет равен выталкивающей силе.

Если вес тела окажется больше выталкивающей силы, то оно утонет.

Нашу Землю окружает атмосфера, простирающаяся на высоту в несколько тысяч километров. Вследствие земного тяготения на атмосферный воздух действует сила тяжести, в результате чего верхние слои атмосферы давят на нижние. Атмосферное давление на тело обусловлено весом воздушных слоев, расположенных над ним.

На уровне моря величина атмосферного давления в среднем составляет 760 мм рт. ст. или 105 Па. С увеличением высоты над уровнем моря атмосферное давление убывает вместе с весом воздушных слоев из-за ослабления земного тяготения, уменьшаясьчерез каждыесто метров примерно на 10 ммрт. ст. =1330 Па.

Одним из первых измерил атмосферное давление итальянский ученый Торричелли. Это случилось три столетия назад. Торричелли взял тонкую стеклянную трубку длиной около метра, запаянную с одного конца, и наполнил ее доверху ртутью. Затем, закрыв открытый конец трубки, перевернул ее и опустил этим концом в открытую чашу с ртутью, после чего открыл трубку. Сначала под действием силы тяжести ртуть стала выливаться из трубки в чашу, а затем перестала. Это случилось в тот момент, когда давление ртути в трубке на уровне открытой поверхности ртути в чаше стало равно атмосферному давлению на открытую поверхность ртути в чаше. Так был создан первый в мире ртутный барометр.

Над ртутью в трубке образовалось замкнутое пространство, заполненное парами ртути, давление которых мало по сравнению с атмосферным, поэтому им пренебрегают. Это пространство было названо торричеллиевой пустотой.

Когда атмосферное давление увеличивалось, т.е. атмосфера сильнее давила на открытую поверхность ртути в чаше, уро-

107

Физика для старшеклассников и абитуриентов

вень ртути в трубке повышался, а когда оно уменьшалось, то понижался. Присоединив к трубке шкалу, проградуированную в единицах давления, стали измерять давление атмосферы с высокой степенью точности.

Нормальным атмосферным давлением называется давление атмосферы, численно равное давлению столбика ртути высотой 760 мм. Это давление называют также физической атмосферой, сокращенно атм.

1 атм = 760 мм рт. ст. = 13,6·103 · 9,8 · 0,76 м = 1,013·105 Па.

Таким образом, нормальное атмосферное давление порядка 105 Па.

Барометры — это приборы, применяемые для измерения атмосферного давления.

Первым ртутным барометром была трубка Торричелли. Ртутные барометры — очень точные приборы, поэтому их применяют там, где необходима высокая точность измерений, например, при научных экспериментах. Но у них есть ряд недостатков: они некомпактны, ртуть дорога, ее пары ядовиты, она может разлиться, стекло — разбиться и т. д. Поэтому в быту и технике широко применяют другие барометры —

анероиды.

Большинство жидкостей, в том числе и вода, практически несжимаемы. Их плотность везде одинакова и с течением времени не меняется.

Теорема о неразрывности струи или теорема Эйлера: произведение скорости течения жидкости по трубе переменного сечения и площади поперечного сечения трубы в любом месте одинаково:

v1S1 = v2S2.

Теорема о неразрывности струи является выражением закона сохранения массы движущейся жидкости. Ее можно применять к реальным жидкостям, сжимаемостью которых можно пренебречь.

Другим важнейшим уравнением гидродинамики является уравнение Бернулли, представляющее собой закон сохранения механической энергии, примененный к течению жидкости:

108

Раздел I. Механика

Из этого уравнения следует, что если скорость в потоке жидкости возрастает, то давление в ней падает, и наоборот, там, где скорость меньше, давление больше. Например, если лодку, оставленную на ночь у берега, забыть привязать, то утром ее можно обнаружить уплывшей далеко по течению. Это произойдет вследствие того, что из-за большего давления воды, медленно текущей вблизи берега, лодку вытеснит на середину, туда, где течение имеет большую скорость и, следовательно, меньшее давление.

Сформулированная выше зависимость давления от скорости течения среды справедлива и применительно к газам, когда их скорость невелика, так как при этом можно пренебречь сжимаемостью газов. Все должны знать, что вблизи мчащегося поезда стоять опасно, потому что воздух вблизи стенок вагонов увлекается поездом и движется с большей скоростью перед стоящим человеком, чем позади него. В результате, давление воздуха за спиной человека будет больше, чем между ним и поездом, и человека может толкнуть прямо под колеса.

Следствием уравнения Бернулли является возникновение подъемной силы крыла самолета. Подъемная сила крыла самолета обусловлена особым профилем крыла — профилем Жуковского, названным так в честь замечательного русского ученого-механика Н.Е. Жуковского, основоположника отечественной авиации.

Крыло самолета имеет особую несимметричную α форму. Его профиль образует с линией горизонта

угол атаки D — угол между

вектором скорости набегающего на крыло горизонтального потока воздуха и нижней плоскостью крыла (рис. 71). Благодаря несимметричности формы крыла и наличию угла атаки D воздушные массы за одно и то же время проходят над верхней поверхностью крыла больший путь, чем под нижней. В результате, давление р2, соответственно, меньше давления р1. Наличие разности давлений над и под крылом приводит к появлению подъемной силы, направленной снизу

109