int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

90

Раздел I. Механика

которая по модулю равна силе давления автомобиля на мост Fдавл, и силой тяжести:

maц = Fдавл – mg.

А если мост выпуклый, как на рис. 61, то сила тяжести больше силы давления, и тогда

maц = mg – Fдавл.

Когда летчик в самолете делает мертвую петлю, то в высшей точке петли (рис.

62) сила тяжести и сила давления на него сверху кресла направлены вниз, поэтому произведение мас-

сы летчика и его центростремительного ускорения равно их сумме:

maц1 = Fдавл1 + mg .

В этом случае, чтобы летчик не провисал на ремнях, удерживающих его в кресле, при минимальной скорости самолета должно выполняться равенство:

maц = mg при Fдавл = 0.

Это же условие должно выполняться, чтобы мотоциклист не свалился в высшей точке траектории с вертикального трека или чтобы вода не выливалась при вращении ведерка с водой

то произведение его массы на Рис. 62

91

Физика для старшеклассников и абитуриентов

αУтверждение о том, что сила

mg реакции, с которой опора действует на тело на ней, равна силе давления

тела на опору, вытекает из третьего закона Ньютона. Третий закон Ньютона: силы, с которыми два тела дей-

ствуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению. Несмотря на то, что эти силы равны и противоположны, они друг друга не уравновешивают, т.к. приложены к разным телам. Уравновешивать друг друга могут только силы, приложенные к одному и тому же телу, если они равны по модулю и противоположны по направлению.

Четвертым законом Ньютона иногда называют открытый им закон всемирного тяготения.

Закон всемирного тяготения: две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

F = G m1m2 . r2

Из-за малости гравитационной постоянной действие сил тяготения заметно только в мегамире — мире небесных тел и огромных масс.

Основное свойство сил тяготения состоит в том, что от них нельзя загородиться никаким экраном, а также в том, что они всем телам независимо от их массы сообщают одинаковое ускорение.

Земной шар сплюснут у полюсов, поэтому на полюсе тело ближе всего к земному ядру и там сила его тяготения к зем-

92

Раздел I. Механика

ному шару наибольшая. На полюсе сила тяжести равна силе тяготения:

mg = Fтяг = G mM2 .

R

Здесь m — масса тела, M — масса земного шара, R — его радиус.

На экваторе сила тяжести меньше силы тяготения и может быть определена по формуле:

mg = Fтяг – mZ2R,

где ω = 2π — угловая скорость суточного вращения земного

Ò

шара, Т = 24 ч — период его вращения и R — радиус земного шара.

Если тело поднято на высоту Н над землей, сравнимую с радиусом Земли (не менее 40 км), то там сила тяжести и сила тяготения меньше, чем на земной поверхности. В этом случае следует применять формулу

mg = Fòÿã = G ( mM )2 . R+H

Б. Работа и мощность. Законы сохранения в механике

Основные формулы

Работа в механике

А = F S cos DА = kx2

2

Здесь А — работа (Дж), F — модуль силы (Н), S — модуль перемещения (м), D— угол между векторами силы и перемещения (рад), k — жесткость (Н/м), х — деформация (м).

Мощность в механике

N = A N = Fv cos D t

Здесь N — мощность (Вт), А — работа (Дж), t — время (с), F — сила (Н), v — скорость (м/с), D — угол между векторами силы и скорости (рад).

93

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Кинетическая энергия

Еk = mυ2

2

Здесь Еk — кинетическая энергия (Дж), m — масса (кг), v — скорость (м/с).

Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту

Ер = mgh

Здесь Ер — потенциальная энергия (Дж), m — масса (кг), g — ускорение свободного падения (м/с2), h — высота (м).

Потенциальная энергия при упругой деформации

kx2

Ер = 2

Здесь k — жесткость (Н/м), х — деформация (м), Ер — потенциальная энергия (Дж).

Полная механическая энергия

Е = Ер + Еk

Здесь Е — полная механическая энергия (Дж), Еp — потенциальная энергия, Еk — кинетическая энергия.

Теорема об изменении кинетической энергии

А = 'Еk = Еk2 – Еk1

Здесь А — работа (Дж), 'Еk = Еk2 – Еk1 — изменение кинетической энергии тела, совершившего работу (Дж), Еk1 — кинетическая энергия тела до ее изменения, Еk2 — кинетическая энергия тела после ее изменения

Теорема об изменении потенциальной энергии

А = – 'Еp = –(Еp2 – Еp1)

Здесь А — работа (Дж), 'Еp = Еp2 – Еp1 — изменение потенциальной энергии тела, совершившего работу (Дж), Ер1 — потенциальная энергия тела до ее изменения, Ер2 — потенциальная энергия тела после ее изменения

94

Раздел I. Механика

Импульс тела

р = mv

Здесь р — импульс тела (кг · м/с), m — его масса (кг), v — скорость тела (м/с).

Импульс силы

F't = 'р

Здесь F 't — импульс силы, действовавшей на тело в течение времени t (Н · с), 'р — изменение импульса тела (кг · м/с).

Момент силы

М = Fl

Здесь М — момент силы (Н · м), F — сила, вращающая тело (Н), l — плечо этой силы (м).

Работа А — скалярная физическая величина, измеряемая произведением модуля силы, действующей на тело, на модуль его перемещения под действием этой силы и на косинус угла между векторами силы и перемещения.

А = FS cos D.

На графике в осях координат F–S (рис. 64) работа силы численно равна площади фигуры, ограниченной графиком, осью перемещения и прямыми, параллельными оси силы.

Если на тело действует несколько сил, то в формуле работы сила F — это не равнодействующая ma всех этих сил, а именно та сила, которая и совершает работу. Если локомотив тянет

механизма, надо подумать, какая работа, совершаемая им, полезная, а какая — затраченная.

95

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Коэффициентом полезного действия механизма (КПД) K называют отношение полезной работы, совершенной механизмом, ко всей затраченной при этом работе.

η = Àïîë 100%.

Àçàòð

Полезная работа — это та, которую нужно сделать, а затраченная — та, что приходится делать на самом деле. Например, тело массой m требуется поднять на высоту h, перемещая его по наклонной плоскости длиной l под действием силы тяги Fтяги. В этом случае полезная работа равна произведению силы тяжести на высоту подъема:

Апол = mgh,

а затраченная работа будет равна произведению силы тяги на длину наклонной плоскости:

Азатр = Fтягиl .

Значит, КПД наклонной плоскости равен:

η = mgh 100% .

Fòÿãè l

КПД любого механизма не может быть больше 100% — золотое правило механики.

Мощность N — это количественная мера быстроты совершения работы. Мощность равна отношению работы ко времени, за которое она совершена.

N = A . t

Мощность — скалярная величина.

Если тело движется равномерно, то в формуле мощности N = Fvcos Dv — это скорость этого движения. Если же оно движется равноускоренно или равнозамедленно, то в этой формуле v — это мгновенная скорость в некоторый момент времени, а если говорится о мощности двигателя на всем пути, то v — это средняя скорость. О какой скорости идет речь, надо определить самостоятельно из условия задачи.

Импульс тела р — это количественная мера движения тела. Импульс тела равен произведению его массы и скорости.

р = mv.

96

Раздел I. Механика

Импульс тела — векторная величина. Вектор импульса p тела совпадает по направлению с вектором скорости тела. Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов тел, составляющих систему. Если система тел замкнутая, то выполняется закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса: в замкнутой системе тел импульс системы сохраняется.

Замкнутой называют систему тел, на которую не действуют внешние силы. В такой системе импульсы отдельных тел могут изменяться, но общий импульс системы после их взаимодействия остается таким же, как и до взаимодействия. Внутренние силы системы, действующие между ее телами, не могут изменить импульс самой системы.

Решая подобные задачи, надо помнить, что импульс тела — векторная величина. Поэтому, если принять направление импульсов взаимодействующих тел за положительное, тогда перед импульсами тел, векторы которых направлены противоположно, надо поставить минусы.

Составляя уравнение закона сохранения импульса, в формулах импульсов тел старайтесь записывать их абсолютную скорость, т.е. скорость этих тел относительно неподвижной системы отсчета.

На законе сохранения импульса основано реактивное движение — движение, возникающее вследствие отделения от тела его части со скоростью относительно этого тела.

Если на тело действует нескомпенсированная сила, то его импульс изменяется. При этом изменение импульса тела равно импульсу подействовавшей на него силы. Импульс силы F't — это количественная мера изменения импульса тела, на которое подействовала эта сила.

Импульс силы — векторная величина. Импульс силы равен изменению импульса тела.

F't = 'р.

Вектор импульса силы F 't совпадает по направлению

с вектором изменения импульса тела 'p . Все тела природы обладают энергией.

Энергия Е (или W) — это количественная мера движения материи и взаимодействия ее видов. Виды материи: вещество и поле. Виды энергии: механическая, тепловая (внут-

97

Физика для старшеклассников и абитуриентов

ренняя), химическая, электрическая, магнитная, световая, атомная.

Энергия — скалярная величина. Основное свойство энергии — взаимное превращение ее видов. Механическая энергия может превращаться в тепловую, электрическую и другие виды энергии и наоборот.

Различают два вида механической энергии: кинетическую Еk и потенциальную Ep.

Кинетическая энергия Еk — это энергия, которой обладает тело вследствие своего движения. Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела и квадрата его скорости.

Еk = mυ2 .

2

Всякое движущееся тело обладает кинетической энергией. Кинетическая энергия — всегда положительная величина. Если под действием силы тело совершило перемещение и вследствие этого его скорость изменилась, то работа силы равна изменению кинетической энергии тела.

А = 'Еk = Еk2 – Еk1.

Потенциальная энергия Ер — это энергия, которой обладает тело вследствие того, что находится в силовом поле или вследствие взаимодействия с другими телами. Потенциальной энергией обладает тело, поднятое на высоту и упруго деформированное. Потенциальная энергия тела, поднятого над землей, прямо пропорциональна его массе и высоте.

Ер = mgh.

Потенциальная энергия при упругой деформации равна половине произведения жесткости тела и квадрата его деформации.

Ер = kx2 .

2

Если под действием силы тело изменило высоту или деформацию, то работа этой силы равна изменению потенциальной энергии тела, взятой со знаком «минус».

А = – 'Еp = –(Еp2 – Еp1).

98

Раздел I. Механика

Сумма кинетической и потенциальной энергий называется полной механической энергией Е.

Е= Ер + Еk

Вслучае, когда система тел, о которых идет речь в задаче, замкнута, т.е. на нее не действуют внешние силы и не надо определять какие-либо внутренние силы взаимодействия тел, то для решения задачи удобно применить закон сохранения механической энергии или общий закон сохранения энергии.

Закон сохранения механической энергии: в замкнутой системе тел, где между телами действуют только силы тяготения (силы тяжести) или силы упругости, полная механическая энергия системы сохраняется.

При этом кинетическая энергия отдельных тел системы может переходить в их потенциальную энергию и наоборот, но механическая энергия системы тел будет оставаться неизменной.

Если между телами системы действуют, кроме сил тяготения и упругости, другие силы, например, силы трения, силы сопротивления, действие которых приводит к превращению механической энергии в тепловую (внутреннюю), то в такой системе тел закон сохранения механической энергии не выполняется. Но всегда выполняется общий закон сохранения

ипревращения энергии: энергия не возникает из ничего и не уничтожается, а лишь переходит из одного вида в другой в равных количествах.

При решении задач на соударение тел различают абсолютно упругий и неупругий удары. При абсолютно упругом ударе механическая энергия тел не превращается в тепловую (внутреннюю) энергию. При таком ударе выполняются оба закона сохранения: и закон сохранения импульса, и закон сохранения механической энергии.

Вследствие действия этих законов при абсолютно упругом нецентральном ударе двух шаров одинаковой массы они всегда разлетаются под прямым углом.

Приабсолютнонеупругомударемеханическаяэнергиятел— частично или полностью — превращается в их внутреннюю энергию. При этом выполняется только закон сохранения

99