int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Мы решили задачу в общем виде. Выразим все величины в

1000

единицах СИ: 3,6 км/ч = 3,63600 м/с = 1 м/с,0,5 мин = 30 с. Подставим числа и вычислим:

(с) = 139 с = 2 мин 19 с.

Ответ: tобщ = 2 мин 28 с.

С4. Камень бросили вниз с начальной скоростью 2 м/с. Время его падения на землю равно 3 с. Чему равна средняя скорость падения камня на оставшейся до земли третьей части всей высоты его падения? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Обозначим v0 начальную скорость камня, t — время его падения на землю, Н — всю высоту падения, g — ускорение свободного падения, vср — среднюю скорость падения камня на оставшейся до земли третьей части всей высоты, t1 — время,

втечение которого камень пролетит первые 32 Í, t2 — время,

втечение которого камень пролетит оставшуюся треть пути.

Решение

Среднюю скорость на нижней трети всей высоты можно найти из формулы средней скорости, если разделить эту треть высоты на время ее прохождения — обозначим его t2. Оно будет равно разности между всем временем

падения t и временем t1, за которое камень пролетит первые

Таким образом, задача сводится к нахождению времени t1, за которое камень пролетит первые 2/3 всей высоты Н. Это время можно найти, если воспользоваться формулой высоты при свободном падении с начальной скоростью. Применительно к нашей задаче она примет вид:

70

Раздел I. Механика

Мы получили квадратное уравнение относительно времени t1. Найдем из него это время:

Нам осталось подставить правую часть этого выражения в равенство (2), и задача в общем виде будет решена.

Задача в общем виде решена. Подставим числа и вычислим:

с = 28 м/с.

Ответ: vср = 28 м/с.

С5. Маленький мячик бросили с земли под углом 600 к горизонту со скоростью 5 м/с в вертикальную стену, расположенную на расстоянии 1,5 м от места бросания. Под каким углом к горизонту отскочит мячик после абсолютно упругого удара о стену? Сопротивлением воздуха пренебречь.

ОбозначимDугол между вектором начальной скорости мяча и горизонтом, v0 — скорость бросания мяча, S — расстояние между местом бросания и стеной, g — ускорение свободного падения, D — угол, под которым отскочит мячик после абсолютно упругого удара о стену, S1 — дальность полета мяча по горизонтали за время, пока он поднимался до высшей точки, v0у — вертикальную составляющую скорости мяча в момент бросания, t — время его подъема до высшей точки, S1 — расстояние, которое пролетел мячик по горизонтали за время t, vx — горизонтальную составляющую скорости мяча в момент

71

Физика для старшеклассников и абитуриентов

бросания, vy1 — вертикальную составляющую скорости мяча в момент удара о стенку, v — скорость мяча в момент удара

остенку, 't — промежуток времени между моментом, когда мячик побывал в высшей точке, и моментом, когда он ударился

остену.

Внашем случае мячик, двигаясь по параболе, ударяется

остену. Зададимся вопросом: он на взлете ударился о стену или уже при спуске — ведь от этого зависит чертеж, который нам предстоит изобразить. Потому что если в условии задачи хоть что-то сказано об углах, то без подробного чертежа такую задачу не решить.

Чтобы уяснить, где траектория мяча упирается в стену, давайте вычислим, чему равняется дальность полета мяча

S1 по горизонтали за время, пока он поднимался до высшей точки. А потом сравним ее с расстоянием от точки бросания

мяча до стены. И если эта дальность полета окажется больше расстояния до стены, то мячик ударился на взлете, а если меньше, — то уже при спуске.

Поскольку вертикальная составляющая скорости мяча в высшей точке равна нулю и поднимался он вверх равнозамедленно, то время его подъема до высшей точки найдем из формулы

0 = v0у – gt , где v0у = v0 sin D,

g

За это время мячик пролетел по горизонтали, двигаясь равномерно со скоростью vx = v0 cos D расстояние S1. Поэтому

.

72

Раздел I. Механика

Вычислим это расстояние и сравним его с расстоянием S = 1,5 м до стены:

S1 = 1052 sin600 cos600 м = 1,06 м.

Это расстояние меньше расстояния 1,5 м до стены, значит, мячик ударился о стену уже после того, как побывал в высшей точке траектории. Теперь выполним чертеж (рис. 46).

y

vy = 0 vx

Рис. 46

Поскольку удар был абсолютно упругим, угол, под которым

мячик отскочит от стены, равен углу E, под которым он ударил-

ся, — это угол между вектором скорости мяча υ в тот момент и

перпендикуляром к стенке, который совпадает с горизонталь-

Таким образом, задача сводится к нахождению вертикальной составляющей скорости мяча vy1. Если бы мы знали промежуток времени — обозначим его 't— между моментом, когда мячик побывал в высшей точке, и моментом, когда он ударился о стену, то проекцию скорости vy1 мы нашли бы из формулы

Значит, теперь надо найти этот промежуток времени 't. Его можно представить как разность времени полета мяча до удара о стену t1, за которое он поднялся до высшей точки и

73

Физика для старшеклассников и абитуриентов

успел опуститься перед ударом, и времени подъема до высшей точки t, которое мы уже определили по формуле (1):

Время полета до стены равно времени равномерного перемещения мяча по горизонтали на расстояние S со скоростью v0 cos D, поэтому его можно найти так:

υ0 cos α

Теперь подставим правые части равенств (1) и (5) в выражение (4):

Нам осталось подставить правую часть выражения (6) в равенство (3), а то, что получится, — в выражение (2), — и задача в общем виде будет решена. Приступим. Подставляем

(6) в (3):

Теперь подставляем (7) в (2):

Задача в общем виде решена. Подставим числа и вычислим:

Ответ: E = 350.

С6. Горизонтальная платформа равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. На расстоянии, равном трети радиуса платформы, отрывается от ее поверхности небольшое тело и скользит по ней без трения. Через сколько времени тело слетит с платформы,

74

Раздел I. Механика

если до отрыва оно двигалось с ускорением 0,1 м/с2? Радиус платформы 60 см.

Обозначим а ускорение тела, R — радиус платформы, t — время, через которое тело слетит с платформы с момента его отрыва, v — линейную скорость тела, S — путь, пройденный телом при скольжении.

окружности, по которой оно двигалось до отрыва. Радиус этой окружности составлял 32 R. А мы знаем формулу, связываю-

щую линейную скорость с центростремительным ускорением. Применительно к нашей задаче она будет выглядеть так:

После отрыва тело станет двигаться к краю платформы без трения. Значит, это движение будет равномерным и прямолинейным со скоростью v. Тогда тело слетит с платформы в точке С, проделав путь S. Если этот путь разделить на линейную скорость тела, мы найдем искомое время t, через которое тело слетит с платформы:

75

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Дальнейший ход решения ясен. Путь S находим из прямоугольного треугольника МСО по теореме Пифагора, а линейную скорость v — из выражения (1), и все это подставляем в равенство (2). Приступим. По теореме Пифагора

Теперь из (1) находим линейную скорость v:

Нам осталось подставить правые части равенств (3) и (4) в формулу (2), и задача в общем виде будет решена. Подставляем:

Задача в общем виде решена. Подставим числа и вычислим. 60 см = 0,6 м.

с = 2,2 с.

Ответ: t = 2,2 c.

С7. Свободно падающее без начальной скорости тело за первую секунду проходит некоторый путь, а последний такой же путь оно проходит за 0,4 с. С какой высоты упало тело?

Обозначим v0 начальную скорость тела, h — путь, пройденный телом за первую секунду падения, t1 — время прохождения пути h, t3 — время прохождения последнего отрезка h, g — ускорение свободного падения, Н — высоту, с которой упадет тело, t2 — время падения тела от точки 1 до точки 2, v1 — конечную скорость тела на первом отрезке, v02 — начальную скорость тела на отрезке 1 – 2, v2 — конечную скорость тела на отрезке 1 – 2.

76

Раздел I. Механика

v2 = v02 + gt2 = gt1 + gt2.

Эта конечная скорость v2 = v03, т.е. является начальной скоростью на последнем отрезке h, поэтому

Ответ: Н = 10,5 м.

С8. Два автомобиля движутся со скоростями 36 км/ч и 54 км/ч под углом D = 600 друг к другу. В некоторый момент времени один из них оказался в пункте М, а другой в тот же момент — в пункте N, расстояние между которыми S = 10 км.

77

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Через какой промежуток времени t расстояние между автомобилями станет минимальным?

Обозначим v — скорость автомобиля слева на рис. 49, v2 — скорость автомобиля справа, D — угол между направлениями скоростей автомоби-

автомобиля слева, если бы автомобиль справа был неподвижен, l — кратчайшее расстояние между обоими автомобилями, L — путь, пройденный левым автомобилем со скоростью v,

E— один из острых углов треугольника Mmn, h — длину пер-

пендикуляра, опущенного из конца вектора υ на отрезок MN.

Решение

Как же определить момент времени, когда расстояние между автомобилями станет наименьшим? Они же все время едут, причем каждый со своей скоростью — попробуй поймать этот самый момент.

Сразу дадим совет: при решении подобных задач, когда два тела одновременно движутся относительно друг друга, примите одно из них, например,

автомобиль справа, за неподвижное, тогда можно считать, что автомобиль слева, продолжая двигаться со своей скоростью v1, станет приближаться к правому автомобилю в пункте N с его скоростью v2, но вектор которой направлен противоположно, т.е. навстречу правому автомобилю. Теперь заменим эти две

скорости левого автомобиля одной скоростью v, сложив их век-

торы. При этом модуль вектора υ будет равен длине диагонали параллелограмма, построенного на векторах этих скоростей,

как на сторонах. Прямая МР, вдоль которой направлен вектор

скоростиυ , и будет той траекторией, по которой будет двигаться левый автомобиль, если принять правый за неподвижный.

78

Раздел I. Механика

Если теперь из точки N, где находится правый неподвижный автомобиль, опустить перпендикуляр NР на эту траекторию, то длина этого перпендикуляра l и будет тем самым кратчайшим расстоянием между обоими автомобилями. Искомый промежуток времени t можно найти, если разделить путь L, пройденный левым автомобилем со скоростью v и равный длине отрезка МР, на эту скорость:

Скорость v найти несложно. В тупоугольном треугольнике скоростей вектор этой скорости лежит против тупого угла, равного 180 – D, а две другие стороны этого треугольника равны по модулю скоростям v1 и v2, поэтому согласно теореме косинусов

v = υ12 + υ22 − 2υ1υ2 cos (1800 − α) = υ12 + υ22 + 2υ1υ2 cos α . (2)

Труднее определить длину отрезка L = МР. Этот отрезок является катетом в прямоугольном треугольнике МPN, где гипотенузойслужитизвестноенамрасстояниеS=МN,адругимкатетом — неизвестный отрезок l. Этот треугольник прямоугольный, но и от этого мало радости, ведь отрезок l взять неоткуда. Вот если бы в этом треугольнике нам был известен очень острый угол РМN, мы тогда могли найти катет L через прилежащий к этому катету угол РМN и гипотенузу S.

Но как определить этот острый угол? Обозначим его какнибудь, например, E. Может, его можно определить через векторы скоростей, между которыми он заключен? Но как? Вот если б этот угол входил в еще какой-нибудь треугольник. А что если его построить? Давайте опустим из конца вектора v на отрезок MN перпендикуляр mn и обозначим его высоту h. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник Mmn, в котором гипотенузой служит скорость v, а угол E является одним из острых углов этого треугольника. Но опять же нам не известен отрезок h. Похоже, мы в тупике.

Вот если бы как-нибудь найти этот h. Может, опустить из конца вектора скорости v1 еще один перпендикуляр ab такой же высоты? А что? — это идея! Теперь мы можем выразить отрезок h из прямоугольного треугольника Mab через скорость

79