int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Мы решили задачу в общем виде. Подставим числа и вычислим:

Ответ: t = 4 ч.

В4. Путь, пройденный материальной точкой, движущейся равномерно по окружности радиусом 6,28 см, изменяется с течением времени согласно уравнению S = 31,4 t (см). Чему равна угловая скорость точки?

Обозначим R радиус окружности, S — путь, пройденный точкой за время t, Z — угловую скорость, v — линейную скорость точки.

Решение

Поскольку материальная точка движется по окружности равномерно, то и здесь нам пригодится формула S = vt.

Если сравнить ее с уравнением S = 31,4t (см), то станет ясно, что линейная скорость точки v = 31,4 см. Теперь из формулы v = ZR мы легко найдем искомую угловую скорость:

ω= υ .

R

Осталось подставить числа и вычислить:

ω = 6,2831,4 ðàäñ = 5 ðàäñ .

Ответ: ω = 5 ðàäñ .

В5. Камень брошен с некоторой высоты в горизонтальном направлении со скоростью v0 = 10 м/с. Через сколько времени вектор скорости камня будет направлен под углом D = 600 к горизонту? Сопротивлением пренебречь.

Обозначим v0 проекцию скорости камня на ось ОХ, D— угол между вектором скорости камня и горизонтом через время t,

60

Раздел I. Механика

vу — проекцию скорости камня на ось 0Y через время t, g — ускорение свободного падения.

Обозначим х конечную координату точки, х0 — начальную координату точки, v — конечную скорость точки, v0 — начальную скорость точки, t — время движения, а — ускорение, t1 — время, за которое скорость точки уменьшится до нуля, х1 — координату, в которой скорость точки уменьшится до нуля.

ем х = 1 – 4t + 2t2, данным нам в условии задачи. Из сравнения

Теперьзапишемуравнениепроекциискоростиравноускоренногодвиженияvx =v0x +аxtиподставимвэтоуравнениечисловые

61

Физика для старшеклассников и абитуриентов

значения проекций начальной скорости и ускорения, а конечную скорость, согласно условию, приравняем нулю: 0 = –4 + 4t1, 4t1 = 4 с, откуда время, за которое скорость точки уменьшится до нуля, t1 = 1 с. Нам осталось подставить значение времени t1 = 1 с в данное нам уравнение х1 = 1 – 4t + 2t2 и вычислить искомую координату х1: х1 = 1 – (–4) · 1 + 2 · 12 (м) = 7 м.

Ответ: х = 7 м.

В7. Тело половину пути прошло со скоростью 36 км/ч, а вторую половину со скоростью 54 км/ч. Найти среднюю скорость на всем пути.

Обозначим v1 скорость, с которой тело прошло первую половину пути S, v2 — скорость, с которой тело прошло вторую половину пути S, t1 — время прохождения первой половины пути, t — время прохождения второй половины пути, vср — среднюю скорость на всем пути.

Подставим эти равенства в знаменатель первой формулы:

vср = 2 36 54 км/ч = 43,2 км/ч.

36 + 54

Ответ: vср = 43,2 км/ч.

В8. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего пассажира за 2 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимется за 2,5 мин. За сколько времени эскалатор поднимет идущего по нему пассажира? Движение равномерное.

62

Раздел I. Механика

Обозначим t1 время, за которое эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего пассажира, t2 — время, за которое пассажир поднимется по неподвижному эскалатору, t — время, за которое эскалатор поднимет идущего по нему пассажира, S — длину эскалатора, v1 — скорость эскалатора, v2 — скорость человека, поднимающегося по неподвижному эскалатору.

Ответ: t = 1,1 мин.

В9. Частота вращения колеса увеличилась. Как изменились его угловая скорость, линейная скорость точек обода колеса и их центростремительное ускорение?

Решение

Согласно формуле Z 2SQпри увеличении частоты Qугловая скорость тоже увеличивается, ведь 2S = const.

Линейная скорость v связана с угловой скоростью Z формулой v = ZR. При неизменном радиусе колеса R с увеличением угловой скорости Z линейная скорость v тоже увеличивается.

Центростремительное ускорение ац связано с угловой скоростью Zформулой ац = Z2R. При неизменном радиусе R с увеличением угловой скорости Zцентростремительное ускорение тоже увеличивается.

Ответ: Z, v и ац увеличиваются.

63

Физика для старшеклассников и абитуриентов

В10. Винт самолета вращается с частотой 1800 об/мин. Посадочная скорость самолета 54 км/ч, длина посадочной линии 700 м. Сколько оборотов сделает винт за время торможения?

Обозначим Q частоту вращения винта, v0 — скорость самолета в начале посадочной линии, v — скорость самолета в конце посадочной линии, S — длину посадочной линии, N — число оборотов винта за время торможения t, vср — среднюю скорость самолета.

Среднюю скорость самолета найдем как среднее арифмети-

ческое начальной и конечной скоростей. С учетом, что v = 0, vср = υ20 . С учетом этого, а также того, что 1800 об/мин = 180060

1000

об/с = 30 об/с и 54 км/ч = 543600 м/с = 15 м/с, получим:

N = 2Q S = 2 30 700 = 2800.

υ0 15

Ответ: N = 2800.

Часть 3

С1. Начальная скорость материальной точки 4 м/с. Вначале точка движется замедленно с модулем ускорения 1 м/с2. Найти весь путь, который она проделает за 10 с, двигаясь с постоянным по модулю ускорением?

Обозначим v0 начальную скорость точки, а — ускорение, t — все время движения, S — весь пройденный путь, v — скорость в конце движения с замедлением, t1 — время движения с замедлением, S1 — путь, пройденный точкой до остановки, S2 — путь, пройденный точкой после остановки.

64

Раздел I. Механика

Но позвольте, путь не бывает отрицательным. Путь это длина траектории, а длина может быть только положительной величиной. Значит, наше решение неверно.

Тогда давайте думать дальше. Точка двигалась равнозамедленно, а такое движение оканчивается остановкой. Интересно, сколько времени она двигалась до остановки. Это время t1 несложно определить из формулы скорости равноускоренного движения, если конечную скорость v приравнять нулю, а перед ускорением а поставить минус. Тогда получим:

Давайте вычислим, сколько времени точка двигалась до остановки:

t1 = 14 с = 4 с.

Вот оно что: из 10 с движения точка двигалась с замедлением всего t1 = 4 с, после чего она еще t2 = 10 с – 4 с = 6 с двигалась равноускоренно без начальной скорости и с прежним по модулю ускорением. Тогда весь путь S, проделанный точкой, можно представить как сумму пути S1, пройденного равнозамедленно

втечение времени t1, в конце которого точка остановилась, и пути S2, пройденного равноускоренно без начальной скорости

втечение времени t2:

S = S1 + S2 = (t12 t22 ).

Обратите внимание, что если при равнозамедленном движении тело в конце останавливается, то для определения его пути укороченная формула применима, несмотря на то, что начальная скорость здесь не равна нулю.

Мы решили задачу в общем виде. Подставим числа и вычислим:

65

Физика для старшеклассников и абитуриентов

S = 21(42 +62 )м = 26 м.

Ответ: S = 26 м.

С2. Ракета стартовала с земли вертикально вверх, двигаясь равноускоренно с ускорением 6 м/с2. Через 10 с двигатель ракеты заглох. Через сколько времени она упадет на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Обозначим v0 — скорость ракеты на старте, а — ускорение при взлете, t1 — время равноускоренного движения, g — ускорение свободного падения, v — скорость в высшей точке подъема, t — все время полета ракеты, tвзл — время взлета до высшей точки, tпад — время свободного падения с высшей точки до земли, t2 — время равнозамедленного движения вверх до высшей точки подъема после выключения двигателей, h — всю высоту, на которую взлетела ракета, h1 — высоту равноускоренного подъема, h2 — высоту равнозамедленного подъема.

ракета взлетала вверх с ускорением а, т.е. набирала скорость, пока у нее не заглох двигатель, и времени t2, в течение которого она продолжала двигаться вверх уже замедленно, с отрицательным ускорением свободного падения. Эту часть подъема ракета проделала с начальной скоростью, которую она приобрела к моменту, когда двигатель заглох, пока не достигла высшей точки. Следовательно, все время взлета

Давайте сначала найдем скорость v1, которую ракета набрала к моменту, когда у нее заглох двигатель. Эту скорость можно найти по формуле скорости равноускоренного движения

66

Раздел I. Механика

при нулевой начальной скорости на старте. Тогда эта формула приобретет вид:

v1 = at1.

Эта скорость станет начальной скоростью для движения ракеты в течение времени t2 с отрицательным ускорением свободного падения –g до высшей точки подъема, где ее конечная скорость v станет равна нулю. Поэтому для нахождения времени t2 можно применить ту же формулу скорости:

Подставив (3) в (2), выразим время взлета через все известные величины:

Теперь надо найти время падения ракеты с высшей точки ее подъема на землю. Проще всего это можно было бы сделать, если бы нам была известна вся высота подъема ракеты h. Время падения с этой высоты мы обозначили tпад, поэтому формула высоты примет вид:

Значит, надо определить всю высоту h подъема ракеты — от старта до высшей точки, где она остановилась, после чего стала падать. Готовой формулы для ее определения нет, ведь эта высота представляет собой сумму двух высот h1 и h2 с разными типами движения: при подъеме на высоту h1 — равноускоренного с ускорением a и при подъеме на высоту h2 — равнозамедленного с отрицательным ускорением свободного падения — g. Поэтому мы должны записать:

h = h1 + h2 ,

67

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Тогда с учетом равенств (6) и (7) вся высота подъема ракеты будет равна:

Нам остается подставить правую часть этого равенства в формулу (5) и сложить времена взлета и падения. Приступим:

Теперь подставим правые части равенств (4) и (9) в формулу (1), и задача будет решена:

Задача в общем виде решена. Подставим числа и вычислим:

Ответ: t = 25,8 c.

С3. Колонна солдат длиной 20 м движется по шоссе со скоростью 3,6 км/ч. Командир, находящийся в хвосте колонны, посылает солдата с вопросом к сержанту, шагающему во главе колонны. Солдат бежит туда и обратно со скоростью, превышающей скорость колонны на 20%. Через сколько времени солдат доставит командиру ответ сержанта, если он слушал его в течение 0,5 мин?

Обозначим S длину колонны, v1 — скорость колонны, 'v — разность между скоростью солдата и скоростью колонны, t — время, в течение которого солдат слушал ответ сержанта, tобщ — время, в течение которого солдат доставит командиру ответ сержанта, t1 — время, в течение которого солдат бежал к голове колонны, t2 — время, в течение которого солдат бежал обратно от головы колонны к командиру, v2 — скорость солдата.

68

Раздел I. Механика

Решение

Очевидно, что время t1, пока солдат бежал к голове колонны, не равно времени t2, за которое он вернулся обратно, ведь, когда он бежал к голове, он обгонял колонну, а когда он бежал ей навстречу, она к нему приближалась, поэтому он пробежал ее длину быстрее.

Следовательно, искомое время tобщ можно представить как сумму трех времен: времени t1 пробега солдата к голове колонны, времени t, пока он разговаривал с сержантом, и времени t2 его возвращения:

Судя по условию задачи, движение как колонны, так и солдата, было равномерным. Поэтому время t1, за которое солдат пробежал от хвоста колонны к ее голове, можно определить из формулы пути равномерного движения. Но при этом следует учесть, что скорость солдата относительно колонны в этом случае равна разности его скорости v2 относительно дороги и скорости колонны v1 относительно дороги. Поэтому время t1 равно:

где согласно условию v1 – v2 = 'v = 0,2 v1, поэтому

Когда солдат побежал обратно, его скорость относительно приближавшейся к нему колонны стала равна сумме скорости колонны относительно дороги и его собственной скорости относительно нее, поэтому время, за которое он пробежал колонну обратно, равно:

Подставив правые части выражений (2) и (3) в равенство (1), мы решим задачу в общем виде:

69