int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012
.pdf
Физика для старшеклассников и абитуриентов
торые формулы, наиболее часто используемые при решении соответствующих задач.
Если из условия задачи следует, что два тела столкнулись на одной высоте, это значит, что их координата у стала одинакова.
В. Относительность движения
Всякое движение относительно. Это означает, что одно и то же тело одновременно и движется, и покоится. Движется относительно одних тел и одновременно покоится относительно других. Мы все, земляне, можем покоиться относительно своего письменного стола и одновременно всегда движемся относительно Солнца. Любой из вас может привести много примеров относительности движения.
В задачах на относительность движения часто приходится пользоваться правилом сложения скоростей.
Правило сложения скоростей: скорость тела относительно
неподвижной системы отсчета υ равна сумме скорости тела
относительно подвижной системы отсчета
и скорости самой подвижной системы
относительно неподвижной.
Это правило применимо только к классическим скоростям, т.е. скоростям, значительно меньшим скорости света в вакууме (т.е. к скоростям порядка 106 м/с и меньше).
Если система отсчета и тело в ней движутся в одном направлении, то
v = v1 + v0.
Например, если поезд движется со скоростью 16 м/с относительно вокзала, а пассажир по ходу поезда бежит со скоростью 2 м/с относительно полок вагона, то скорость пассажира относительно вокзала равна 18 м/с.
Если система отсчета и тело в ней движутся в противоположных направлениях, то
v = v1 – v0.
Например, если в предыдущем примере пассажир будет бежать навстречу ходу поезда, то скорость, с которой он будет удаляться от вокзала, будет равна 14 м/с.
20
Раздел I. Механика
Если в подвижной системе отсчета, движущейся со скоростью 
относительно неподвижной системы, тело станет двигаться со скоростью относительно подвижной системы под углом D к направлению ее движения, то для определения модуля скорости тела относительно неподвижной системы придется применить теорему Пифагора или теорему косинусов — в зависимости от величины угла D (рис. 10 а и б).
v1 |
v |
v1 |
v |
0 |
v0 |
a) |
б) |
v = v12 + v02 |
v = v12 + v02 − 2v1v0 cos α(1800 − α) = |
|
= v12 + v02 + 2v1v0 cos α |
|
Рис.10 |
Например, если скорость течения v0 =1 м/с, а лодка переплывает реку со скоростью v1 = 2 м/с относительно воды перпендикулярно берегу (рис. 10), то скорость лодки относительно берега будет, согласно теореме Пифагора, равна
|
v = 12 + 22 |
м/с = 2,2 м/с. |
|
|
|
|
||
Есливусловии сказано,чтолодкапереплываетрекупократ- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
чайшемупути,значит,еескоростьотносительноберега υ направ- |
||||||||
лена перпендикулярно бере- |
|
|
|
|
|
|
|
|
гу,аскоростьлодкиотноситель- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
|
|
|
||
но воды |
направлена под ту- |
|
v |
|||||
пым углом к вектору скорости |
|
|
|
|
|
|
|
|
течения |
(рис. 11). В таком |
|
|
|
|
|
|
|
случае скорость лодки отно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
сительно берега можно опреде- |
|
|
|
|
|
|
|
|
лить по теореме Пифагора: |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 |
||||
|
υ = υ 12 − υ 20 , |
|
|
|
|
|
|
|
а время t, за которое лодка пе- |
Рис.11 |
|
реплывет реку шириной Н, |
||
|
21
Физика для старшеклассников и абитуриентов
двигаясь с этой скоростью, можно найти как отношение этой ширины к скорости лодки относительно берега:
v1 |
v |
О
v0
Рис.12
υ = Н. t
Если говорится о минимальном времени, за которое лодка переплывет реку, то теперь перпендикулярно
берегу надо направить вектор скоро-
сти лодки относительно воды 
под прямым углом к течению, как на рис. 12. В этом случае минимальное время t будет равно отношению ширины реки к скорости лодки относительно течения:
t = H .
υ1
Таким образом, если вам нужно переплыть реку как можно быстрее, значит, надо грести перпендикулярно течению. Вас, правда, снесет вниз по течению, но зато вы быстрее всего окажетесь на противоположном берегу.
Если два тела сближаются или удаляются друг от друга, т.е. движутся в противоположных направлениях со скоростями v1 и v2 относительно неподвижных объектов, то их скорость v относительно друг друга будет по модулю равна сумме их скоростей относительно неподвижных объектов:
v = v1 + v2 .
Если два тела обгоняют друг друга, т.е. движутся в одном направлении со скоростями v1 и v2 относительно неподвижных объектов, то их скорость v относительно друг друга по модулю будет равна разности их скоростей относительно неподвижных объектов:
v = v2 – v1.
Например, если два поезда едут по параллельным рельсам навстречу друг другу со скоростями 36 км/ч и 74 км/ч относительно вокзала, то скорость их взаимного сближения, т.е. скорость первого поезда относительно второго по модулю равна скорости второго относительно первого и равна:
22
Раздел I. Механика
36 км/ч + 74 км/ч = 110 км/ч.
А если они движутся по параллельным рельсам в одном направлении, т.е., например, если второй поезд, скорость которогоравна72км/ч,обгоняетпервый,скоростькоторого36 км/ч, то скорость первого поезда относительно второго равна скорости второго минус скорость первого:
72 км/ч – 36 км/ч = 36 км/ч,
а скорость второго поезда относительно первого равна скорости первого поезда минус скорость второго:
36 км/ч – 72 км/ч = –36 км/ч.
Если два тела движутся со скоростями v1 и v2 относительно неподвижных объектов и векторы этих скоростей направлены под углом Dдруг к другу, то, чтобы найти скорость второго тела относительно первого, надо найти векторную разность 
– (рис. 13, а), а чтобы найти скорость первого тела относительно второго, надо найти векторную разность –
(рис. 13, б).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
|
|
v1 |
||||||
α |
|
|
α |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
v2 |
||
|
a) |
|
|
|
|
б) |
||||
|
|
|
|
Рис. 13 |
||||||
Для нахождения модуля относительной скорости можно применить теорему косинусов:
υ21 = υ12 = 
υ12 +υ22 − 2υ1υ2 cos α .
Если D= 900, то удобно применить теорему Пифагора:
υ21 =υ12 = 
υ12 +υ22.
Если сказано, что два поезда длиной L1 и L2 каждый движутся навстречу друг другу со скоростями v1 и v2 относительно неподвижных объектов (деревьев, домов), то время t, в течение которого они будут проезжать мимо друг друга, можно найти, разделив сумму их длин на их скорость относительно друг
23
Физика для старшеклассников и абитуриентов
друга, которая при встречном движении поездов равна сумме их скоростей:
t = L1 + L2 .
υ1 + υ2
А если эти поезда обгоняют друг друга, двигаясь в одном направлении, то время обгона равно:
t = L1 + L2 .
υ2 − υ1
Г. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью
Тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, когда на него действует тоже постоянная по модулю сила, направленная в каждой точке его траектории по радиусу к центру окружности. Такое
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
движение характеризуется |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
следующими параметрами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линейной скоростью v, угло- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вой скоростью Z, периодом |
|
ω |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T, частотой вращения Q и |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v центростремительным уско- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рением aц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейная скорость v — |
|
|
|
|
|
|
|
|
это скорость, с которой тело |
||
v |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
движется по окружности. |
|
|
|
|
Рис. 14 |
|
Линейная скорость — век- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
торная величина. Вектор линейной скорости υ , оставаясь по |
||||||||||
модулю постоянным, в каждой точке траектории направлен по касательной окружности (рис. 14).
Угловая скорость Z— это отношение угла поворота радиуса R, соединяющего тело с центром окружности, ко времени поворота t. Угловая скорость — векторная величина, ее направление можно определить с помощью правого винта (буравчика). Если вращать головку правого винта по направлению движения тела по окружности, то в ее центре поступательное движение винта совпадет с направлением вектора угловой скорости. На рис. 14 тело движется по окружности по часовой стрелке. Вращая головку правого винта по часовой стрелке, убедимся,
24
Раздел I. Механика |
||||
что вектор угловой скорости на- |
v |
|||
правлен от нас за чертеж. В этом |
||||
|
||||
случае его изображают в центре |
|
|||
окружности кружочком с крести- |
|
|||
ком (мы видим оперение стрелы, |
R |
|||
улетающей от нас). А если тело |
ω |
|||
движется против часовой стрелки, |
||||
|
||||
то вектор угловой скорости на- |
a |
|||
правлен к нам от чертежа, и при |
|
|||
этом его изображают кружочком |
|
|||
с точкой внутри (мы видим острие |
v |
|||
стрелы, летящей на нас) (рис. 15). |
||||
|
||||
Равномерное движение по |
Рис. 15 |
|||
окружности является периоди- |
|
|||
ческим движением, — при таком движении координата тела |
||||
повторяется через равные промежутки времени. |
||||
Период Т — это время одного оборота. Следует знать, что |
||||
период секундной стрелки Т = 1 мин, период минутной стрелки |
||||
Т = 1 ч и период часовой стрелки Т = 12 ч. |
||||
Частота вращения Q — это число оборотов за единицу вре- |
||||
мени. Период и частота — обратные величины. |
||||
Центростремительное (его еще называют нормальное |
||||
ускорение) ускорение ац — это ускорение, характеризующее |
||||
быстроту изменения направления вектора линейной скорости. |
||||
Центростремительное ускорение в любой точке траектории |
||||
направлено по радиусу к центру окружности. |
||||
Формулы, которые можно применять при решении задач |
||||
на равномерное движение тела по окружности: |
||||
v = S |
ω = ϕ |
|||
|
t |
|
t |
|
v = 2SRQ |
|
2πR |
v = ZR |
|
v = |
||||
|
|
T |
|
|
Z = SQ |
Z = 2π |
Z = SQ |
||
|
|
Т |
|
|
Т = t |
T |
= 1 |
Q = N |
|
N |
|
ν |
t |
|
υ 2 |
aц = Z R |
aц = Zv |
||
ац = |
||||
R |
|
|
25 |
|
|
|
|
||
|
|
Физика для старшеклассников и абитуриентов |
|||
|
Следует знать, что все точки, расположенные на одном |
||||
радиусе, в процессе его вращения движутся с одинаковыми |
|||||
угловой скоростью, периодом и частотой, но с разными ли- |
|||||
нейными скоростями. Чем ближе точка на радиусе к центру |
|||||
окружности, тем меньше ее линейная скорость. |
|||||
|
Когда колесо катится равномерно по дороге, двигаясь от- |
||||
носительно нее с поступательной скоростью v1, и все точки |
|||||
|
|
n |
2v1 |
|
обода колеса движутся |
|
|
|
относительно его цен- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тра с такой же линей- |
|
|
|
|
|
ной скоростью v1, то |
|
|
|
|
|
относительно дороги |
|
|
|
|
|
мгновенная скорость |
v1 |
vc |
|
v1 |
p |
v1 разных точек колеса |
|
|
|
|
|
различна (рис. 16). |
|
c |
v1 |
|
v1 |
Мгновенная ско- |
|
|
vp |
|||
|
|
|
|
|
рость нижней точки m |
|
|
m |
|
|
равна нулю, а мгновен- |
|
|
|
|
|
ная скорость высшей |
|
|
Рис. 16 |
|
|
точки n равна удвоен- |
|
|
|
|
ной скорости v1. Мгно- |
|
|
|
|
|
|
|
венную скорость р точки обода, лежащую на горизонтальном |
|||||
радиусе, можно найти по теореме Пифагора, а мгновенную |
|||||
скорость точки с — по теореме косинусов. |
|||||
|
Если в условии задачи сказано, что, например, скорость |
||||
тела увеличилась вдвое, то можно записать так: v = 2v0 или |
|||||
υ |
=2, v0 |
= υ . |
|
|
|
υ0 |
|
2 |
|
|
|
|
Если сказано, что, например, скорость увеличилась на |
||||
20 м/с, то в условии можно записать так: |
|||||
'v = 20 м/с, где 'v = v – v0.
Если сказано, что некоторая величина, например, скорость, увеличилась на 20%, то в условии задачи можно записать так: 'v = v – v0 = 0,2 v0, где 'v — изменение скорости, v — конечная скорость и v0 — начальная скорость. А если сказано, что некоторая величина, например, скорость, составила 20% от первоначальной, то можно записать так: v = 0,2 v0. Подобным образом можно записывать и изменение других величин.
26
Раздел I. Механика
ПРОБНЫЙ ЭКЗАМЕН по теме 1. КИНЕМАТИКА
Внимание: сначала попытайтесь ответить на вопросы и
решить задачи самостоятельно, а потом проверьте свои ответы. Указание: ускорение свободного падения принимать рав-
ным 10 м/с2.
Часть 1
А1. Два тела движутся равномерно во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями 3 м/с и 4 м/с. Их скорость
относительно друг друга равна |
|
|
|
1) 2 м/с |
2) 3,5 м/с 3) |
5 м/с |
4) 7 м/с |
А2. Два автомобиля движутся по взаимно перпендикулярным дорогам. Скорость первого автомобиля относительно дороги v, а модуль скорости второго автомобиля относительно первого равен v 2. Чему равна скорость второго автомобиля
относительно дороги? |
|
|
|
1) 0,5v |
2) 3v |
3) v |
4) 2v |
А3. Два автомобиля движутся по прямым шоссе со скоростями 15 м/с и 20 м/с. Угол между шоссе составляет 600. Модуль относительной скорости автомобилей примерно равен
1) 5 м/с |
2) 18 м/с |
3) 25 м/с |
4) 35 м/с |
А4. Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 36 км/ч и 54 км/ч. Длина первого поезда 40 м, длина второго 50 м. В течение какого времени поезда будут проезжать
мимо друг друга? |
|
|
|
1) 10,5 c |
2) 2,4 с |
3) 8,4 с |
4) 3,6 с |
А5. Поезд длиной 40 м движется со скоростью 54 км/ч. Его обгоняет поезд длиной 50 м, движущийся по параллельному пути со скоростью 72 км/ч. В течение какого времени второй
поезд будет обгонять первый? |
|
||
1) 9 с |
2) 18 с |
3) 24 с |
4) 32 с |
А6. Поезд длиной 60 м, движущийся со скоростью 36 км/ч, въехал на мост длиной 540 м. Он съедет с этого моста через
1) 6 с 2) 54 с 3) 1 мин 4) 4 мин
27
Физика для старшеклассников и абитуриентов
А7. Пловец должен переплыть реку по кратчайшему пути в системе отсчета, связанной с берегом. Скорость течения относительно берега v0 = 0,8 м/с, а скорость пловца относительно воды v1 = 1,2 м/с. Модуль скорости пловца относительно берега
при этом примерно равен |
|
1) 0,9 м/с 2) 1,6 м/с 3) 2 м/с |
4) 2,4 м/с |
А8. Скорость течения реки относительно берега 0,8 м/с, скорость лодки относительно берега такая же. При этом лодка выдерживает курс, перпендикулярный берегу. Под каким углом к берегу должна быть направлена скорость лодки относительно течения, чтобы выдержать этот курс?
1) 300 2) 450 3) 600 4) 1200
А9. Путь и модуль перемещения конца минутной стрелки длиной 1 см за 45 мин соответственно равны
1) 6,3 см и 2 см |
2) |
3,14 см и 4,2 см |
3) 4,0 см и 2 см |
4) |
4,7 см и 1,4 см |
А10. Длина минутной стрелки 1 см. Путь и модуль перемещения конца минутной стрелки за полчаса соответственно
равны |
|
|
|
1) |
2 см и 3,14 см |
2) |
6,28 см и 2 см |
3) |
3,14 см и 2 см |
4) |
12,56 см и 2 см |
А11. Вектор ускорения направлен в сторону |
|||
1) |
начальной скорости |
2) |
изменения скорости |
3) |
перемещения |
4) |
конечной скорости |
А12. На рис.17 вверху представлен график координаты материальной точки. Проекция модуля скорости точки в интервале времени от 7 до 10 с представлена графиком
1) а 2) б 3) в 4) г
А13. На рис.18 представлен график скорости материальной точки. Путь, пройденный точкой в интервале времени от 4 с
до 8 с, равен |
|
|
|
1) 48 м |
2) 10 м |
3) 16 м |
4) 25 м |
А14. На рис. 19 представлен график зависимости скорости тела от времени движения. Сравните модули ускорения а1, а2
иа3 тела в моменты времени t1, t2 и t3.
1)а3 > a1 > a2
28
|
|
|
Раздел I. Механика |
|
|
|
|
x, м |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
8 |
10 |
t, c |
|
|
|
|
|||
v |
, м/c |
|
vх, м/c |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
a) |
t, c |
0 |
б) |
t, c |
|
|
|
|
|
||
vх, м/c |
|
vх, м/c |
|
|
||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
t, c |
0 |
|
t, c |
|
|
в) |
|
г) |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 17 |
|
|
|
v, м/c |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
t, c |
|
||||||
|
|
Рис. 18 |
|
|
|
|
v, м/c |
Рис. 19 |
29