int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Физика для старшеклассников и абитуриентов

v1 и противолежащий этому перпендикуляру известный нам угол D:

Зная h, находим из прямоугольного треугольника Mmn sin E:

Теперь уже просто. Из прямоугольного треугольника MPN выражаем катет L через известную нам гипотенузу S и найденный угол E:

L = S cos E = S 1 − sin2 β

или с учетом (4)

Нам осталось подставить правые части равенств (2) и (5) в формулу (1), и непростая задача, потребовавшая от нас столько выдумки и сообразительности, будет решена. Подставляем:

В общем-то задача решена, но хорошо бы полученную формулу упростить. Сделать это несложно. Достаточно сгруппировать под корнем первый и последний члены, вынести v12 за скобки и вспомнить, что

1 – sin2 D = cos2 D:

80

Раздел I. Механика

Теперь мы видим, что под корнем стоит квадрат суммы величин v1 cos D + v2:

Выразим все величины в единицах СИ: 36 км/ч = 10 м/с, 54 км/ч = 15 м/с, 10 км = 1· 104 м.

Подставим числа и произведем вычисления:

10 cos 600 + 15

t = 104 100 + 2 10 15 cos 600 + 225 с = 421 с = 7 мин,

Ответ: t = 7 мин.

С9. Мимо остановки по прямой улице проезжает грузовик, двигаясь равномерно со скоростью 10 м/с. Через 5 с от остановки ему вдогонку отъезжает мотоциклист с ускорением 3 м/с2. На каком расстоянии от остановки мотоциклист догонит грузовик?

Обозначим v скорость грузовика, 't — промежуток времени между моментом проезда мимо остановки грузовика и моментом отъезда мотоциклиста, а — ускорение мотоциклиста, v0 — начальную скорость мотоциклиста, S — расстояние от остановки до места, где мотоциклист догонит грузовик, t — время движения мотоциклиста до момента, когда он догонит грузовик.

Теперь можно из первого уравнения выразить время t и подставить в последнее. Тогда у нас останется одно уравнение с одним неизвестным S. Но дальнейшее решение будет слишком громоздким. Проще приравнять правые части первого и последнего уравнений и из полученного равенства выразить

81

Физика для старшеклассников и абитуриентов

время t, а затем подставить его в последнее уравнение. При-

Давайте, чтобы не делать слишком громоздкой формулу

Теперь вычислим путь S = 3 (14 − 5)2 м | 122 м.

2

Ответ: S | 122 м.

С10. Сбегая по эскалатору с одной скоростью, мальчик насчитал N1 ступенек, а когда он увеличил скорость в полтора раза, он насчитал на 'N ступенек больше. Сколько ступенек N насчитает мальчик, спускаясь с первой скоростью по неподвижному эскалатору?

Обозначим N1 число ступенек, которое насчитал мальчик, сбегая по эскалатору со скоростью v1, 'N — разница между числом ступенек, которое насчитает мальчик, сбегая со скоростью v2, и числом ступенек, которое он насчитает, сбегая со скоростью v1, N — число ступенек, которое насчитает мальчик, спускаясь по неподвижному эскалатору, h — ширину ступеньки эскалатора.

82

Раздел I. Механика

hN. Ведь N это число ступенек, которое содержит вся лента эскалатора, и именно столько ступенек насчитает мальчик, спускаясь по неподвижному эскалатору.

Время спуска, при условии, что мальчик движется равномерно, равно:

В системе отсчета, связанной с движущейся лентой эскалатора, мальчик за это же время t пробежит путь, равный hN1, спускаясь с собственной скоростью v1 плюс скорость эскалатора v0 (заметим, что чем быстрее он бежит в ту же сторону, что и эскалатор, тем больше ступенек успеет насчитать за время спуска. А если бы он не бежал, то насчитал бы всего одну ступеньку, ту, на которой стоял). С учетом этого

Приравняв правые части равенств (1) и (2), мы «уйдем» от неизвестного времени t:

Когда мальчик увеличил свою скорость в полтора раза, т.е. стал бежать со скоростью 1,5v1, то успел насчитать на 'N ступенек больше, т.е. теперь он насчитал N1 + 'N ступенек. Рассуждая аналогично, мы можем сразу записать уравнение (4), подобное уравнению (3), заменив в нем v1 на 1,5v1 и N1 на

N1 + 'N:

Нам осталось исключить неизвестные скорости v1 и v0 из уравнений (3) и (4). И хоть мы имеем всего два уравнения с тремя неизвестными величинами, мы попытаемся определить N. Для начала найдем из уравнения (3) v1 + v0, а из уравнения

(4) 1,5v1 + v0, воспользовавшись правилом пропорции:

83

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Если теперь из уравнения (6) вычесть уравнение (5), то «уйдет» скорость v0 , а скорость v1 в правой части будущего уравнения можно будет вынести за скобки и сократить с той v1, что останется в левой части этого уравнения. Проделаем эти действия:

Ответ: N = N1 + 3'N.

Тема 2. ДИНАМИКА. СТАТИКА

А. Законы Ньютона

Основные формулы

Плотность тела

U = m V

Здесь U— плотность (кг/м3), m — масса (кг), V — объем (м3).

Второй закон Ньютона

F = ma

Здесь F — сила (Н), m — масса (кг), a — ускорение (м/с2).

Сила трения

Fтр = PFдавл

Здесь Fтр — сила трения (Н), P— коэффициент трения (безразмерный), Fдавл — сила давления (Н).

Закон Гука

Fупр = –kx

84

Раздел I. Механика

Здесь Fупр — сила упругости (Н), k — жесткость (Н/м), х — деформация (м).

Закон всемирного тяготения

m1m2

F = G r2

Здесь F — сила тяготения (Н), G = 6,67 · 10–11 Н · м2/кг2 — гравитационная постоянная, m1 и m2 — массы притягивающихся друг к другу материальных точек (кг), r — расстояние между этими точками (м).

Вес тела в покое или движущегося равномерно вверх или вниз

Р = mg

Здесь Р — вес (Н), m — масса (кг), g — ускорение свободного падения (м/с2).

Вес тела, опускающегося с ускорением или поднимающегося с замедлением

Р = m(g – a)

Здесь а — ускорение тела (м/с2). Остальные величины названы в предыдущей формуле.

Вес тела, поднимающегося с ускорением или опускающегося с замедлением

Р = m( g + a)

Все величины названы в предыдущей формуле.

Перегрузка при подъеме с ускорением или спуске с замедлением

n = P mg

Здесь n — перегрузка (безразмерная), Р — вес (Н), m — масса (кг), g — ускорение свободного падения (м/с2).

В динамике изучают движение тел с учетом причин, влияющих на состояние их движения.

Параметрами динамики являются: масса m, сила F, работа A, мощность N, импульс тела p, импульс силы F't, энергия E.

85

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Масса m — это количественная мера инертных и гравитационных свойств тела. Чем больше масса тела, тем труднее изменить его скорость и тем сильнее оно притягивает другие тела. Масса — скалярная величина. Масса системы тел равна сумме масс тел, составляющих эту систему.

Отношение массы тела к его объему называется плотностью тела.

U= m.

V

Плотность — скалярная положительная величина. Плотность твердых и жидких тел зависит от вещества и температуры. В справочниках приведены плотности твердых и жидких веществ при 0 0С. Плотность газов зависит от параметров их состояния.

Сила F — это количественная мера взаимодействия тел, в

результате которого они изменяют скорость или деформиру-

ются. Сила — векторная величина. Вектор силы F совпадает

по направлению с вектором ускорения а, полученного телом под действием этой силы.

Существует четыре вида сил различной природы: электромагнитные, гравитационные, ядерные и слабые взаимодействия.

Электромагнитные силы — это силы, действующие между телами вследствие того, что тела состоят из движущихся заряженных частиц, между которыми действуют электрические и магнитные силы. К электромагнитным силам относится сила трения Fтр и сила упругости Fупр.

Сила трения Fтр — это сила, возникающая вследствие неровностей поверхностей соприкасающихся тел. Сила трения не имеет точки приложения и всегда направлена в сторону, противоположную относительному перемещению тел. Сила трения прямо пропорциональна силе давления одного тела на другое.

Fтр = PFдавл.

Коэффициент трения μ в формуле силы трения не зависит от силы давления, а зависит от материала соприкасающихся тел и степени их обработки. Никакая зачистка поверхностей не сделает силу трения равной нулю.

Сила упругости Fупр — это сила, возникающая в теле при упругой деформации. Ее величина определяется законом Гука:

86

Раздел I. Механика

сила упругости прямо пропорциональна деформации тела, взятой со знаком «минус»:

Fупр = –kx.

К электромагнитным силам относится также и вес тела Р. Вес тела Р — это сила, с которой тело действует на другие тела вследствие его притяжения к планете.

Гравитационные силы — это силы притяжения (тяготения) одних тел к другим вследствие наличия у них масс. К гравитационным силам относится сила тяготения Fтяг и сила тяжести mg.

Сила тяжести mg — это сила, с которой планета действует на тело. Сила тяжести равна произведению массы тела и ускорения свободного падения.

Если тело относительно вертикали покоится или движется равномерно вверх или вниз, то его вес равен силе тяжести. Если тело движется вниз с ускорением или вверх с замедлением, то его вес меньше силы тяжести. Если тело свободно падает, его вес равен нулю. Это состояние называется невесомостью.

Если тело движется вверх с ускорением или опускается вниз с замедлением, то его вес больше силы тяжести. В этом случае отношение веса к силе тяжести называется перегрузкой.

Ядерные силы — это силы, действующие между частицами ядер атомов — протонами и нейтронами.

Слабые взаимодействия — это силы, удерживающие элементарные частицы от распада.

В механике ядерные и слабые взаимодействия не рассматриваются.

Механическое движение подчиняется основным законам механики — законам Ньютона. Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета.

Первый закон Ньютона — в инерциальных системах отсчета свободное тело сохраняет свою скорость. Такое тело движется по инерции. Инерция — это свойство тела сохранять скорость при отсутствии внешнего воздействия.

Только равномерное и прямолинейное движение является движением по инерции. Согласно первому закону Ньютона, когда силы, действующие на движущееся тело, уравновесят друг друга, оно станет двигаться равномерно и прямолиней-

87

Физика для старшеклассников и абитуриентов

но — по инерции. Или, если оно ранее покоилось, то и останется в покое.

Рассмотрим пример. На автомобиль, движущийся по го-

αк основанию наклонной пло-

88

Раздел I. Механика

Если силы не уравновешивают друг друга, то тело будет двигаться с ускорением — в соответствии со вторым законом Ньютона.

Второй закон Ньютона: произведение массы тела на его ускорение равно векторной сумме всех приложенных к нему сил.

F = ma.

Векторная сумма всех действующих на тело сил называется их равнодействующей силой, а сами силы — составляющими силами.

Если силы направлены в противоположные стороны, как на рис. 56, то произведение массы тела на его ускорение равно разности между большей и меньшей силой:

ma = Fтяги – Fтр.

89