Вакарчук І.О. Квантова механіка

Iндексом A ми нумеруємо квантовi стани системи, а її хвильова функцiя дорiвнює |Ai. Отже, повна початкова хвильова функцiя

є добутком хвильових функцiй частинки та системи:

Для його розрахунку розкладемо спочатку функцiю U в ряд

Фур’є:

841

де q = k′ − k, а

Якщо цей вираз подiлити на величину потоку, що налiтає,

~k 1 j0 = m V ,

пiдсумувати за всiма значеннями iмпульсу частинки пiсля розсiяння k′, а також за всiма початковими станами системи |Ai, у яких вона знаходиться з iмовiрнiстю wA, i за всiма кiнцевими станами |A′i, то ми знайдемо повний перерiз непружного розсiяння:

Iмовiрнiсть реалiзацiї початкового рiвноважного стану системи частинок визначається розподiлом Больцмана

842

Тут уже ми перейшли вiд пiдсумовування за хвильовими векторами до iнтеґрування. Для того щоб скористатись властивiстю δ-функцiї, перейдемо до сферичних координат:

dω = −m~ k′dk′.

Величина ~ω дорiвнює зменшенню енерґiї частинки при розсiяннi. З рiвняння для ω визначаємо й межi iнтеґрування при заданому початковому значеннi k. Тепер повний перерiз

XX

×wA|νq|2 |hA′|ρq|Ai|2 δ(~ω + EA − EA′ ).

AA′

Знак мiнус вiд dω зникає внаслiдок замiни мiсцями меж iнтеґрування. Використаємо iнтеґральне зображення δ-функцiї

843

або

Ми ввели зображення Гайзенберґа для величини ρq:

ˆ ~ ˆ ~

ρq(t) = eiHt/ ρqe−iHt/ ,

ˆ гамiльтонiан системи,

H

ρq(0) = ρq,

hA′|ρq(t)|Ai = eiEA′ t/~hA′|ρq|Aie−iEAt/~.

Далi маємо

X X

wAhA|ρ−q(0)|A′i hA′|ρq(t)|Ai

AA′

X

=wAhA|ρ−q(0)ρq(t)|Ai = hρ−q(0)ρq(t)i,

A

де кутовими дужками позначено повне усереднення квантовомеханiчне i статистичне. Отже, повний перерiз розсiяння

називають “динамiчний структурний фактор”. Вiн вiдiграє центральну роль у теорiї непружного розсiяння. Величину S(q, ω) на-

зивають також функцiєю Ван Гова на честь бельгiйського фiзикатеоретика Леона Ван Гова, який увiв її в обiг у 1954 роцi.

При виведеннi цiєї формули ми використали зображення Гайзенберґа i залежнiсть вiд часу t для оператора ρq. Залежнiсть вiд

844

часу можна “перекинути” на оператор ρ−q. У результатi отрима-

ємо

hρ−q(0)ρq(t)i = hρ−q(−t)ρq(0)i.

Крiм того, ця величина не залежить i вiд напрямку вектора q, оскiльки в розкладi в ряд Фур’є потенцiальної енерґiї U(|r − Rj |) при пiдсумовуваннi за q можна зробити замiну q на −q. Отже,

hρ−q(−t)ρq(0)i = hρq(−t)ρ−q(0)i = hρq(0)ρ−q(t)i.

Маючи повний перерiз розсiяння σ, уведемо двiчi диференцi-

альний перерiз розсiяння, який вимiрюється експериментально:

Вiн дорiвнює вiдношенню кiлькостi частинок, що розсiюються за одиницю часу в одиницю тiлесного кута з розрахунку на одиничний iнтервал енерґiї, до величини падаючого потоку. Якщо використати вираз для амплiтуди розсiяння f в борнiвському на-

ближеннi, то

Непружне розсiяння дає змогу визначити як просторову структуру речовини, так i структуру її енерґетичного спектра. Справдi, якщо проiнтеґрувати S(q, ω) за всiма частотами ω, то отримаємо статичний структурний фактор системи Sq, який дає iнфор-

мацiю про її просторову структуру (див. також §56). Маємо

де

Sq = hρqρ−qi,

845

статичний стуктурний фактор. Таким чином,

Z ∞

dωS(q, ω) = Sq.

−∞

Далi динамiчний структурний фактор можна записати в розгорнутому виглядi:

Отже, величина S(q, ω) має δ-подiбнi пiки для частот ω = (EA′ − EA)/~, що дорiвнюють рiзницi рiвнiв енерґiї системи, на

якiй розсiюється частинка. Насправдi контур динамiчного структурного фактора, внаслiдок квазiстацiонарностi станiв, є розширеним. Додаткове його розширення зумовлюють також i тепловi рухи атомiв речовини. Таким чином, динамiчний структурний фактор має виразнi максимуми, положення яких i визначає енерґетичнi рiвнi дослiджуваної системи.

Наприклад, пучок ядер 3He непружно розсiюється на мiше-

нi, яка складається з атомiв свинцю-208. У результатi цього ядро 208Pb переходить iз деякого початкового стану з енерґiєю EA в збуджений стан, енерґiя якого дорiвнює EA′ . Частинка 3He реє-

струється приладами з енерґiєю

~2k′2 ~2k2

2m = 2m + EA − EA′ ,

де ~2k2/2m – кiнетична енерґiя ядра 3He, яке падає на мiшень.

Для певного кута розсiяння за рiзницею енерґiй

~ω = ~2k2 − ~2k′2 ,

2m 2m

846

на якiй спостерiгається максимум динамiчного структурного фактора, визначають енерґетичний спектр ядер 208Pb. Головним у

такому експериментi є точне вимiрювання енерґiй розсiяних частинок, зокрема за довжиною трекiв в емульсiї.

Цiкавим є дослiдження перерiзу розсiяння електронiв високих енерґiй на атомних ядрах. Особливий iнтерес становить вивчення реакцiї вибивання протонiв i нейтронiв iз ядра (електророзщеплення) для дослiдження його оболонкової структури. При цьому виявляється можливим iдентифiкувати оболонку, з якої вибито

нуклон, i тим самим вiдтворити характер поля ядерного потенцiалу1.

Iнший приклад це непружне розсiяння нейтронiв у рiдкому 4He. У цьому випадку нейтрон, що взаємодiє з ядрами атомiв 4He, збуджує всю їхню сукупнiсть. Тобто нейтрон вiддає енергiю ~ω й iмпульс q = k′ − k рiдинi як цiлому. Типовий пiк динамiчного структурного фактора рiдкого 4Не, визначеного методом непру-

жного розсiяння нейтронiв, тобто вимiрюванням двiчi диференцiального перерiзу розсiяння, нагадує розширений профiль спектральної лiнiї атома (див. §63). Експериментальнi профiлi динамiчного структурного фактора моделюють, як правило, ґауссiвською або лоренцiвською кривою. Лоренцiвський характер такої кривої подiбний до оптичних дисперсiйних формул для показника заломлення та коефiцiєнта поглинання поблизу резонансних частот (див. §64), коли враховувати час життя квазiстацiонарних станiв квантовомеханiчних систем. Ґауссiвський характер контура динамiчного структурного фактора формують тепловi рухи атомiв. Тому в загальному випадку профiль величини S(q, ω) можна

зобразити згорткою лоренцiвського та ґауссiвського контурiв. На рис. 78 зображено визначений за положенням цих пiкiв

енерґетичний спектр рiдкого 4Не залежно вiд хвильового вектора q. Про цей спектр говорять як про спектр елементарних збуджень.

У дiлянцi малих значень хвильового вектора q збудження описують звуковi коливання, енерґiя яких Eq = ~qc, c швидкiсть звуку. Цi збудження називають фононами. Бiля точки q =

˚−1

q0 1.91 A енерґетичний спектр має характерний мiнiмум

1Докладну iнформацiю про сучасний стан цiєї проблеми можна знайти в:

А. П. Пасичный, ФЭЧАЯ 41, вып. 1, 197 (2010).

847

Рис. 78. Енерґетичний спектр рiдкого 4He.

8.6◦ K. Цi збудження називають ротонами. Назва по-

ходить вiд помилкового приписування їм вихрових рухiв у рiдинi. Насправдi механiзм утворення цiєї резонансної дiлянки спектра пов’язаний з iснуванням характерного для рiдин ближнього порядку: коли найближчi сусiди вибраного атома розташованi на вiдстанi, яка є порядку середньою мiжатомної вiдстанi a, i ста-

тичний структурний фактор має яскраво виражений пiк у точцi q q0 (див. рис. 51). У впорядкованих структурах, як ми бачили

на прикладi полiенового ланцюжка та кiльцевих органiчних молекул, енерґiя є пропорцiйною до cos qa i має характернi резонанси

при

qa = 2πn, n = 1, 2, 3, . . . ,

коли вона досягає мiнiмального нульового значення стосовно енерґiї основного стану. Перший такий резонансний мiнiмум на кривiй “енерґiя–iмпульс” для рiдкого 4He також повинен виникати в околi точки q0 = 2π/a. Однак, унаслiдок характерного для рiдини без-

ладу в розташуваннi атомiв, цей мiнiмум уже не дорiвнює нулевi. Це й спостерiгається в експериментi.

848

Зi збiльшенням хвильового вектора q ширина пiкiв динамiчно-

го структурного фактора збiльшується. Це ускладнює iдентифiкацiю положення їхнiх максимумiв, а починаючи з деяких значень q = qc, вона стає просто неможливою. Це означає, що час життя

таких квазiстацiонарних станiв є дуже малим. Сильне загасання цих станiв указує на те, що вони просто-напросто вiдсутнi, а таке квантове число, як хвильовий вектор, стає неадекватним для їх опису2.

Великий декремент загасання цих станiв зумовлений тим, що елементарнi збудження розпадаються на два i бiльше. Iмо-

вiрнiсть такого розпаду сильно зростає при пiдходi до значення ˚−1

qс 2.7 A , яке i є точкою закiнчення спектра. Головний внесок у цей механiзм дає ймовiрнiсть розпаду збуджень з енерґiєю 2Δ на два збудження з енерґiями i хвильовими векторами q = q0,

§ 109. Динамiчний структурний фактор

Динамiчний структурний фактор повнiстю визначається свої-

ми моментами

Z ∞

ωn = ωnS(q, ω)dω.

−∞

Як ми бачили, нульовий момент, коли n = 0, дорiвнює статичному структурному факторовi Sq. Неважко обчислити перший момент:

2Наведемо ще один приклад системи, у якiй, унаслiдок сильного загасання,

немає стацiонарних станiв. Келих зi звичайним вином, якщо ним цокатись, дзвенить через утворення в ньому стоячих хвиль, а келих iз шампанськимнi. Бульбашки в шампанському є резонаторами, у яких збуджуються вимушенi коливання. Оскiльки цi резонатори мають загасання i їх є багато, то енерґiя звукових хвиль сильно поглинається.

849

Зручно цей перший момент динамiчного структурного фактора записати як пiвсуму двох останнiх виразiв

850