Вакарчук І.О. Квантова механіка

другому етапi вимiряємо повний iмпульс p023 другої i третьої ча-

стинок. Пiсля цього стан системи трьох частинок буде описувати хвильова функцiя ψ′′(x1, x2, x3). Знайдемо тепер явний вигляд цiєї

функцiї.

Переходимо до обчислень. Для того щоб провести перший вимiр, тобто вимiряти координати другої i третьої частинок, ми повиннi насамперед хвильову функцiю початкового стану розкласти в ряд (у нашому випадку iнтеґрал) за власними функцiями вiдповiдних операторiв координат xˆ2 = x2 та xˆ3 = x3. Оскiльки цi

оператори ми беремо у власному, тобто координатному, зображеннi, то їхнi власнi функцiї є дельта-функцiями i отже, маємо:

Вимiрювання вiдстанi мiж другою i третьою частинками означає, що в цьому розкладi ми повиннi брати iнтеґрали за x′2, x′3 при умовi, що (x′2 − x′3) = x023. У результатi початковий стан системи

трьох частинок редукується до

тут стала C′ уведена для того, щоб забезпечити умову нормува-

ння зредукованої хвильової функцiї. Iнтеґрали, завдяки дельтафункцiям, беруться тут елементарно, i ми знаходимо, що

ψ′(x1, x2, x3) = C′δ(x2 − x3 − x0 )ψ 0 0 (x1, x2, x3).

23 x12,p12

Використаймо явний вигляд хвильової функцiї початкового стану i знайдемо, що

eip012x2/~

ψ′(x1, x2, x3) = C′ϕ(x3)δ(x2 − x3 − x023)δ(x1 − x2 − x012) √2π~

або, беручи до уваги властивостi дельта-функцiї, запишемо її так:

751

де введено позначення x013 = x012 + x023.

Переходимо до вимiрювання повного iмпульсу другої та третьої частинок. Знову ж для цього спочатку розкладаємо ψ′(x1, x2, x3) в ряди (насправдi iнтеґрали) за власними функцiями операторiв iмпульсiв pˆ2 та pˆ3, тобто за хвилями де Бройля:

Тепер згiдно з тим, що ми фiксуємо повний iмпульс значенням p023, то з цього розкладу залишаємо доданок, у якому p2 + p3 = p023. Тобто стан ψ′(x1, x2, x3) редукується до

ZZ

ψ′′(x1, x2, x3) = C′′ dp2 dp3δ(p2 + p3 − p023)

eip2x2/~ eip3x3/~

× √2π~ √2π~ C(p2, p3).

Сталу величину C′′ ми ввели в цей вираз, турбуючись про норму-

вання хвильової функцiї.

Пiдставимо у вираз для ψ′′(x1, x2, x3) функцiю C(p2, p3) з урахуванням явного вигляду функцiї ψ′(x1, x2, x3) i отримаємо:

752

При iнтеґруваннi в цiй формулi не виникає жодних труднощiв, оскiльки три дельта-функцiї знiмають iнтеґрування за x′2, x′3 i, наприклад, за p3, а iнтеґрал за p2, що залишається, дає дельта-

функцiю вiд просторових координат, i вже “на одному подиху” одержуємо:

×δ(x2 − x3 − x023).

753

Остаточно цей вираз переписуємо так:

eip023x3/~

ψ′′(x1, x2, x3) = eiα(x1)ϕ(x1 − x013)δ(x2 − x3 − x023) √2π~ ,

де фаза

α(x1) = p023(x012 + x023)/~ − p012x012/~ + x1(p012 − p023)/~,

причому для забезпечення нормування ми поклали C′′C′ = 2π~.

Ми отримали чудовий результат. Справдi, хвильова функцiя ψ′′ описує систему трьох частинок, iз яких друга i третя є сплу-

таною EPR “2–3”-парою, а стан першої частинки описується хвильовою функцiєю ϕ. Отже, в результатi проведення операцiї, що складаєтся з двох вимiрювань, стан ϕ (з точнiстю до фазового

множника) ми “перекинули”, тобто телепортували, з третьої частинки на першу. Причому, що важливо, ми “не торкались” першої частинки: вимiри виконували над другою i третьою частинками. Важливо також, що вiдстань до першої частинки вiд двох iнших може бути будь-якою за величиною. Наприклад, перша частинка може бути в околицi найяскравiшої зорi α в сузiр’ї Центавра, а

двi решта в лабораторiї на Землi.

Ми то “не торкались” першої частинки, але вона була в EPR “1–2”-парi, i зрозумiло, що завдяки саме цьому i стало можливим телепортування. Тобто перекидання стану ϕ вiдбулось якраз цим

квантовим каналом.

Оскiльки стан ϕ пiд час телепортування дещо спотворюється набiганням фазового множника зi змiнною фазою α(x1), то для точного вiдтворення хвильової функцiї ϕ нам потрiбно значення величин p012, p023 передати звичайним класичним каналом (уже

будь-якими засобами, наприклад, звичайною поштою) на першу частинку. Можна, звичайно, пiд час другого вимiру пiдiбрати p023 = p012 i ця проблема зникає (однак про це також потрiбно повiдомити). Що стосується сталої складової фази α(x1), то з нею,

зрозумiло, нiяких проблем немає. Пiдкреслимо, що класичний канал передачi iнформацiї завжди потрiбний, бодай для того, щоб повiдомити, що телепортацiя вiдбулась.

Отже, для експериментального спостереження явища квантової телепортацiї потрiбно спочатку мати в своєму розпорядженнi EPR “1–2”-пару, а пiзнiше всю винахiдливiсть спрямувати на реалiзацiю двох указаних вище вимiрювань.

754

На завершення декiлька слiв про фiзичну неможливiсть реалiзацiї класичної телепортацiї, тобто неможливiсть “перекидання” точних значень динамiчних змiнних, якi забезпечують класичний опис системи. Такими змiнними є, наприклад, узагальненi координати та канонiчно спряженi до них iмпульси. Отже, не торкаючись питання самого механiзму класичного телепортування, важливо те, що принцип невизначеностей Гайзенберґа не дозволяє одночасно знати точнi значення координат та iмпульсiв4. У результатi класичне телепортування дасть таке спотворення об’єкта, що годi й говорити, власне, про його телепортацiю.

§ 94. Спiновi стани системи частинок

При дослiдженнi атома гелiю, молекули водню та вивченнi хiмiчного зв’язку ми побачили, що спiновi стани вiдiграють винятково важливу роль. Проведемо тепер докладнiший аналiз цих станiв для систем частинок, що мають спiн ~/2, вже у зв’язку з iншим явищем, а саме, з так званою квантовою телепортацiєю.

Почнiмо iз системи двох частинок. Якщо в системi немає спiнових взаємодiй, то спiнова хвильова функцiя системи двох частинок дорiвнює добутковi спiнових функцiй окремих частинок. Можливими є чотири рiзнi стани з проекцiями повного спiну, рiвними ~, −~, 0, 0. Цi стани такi:

| ↑1i| ↑2i, | ↓1i| ↓2i, | ↑1i| ↓2i, | ↓1i| ↑2i,

iндекси бiля стрiлок указують номери частинок.

4Один iз можливих механiзмiв майстерно описав М. В. Гоголь: “ Змилуй-

ся, Вакуло! жалiбно простогнав чорт, все, що тобi потрiбно, все зроблю, вiдпусти лише душу на покаянiє: не клади на мене страшного хреста!

. . . Вже вези мене на собi! Чуєш, неси, як птах!

Куди? промовив сумний чорт.

В Петембурґ, прямо до царицi!

I коваль зомлiв вiд жаху, вiдчувши, що здiймається в повiтря...

. . . I коли цариця . . . почала розпитувати, як вони живуть на Сiчi, якi звичаї водяться, вiн, вiдiйшовши назад, нахилився до кишенi, сказав тихо: “Винось мене швидше!” i гульк опинився за шлаґбаумом.

Ще швидше решту ночi нiс чорт коваля назад. I раптом опинився Вакула бiля своєї хати. . . ”

М. В. Гоголь “Нiч перед Рiздвом” (1832 р.).

755

Iз цих станiв можна утворити чотири суперпозицiйнi стани, або так званi сплутанi стани Белла:

Вони є ортонормованими, в цьому легко пересвiдчитись, беручи до уваги умови ортонормованостi вихiдних станiв:

i аналогiчно для другої частинки.

У цих сплутаних станах напрямок спiну кожної з частинок є невизначеним. Однак мiж напрямками спiнiв обох частинок iснує квантова кореляцiя, яка не залежить вiд вiдстанi мiж ними. Якщо, наприклад у станi |Ψ−12i, вимiрювання проекцiї спiну першої ча-

стинки дає напрямок “спiн уверх”, то вимiрювання проекцiї спiну другої (яка може перебувати як завгодно далеко вiд першої) доконечно дасть результат “спiн униз”.

Мiрою сплутаностi є “вiдстань” суперпозицiйного стану двох частинок

ψs = a| ↑1i| ↓2i + b| ↓1i| ↑2i + c| ↑1i| ↑2i + d| ↓1i| ↓2i,

|a|2 + |b|2 + |c|2 + |d|2 = 1

вiд факторизованого стану

ψf = α| ↑1i + β| ↓1i γ| ↑2i + δ| ↓2i ,

|α|2 + |β|2 = 1, |γ|2 + |δ|2 = 1,

коли вони є незалежними. Легко перевiрити, що стани ψs та ψf збiгаються за умови, що αγ = c, αδ = a, βγ = b, βδ = d, тобто коли (ab − cd) = 0, оскiльки з перших двох рiвнянь маємо γ/δ = c/a, тодi як з решти двох випливає, що γ/δ = b/d. Отже, мiрою

756

сплутаностi станiв, тобто “вiдстанню” мiж ними, може слугувати величина |ab−cd|. Для розглянутих станiв |Ψ±12i, |Φ±12i ця величина

досягає максимального значення 1/2.

Вихiднi стани неважко переписати як суперпозицiю станiв

Важливо також зауважити, що стани |Ψ+12i, |Φ+12i, |Φ−12i є симетричними щодо перестановок номерiв частинок, а стан |Ψ−12i

антисиметричний.

Розгляньмо тепер систему трьох частинок, одна з яких, наприклад перша, перебуває в станi

|ϕi1 = a| ↑1i + b| ↓1i,

a = h↑1 |ϕi1, b = h↓1 |ϕi1,

|a|2 + |b|2 = 1,

а стан двох iнших описує хвильова функцiя

− 1

|Ψ23i = √ | ↑2i| ↓3i − | ↓2i| ↑3i .

2

Повна хвильова функцiя дорiвнює добутковi

|ψ123i = |Ψ−23i|ϕi1.

Поставимо тепер таке питання. Якщо ми переведемо першу й другу частинки в суперпозицiйний сплутаний стан |Ψ−12i, то у

якому станi перебуватиме третя частинка? На це ми знайдемо

757

вiдповiдь, якщо стан |ψ123i розкладемо за базисом |Ψ±12i, |Φ±12i,

що утворює повний набiр. Отже, маємо

|ψ123i = hΨ+12|ψ123i|Ψ+12i + hΨ−12|ψ123i|Ψ−12i

+ hΦ+12|ψ123i|Φ+12i + hΦ−12|ψ123i|Φ−12i.

Обчислимо проекцiї стану |ψ123i на вiдповiднi базиснi стани, ви-

користовуючи їх означення. Маємо

758

#

+ a| ↓3i − b| ↑3i |Φ+12i + a| ↓3i + b| ↑3i |Φ−12i .

Цей розклад, зрозумiло, можна знайти зовсiм просто

#

+b| ↓1i| ↑2i| ↓3i − b| ↓1i| ↓2i| ↑3i ,

i якщо, замiсть вихiдних станiв першої i другої частинки, пiдставити сюди їхнi вирази через |Ψ±12i, |Φ±12i, то зразу отримаємо

попередню формулу.

Тепер ми маємо вiдповiдь на наше запитання. А саме, згiдно з принципом суперпозицiї, множник бiля |Ψ−12i i визначає стан, у

якому перебуває третя частинка, якщо першi двi перебувають у сплутаному станi |Ψ−12i. Як бачимо, цей множник дорiвнює

−a| ↑3i − b| ↓3i = −|ϕi3 = eiπ|ϕi3

i, таким чином, третя частинка є у станi |ϕi; ми не беремо до уваги фазового множника (−) = eiπ.

Отже, маємо справу з квантовою телепортацiєю, яку ми описали в попередньому параграфi для хвильових функцiй з неперервними iндексами станiв. Справдi, якщо початковий спiновий стан

759

системи трьох частинок був приготовлений так, що друга i третя частинки перебували в сплутаному станi |Ψ−23i, а перша у станi |ϕi, то в результатi деякої спецiальної операцiї (або спецiального

вимiрювання), проведеної над першою i другою частинками, що переводить їх у стан |Ψ−12i, третя частинка опиниться у станi |ϕi. Тобто ми телепортували стан |ϕi з першої частинки на третю.

Як приклад обговоримо можливу телепортацiю електрона. При розщепленнi парапозитронiю (зв’язаного стану електрона i позитрона з сумарним спiном, рiвним нулевi), наприклад пiд дiєю пари фотонiв, виникає сплутана EPR “1–2”-пара “електрон плюс позитрон”. Якщо до цiєї пари долучити ще один електрон (нехай це частинка пiд номером три), який рухатиметься у станi “спiн уверх” (або “спiн униз”) назустрiч позитроновi, i якщо вони утворять парапозитронiй, то це означатиме, що позитрон захоплено у зв’язаний стан зi спiном униз (або вверх), а також що перший електрон раптом опинився також у станi “спiн уверх” (або “спiн униз”), хоча доти вiн не мав певного спiнового стану. Справдi, ми маємо вiдомостi лише щодо повного, рiвного нулевi, спiну початкового парапозитронiю, а не окремо про кожну з частинок iз цiєї сплутаної пари. Отже, спiновий стан електрона, що числиться в нас частинкою номер три, телепортується до першого, який утворився пiсля розпаду початкового парапозитронiю, i хтозна, на якiй великiй вiдстанi вiн перебуває вiд точки, де утворився новий парапозитронiй.

Якщо мова йде про експериментальне пiдтвердження явища квантової телепортацiї, то принциповими моментами є приготування сплутаного стану |Ψ−23i та мистецтво експериментатора “витягування” зi стану |ψ123i сплутаної складової |Ψ−12i. Як ми вже

зазначали, це вдалось зробити 1997 року на фотонах, частинках, якi також мають два можливi стани поляризацiї.

§ 95. Телепортацiя фотонiв

Обговоримо Iнсбрукський експеримент 1997 року з телепортацiї фотонiв, про який iшлося в попереднiх двох параграфах.

Оскiльки фотон має двi можливi поляризацiї, то вектор поляризацiї ek,α вiдiграє роль спiнової складової хвильової функцiї

фотона. Отже, ми знову маємо квантовомеханiчний об’єкт iз двома станами, тому всi результати i висновки для частинок зi спiном

760