Вакарчук І.О. Квантова механіка

що також завжди виконується. Перебираючи всi можливi випадки, переконуємось, що нерiвнiсть Белла для вибраної моделi має силу.

Вiзьмемо тепер до розгляду квантову модель. Нехай EPR-пара перебуває в синґлетному сплутаному станi

Величини

σ1(a) = (σˆ 1a), σ2(b) = (σˆ 2b),

де σˆ 1, σˆ2 матрицi Паулi, якi в одиницях ~/2 представляють спiни частинок. Власнi значення операторiв σ1(a) i σ2(b) також дорiвнюють (±1). Справдi,

i з секулярного рiвняння легко знаходимо, що власне значення дорiвнює (±|a|), а, за означенням, |a| = 1. Ще простiше можна це побачити, якщо вектор a спрямувати взовж осi z.

Тепер середнє

hσ1(a)σ2(b)i = hΨ−12|(ˆσ1a)(ˆσ2b)|Ψ−12i.

Розпишемо скалярнi добутки i обчислимо спочатку середнє вiд

#

−h↓1 |σˆ1x| ↑1ih↑2 |σˆ2y| ↓2i + h↓1 |σˆ1x| ↓1ih↑2 |σˆ2y| ↑2i .

781

Усi цi матричнi елементи матриць Паулi ми добре знаємо: перший i четвертий доданки дорiвнюють нулевi, оскiльки дiагональнi елементи дорiвнюють нулевi, а другий взаємно скорочується з третiм. У результатi середнє

hΨ−12|σˆ1xσˆ2y|Ψ−12i = 0.

Ми вибрали x- та y-компоненти, але всi вони є рiвноправними, i тому середнi вiд усiх мiшаних добуткiв дорiвнюють нулевi. Вiзьмемо тепер середнє вiд добуткiв з однаковими компонентами i виконаємо такi ж обчислення, наприклад:

hΨ−12|σˆ1xσˆ2x|Ψ−12i = −1,

а внаслiдок рiвноправностi yy- та zz-середнi також дорiвнюють (−1). Тепер очевидно, що наше вихiдне середнє (на вiдмiну вiд

класичного позначмо його штрихом) зводиться до скалярного добутку:

K′(ϕab) = hσ1(a)σ2(b)i

= −(ab) = − cos ϕab.

Використовуючи цi результати, запишемо нерiвнiсть Белла в такому виглядi:

|(ab) + (ab′) + (a′b) − (a′b′)| ≤ 2

або, зважаючи на те, що a та b є одиничними векторами, маємо,

що

| cos ϕab + cos ϕab′ + cos ϕa′b − cos ϕa′b′ | ≤ 2,

де, як i в попередньому прикладi, введено кути мiж вiдповiдними одиничними векторами.

У тому, що ця нерiвнiсть порушується для деяких розташувань векторiв, переконуємось на вiялi (a′, b, a, b′) з кутами в 45◦ мiж

ними:

cos ϕab + cos ϕab′ + cos ϕa′b − cos ϕa′b′

782

Для вiяла (b, a, b, a′), коли напрямки a i b збiгаються (a = b), а

кути

ϕaa′ = ϕab′ = ϕ i ϕa′b′ = 2ϕ,

лiва частина нерiвностi

|1 + 2 cos ϕ − cos 2ϕ| = |2 + 2(1 − cos ϕ) cos ϕ|.

Ця величина бiльша, нiж 2 для всiх кутiв, якi є меншими за π/2, 0 < ϕ < π/2. Тодi як як для класичного випадку лiва частина

нерiвностi для такого вiяла векторiв точно дорiвнює 2. Принагiдно зауважимо, що сплутанi стани |Ψ±12i, |Φ±12i називають також

станами Белла у зв’язку з тим, що вони максимально порушують нерiвностi Белла.

Звiдси робимо висновок, що для квантовомеханiчного усереднення нерiвнiсть Белла не має мiсця. А це, своєю чергою, говорить про те, що гiпотеза про iснування схованих параметрiв у квантовiй механiцi не справдилась.

Загалом кажучи, таке доведення вiдсутностi схованих параметрiв, на наш погляд, не є аж таким переконливим, оскiльки i без обчислень зрозумiло, що порушення нерiвностi Белла завдячує наявностi перехресних доданкiв при обчисленнi середнiх iз суперпозицiйною хвильовою функцiєю. Для хвильових функцiй, якi можна факторизувати щодо першої i другої частинок, нерiвнiсть Белла буде справджуватись. Саме перехреснi доданки i творять квантовомеханiчнi iнтерференцiйнi ефекти, що є чужими для класичної механiки. Тому запровадження класичного опису через схованi параметри з квантовомеханiчним усередненням iз суперпозицiйною хвильовою функцiєю не злiквiдовує iнтерференцiйних ефектiв. Резюмуючи, стверджуємо, що квантова механiка без схованих параметрiв є внутрiшньо несуперечливою теорiєю.

У зв’язку зi сказаним, можна навести таку аналогiю. Геометрiя Евклiда вистояла двi тисячi рокiв перед спробами вивести її п’ятий постулат про паралельнi прямi з чотирьох iнших. Тепер ми вже знаємо, що це неможливо. Однак цi спроби врештi-решт привели до створення К. Ф. Ґауссом, М. Лобачевським i Я. Больяї, незалежно один вiд одного, неевклiдової геометрiї, в якiй немає твердження про паралельнi прямi. Але й геометрiя Евклiда з її п’ятим постулатом виявилась внутрiшньо несуперечливою.

783

Г Л А В А XIII

РУХ ЧАСТИНКИ В ДЕФОРМОВАНОМУ ПРОСТОРI

§ 99. Деформованi дужки Пуассона

Проблема вивчення властивостей фiзичних систем у просторах iз деформованими дужками Пуассона, або просто у деформованому просторi, якої ми торкалися в §9, потребує особливого розгляду, оскiльки вона стосується фундаментальних засад механiки та вимагає додаткового аналiзу концепцiї спостережуваних величин i зiставлення їм операторiв, розвитку нових математичних методiв, зокрема i наближених, для розв’язку квантовомеханiчних задач, а також перегляду умов застосування квазiкласичного наближення.

Отже, мова йде про те, що звична нам канонiчна права частина дужок Пуассона для узагальнених координат Q та iмпульсiв P є

дещо змiненою так, що комутатор для вiдповiдних операторiв ˆ

Q

та ˆ в одновимiрному просторi дорiвнює

P

ˆ ˆ ~

[Q, P ] = i f,

де вiдповiдальна за деформацiю величина f є, взагалi кажучи,

просторi вона дорiвнює одиницi, f = 1. Деформацiю прийнято вважати незначною, тобто середнє значення f повинно не дуже вiдрiзнятись вiд одиницi. Це, мабуть, єдина умова на f, хоча мо-

жна вимагати її iнварiантностi щодо перетворень Галiлея чи у релятивiстському випадку iнварiантностi стосовно перетворень Лоренца. Однак цi умови не є обов’язковими ми можемо вибрати деяким способом вигляд деформацiйної функцiї в конкретнiй системi вiдлiку, в якiй i вивчаємо те чи iнше фiзичне явище. Тому що переставнi спiввiдношення є спотвореними, ми вже не можемо

785

надавати величинам, з якими зiставляємо оператори ˆ та ˆ, змi-

Q P

сту канонiчно спряжених узагальнених координат та iмпульсiв. Уперше деформованi комутацiйнi спiввiдношення дослiджува-

ли у зв’язку з iдеєю квантування простору. Можна пiдiйти до проблеми з деформацiєю дужок Пуассона i з чисто практичного боку при розв’язку задач на власнi значення та власнi функцiї операторiв. Якщо ми маємо гамiльтонiан у рiвняннi Шрединґера з потенцiалом, який не дозволяє знайти точного аналiтичного розв’язку задачi, то можна звести його до знайомого вигляду (наприклад, гамiльтонiана гармонiчного осцилятора), але через такi узагальненi координати та iмпульси, оператори яких уже не задовольняють алгебри Гайзенберґа. Переставнi спiввiдношення мiж цими операторами є, як кажуть, здеформованими. Такою процедурою ми переносимо “незручний” вигляд гамiльтонiана в деформацiю дужок Пуассона. Iнодi це дає змогу ефективнiше знаходити наближенi розв’язки рiвняння Шрединґера. Деякi деформацiйнi функцiї дозволяють такi “перекидання незручностей” iз гамiльтонiана на переставнi спiввiдношення трактувати як задачу, в якiй маса частинки залежить вiд координат (див. §9).

Можна зразу стартувати з “добрим” гамiльтонiаном, але з деформованими дужками Пуассона з деякою довiльною деформацiйною функцiєю, яка залежить як вiд координат, так i вiд iмпульсiв. Узагалi кажучи, ми вже не завжди зможемо просто зробити зворотний перехiд, тобто “перекинути” цю деформацiю до гамiльтонiана. Отже, такi задачi набувають самостiйного iнтересу, так само як i задачi про рух частинки з масою, що залежить вiд її координат. При цьому нас зустрiчає проблема взаємного розташування в кiнетичнiй енерґiї операторiв iмпульсiв та оберненої маси.

Розгляньмо конкретний вигляд деформацiйної функцiї f, який

має стосунок до проблеми квантування простору. Отже, нехай за-

Покажемо, що iснує мiнiмальне значення величини h( Q)2i, яке

786

доходимо висновку, що в такому просторi iснує квант довжини

що в такому “квантованому просторi” оператор Q не має власних

значень, згiдно з §9.

Насамкiнець розглянемо умову квантування Бора– Зоммерфельда у змiнних (Q, P ). Для канонiчно-спряжених

787

координат q та iмпульсiв p умову квантування записуємо через

площу, обмежену фазовою траєкторiєю (див. §30):

Z Z

dq dp = 2π~(n + ν),

n = 0, 1, 2, . . . , i величину ν визначають граничнi умови, 0 ≤ ν < 1. Перейдемо вiд канонiчних змiнних (q, p) до нових величин Q,

P , класична дужка Пуассона яких дорiвнює f:

то умова квантування Бора–Зоммерфельда у просторах iз деформованими дужками Пуассона є такою

Z Z

dQ dP = 2π~(n + ν), 0 ≤ ν < 1. f

Щодо умов застосовностi цього правила квантування, то вони потребують детальнiшого дослiдження, зокрема величина ν може залежати вiд параметрiв деформацiї, якi входять у функцiю f.

Приклад. Знайти оцiнку знизу енерґiї гармонiчного осцилятора з гамiльтонiаном

788

знаходимо нерiвнiсть:

Мiнiмiзує праву частину цiєї нерiвностi величина

i в результатi маємо, що

Отже, енерґiя основного стану гармонiчного осцилятора в просторах, де iснує мiнiмальна довжина, є вищою, нiж у звичайному просторi.

§ 100. Гармонiчний осцилятор у квантованому просторi

Розглянемо гармонiчний осцилятор iз гамiльтонiаном

у просторi з деформованими дужками Пуассона,

коли, як показано в попередньому параграфi, iснує мiнiмальна довжина ~√β. Знайдемо рiвнi енерґiї такої моделi.

Працюємо в iмпульсному зображеннi ( ˆ ) i вводимо нову

P = P

змiнну p таким спiввiдношенням:

h p i

= i~ 1 + tg2(p β) = i~(1 + βP 2)

789

Як бачимо, ми звели цю задачу до задачi з прикладу 1 до пара-

графа §23, якщо в ньому зробити такi замiни: x → p, m → 1/mω2,

√

a → 1/ β, U0 → 1/2mβ. Тому, використовуючи результат iз цього

прикладу, зразу виписуємо шуканi рiвнi енерґiї:

n = 0, 1, 2, . . . . Розкриваючи квадрат, переписуємо цей вираз так:

Вираз для енерґiї основного стану, n = 0, узгоджується з резуль-

татом, який ми отримали в прикладi до попереднього параграфа. Якщо деформацiя дужок Пуаcсона вiдсутня (β = 0), то маємо

звичайнi рiвнi енерґiї для гармонiчного осцилятора. Для великих значень параметра деформацiї β маємо En = βm~2ω2(n + 1)2/2, i залежнiсть рiвнiв енерґiї вiд квантового числа n є квадратичною,

як i для частинки, що рухається в прямокутнiй потенцiальнiй ямi з безмежно високими стiнками.

Приклад. Розрахувати рiвнi енерґiї гармонiчного осцилятора з деформацiєю f = 1 + βP 2 з умови квантування Бора–Зоммерфельда:

Z Z

dQ dP

1 + βP 2 = 2π~(n + ν),

P 2 + mω2Q2 = E.

2m 2

790