Вакарчук І.О. Квантова механіка

Потрiбний нам iнтеґрал

−2mE

√

пiсля замiни змiнної iнтеґрування, P = 2mE sin x, 0 ≤ x ≤ π/2, легко бере-

мо:

Тепер з умови квантування знаходимо рiвнi енерґiї:

При β = 0, як вiдомо, величина ν = 1/2, а при β 6= 0 ця величина, взагалi кажучи, є функцiєю β. Якщо вибрати

то ми отримаємо точний результат, наведений у текстi цього параграфа.

§ 101. Рух у центрально-симетричному полi в N-вимiрному

просторi з деформованою алґеброю Гайзенберґа

Розглянемо рух частинки в N-вимiрному просторi в силовому

полi з гамiльтонiаном

791

Фактично переставнi спiввiдношення мiж компонентами опе-

ратора ˆ та мiж компонентами операторiв ˆ та ˆ ми постулюємо,

Q Q P

а переставнi спiввiдношення мiж компонентами оператора ˆ є на-

P

слiдком тотожностi Якобi.

Задача полягає у знаходженнi власних значень виписаного вище гамiльтонiана. Вона є деяким узагальненням задачi, яку ми розглядали в §99.

У нашому випадку, якщо взяти деформацiйну функцiю

ˆ2 f = 1 + νQ ,

то в одновимiрному просторi (N = 1) приходимо до задачi з iснуванням мiнiмального значення середнього квадрата iмпульсу1. Справдi, зi спiввiдношень невизначенностей Гайзенберґа, ко-

1Iсторично склалось так, що позначення сталої ν в деформацiйнiй функцiї f, яка залежить вiд координат Q, збiгається з позначенням сталої ν, що

входить у формулу квазiкласичного квантування Бора–Зоммерфельда. Сподiваємось, що Читач розрiзнятимеме їх i дасть собi раду з цим “випадковим виродженням”.

792

Це означає, що для вiльної частинки (U = 0) iснує мiнiмальне

значення її кiнетичної енерґiї

Запишемо рiвняння на власнi значення енерґiї E,

ˆ

HΨ = EΨ,

використовуючи новi оператори pˆ = (ˆp1, . . . , pˆN ) i qˆ = (ˆq1, . . . , qˆN ),

якi введемо так:

ˆ = f−1/2 ˆ f−1/2,

p P

ˆ = ˆ . q Q

Цi оператори, як легко переконатись, задовольняють стандартнi комутацiйнi спiввiдношення:

[ˆqj, qˆk] = 0,

[ˆpj, pˆk] = 0,

[ˆqj, pˆk] = i~δjk.

Отже, рiвняння на власнi значення зводимо до такого:

Ми можемо його iнтерпретувати як рiвняння Шрединґера для частинки, що рухається в полi силового центра в середовищi, у якому вона має ефективну масу, залежну вiд координати q, m → mf−2, iз симетризованим розташуванням некомутуючих величин в операторi кiнетичної енерґiї. Оператори q та pˆ, завдяки

793

комутацiйним спiввiдношенням, трактуємо як оператори канонiчно спряжених узагальнених координат та iмпульсiв.

Уведенням хвильової функцiї

Беручи до уваги, що функцiя f залежить лише вiд довжини вектора q, розпишемо це рiвняння в явному виглядi:

Далi внаслiдок центральної симетрiї нашої задачi, роздiляємо кутовi й радiальну змiннi, як це детально зроблено в §44, i отримуємо рiвняння для радiальної хвильової функцiї R(q), яке пiсля

пiдстановки

R(q) = q− N2−1 f1/2χ,

794

для нової функцiї χ набирає вигляду:

причому 0 ≤ q < ∞, а нова змiнна x визначена спiввiдношенням dx = dq/f.

Зауважимо, що рiвняння для функцiї χ можна було написати й

напрямок, що й q, а його довжина x визначена попереднiм спiввiдношенням. Функцiя f може бути як додатною, так i вiд’ємною, оскiльки рiвняння є iнварiантним щодо замiни f на (−f). Нагадаємо також, що при N = 1 величина l = 0, 1.

NN

причому штрихованi величини q′ та x′ зв’язанi мiж собою тим самим рiвнянням, що й нештрихованi, з функцiєю f = f(q′).

Надалi для зручностi запису штрихи з нових змiнних знiмаємо: q′ → q, x′ → x. У результатi наше рiвняння набирає такого вигля-

ду:

795

де функцiю q = q(x) ≥ 0 визначаємо згiдно зi спiввiдношеннями мiж x та f:

стала величина визначає межi областi змiни x.

Отже, ми звели вихiдну задачу на власнi значення з вихiдним гамiльтонiаном до одновимiрного рiвняння Шрединґера з ефективним потенцiалом w(x), залежним вiд змiнної x через величину q = q(x). Причому другий доданок у ефективному потенцiалiце “спотворений” функцiєю f вiдцентровий потенцiал, який дорiвнює нулевi при N = 1, а останнiй доданок, що також зникає в

одновимiрному просторi, дає внесок до потенцiальної енерґiї частинки, унаслiдок своєрiдних комутацiйних спiввiдношень.

Для деяких класiв потенцiалiв та деформацiйних функцiй рiвняння для функцiї χ допускає точний аналiтичний розв’язок. У

тих випадках, коли це неможливо, це рiвняння дозволяє розв’я- зувати його методом теорiї збурень за степенями 1/N. Докладно

такий пiдхiд описано в §47, де знайдено явний вигляд поправок для власних значень енерґiй.

На завершення розглянемо гармонiчний осцилятор iз деформацiєю. Отже, нехай потенцiальна енерґiя

U= mω2q2/2,

афункцiю f виберемо у виглядi

f(q) = 1 + νNq2.

При ν = 0 приходимо до звичайного N-вимiрного гармонiчного осцилятора з частотою ω.

796

Пiдстановка цього виразу в рiвняння для w(x) приводить нас пi-

сля елементарних перетворень до такого ефективного потенцiалу:

Цей розв’язок при N = 1, зрозумiло, збiгається для квантових чисел n = 2nr + l, l = 0, 1 з тим, який ми отримали в §100 для гармонiчного осцилятора при очевидних замiнах: ν на β, а також 1/m на mω2 i навпаки. Цiкаво також, що завдяки тому, що f 6= 1

дискретний спектр для енерґiї iснує i для “вiльної” частинки, коли потенцiальна енерґiя U дорiвнює нулевi, ω = 0.

Приклад 1. Логарифмiчний потенцiал

Розгляньмо модельну задачу з логарифмiчним потенцiалом:

797

з деформацiйною функцiю f

√

f = qν N,

U0, q0 сталi величини. З рiвняння, яке зв’язує q з x, у нашому випадку

Сталу iнтеґрування тут пiдiбрано так, щоб q = q0 при x = 0, причому змiнна x набуває всi значення з дiйсної осi: −∞ < x < ∞.

Iз виразу для ефективного потенцiалу маємо:

w(x) = U0ν2x2 + ~2ν2 8mN

×[(N + 2l − 1)(N + 2l − 3) + 2(N − 1)] .

Iз цим потенцiалом рiвняння на власнi значення зводиться до задачi про гар- p

монiчний осцилятор iз частотою ν 2U0/m . Отже, власнi значення енерґiї

n= 0, 1, 2, . . . .

Приклад 2. Лiнiйний потенцiал

Розгляньмо ще одну модельну систему з потенцiалом, лiнiйним за q

з екзотичною деформацiєю

f = −νNq2,

причому µ > 0, ν > 0. Тепер змiнна

798

Як бачимо, тепер задача обчислення власних значень енерґiї з рiвняння зводиться до кулонiвської i в результатi легко знаходимо

n= 0, 1, 2, . . .

§102. Атом водню в деформованому просторi

Обчислимо спектр власних значень енерґiї для частинки, яка рухається в силовому полi кулонiвського потенцiалу

√

f(q) = 1 + ν Nq.

Використовуючи загальнi результати теорiї з попереднього параграфа знаходимо ефективний потенцiал:

799

в ефективний потенцiал знаходимо:

Радiальне рiвняння з таким потенцiалом має точний розв’язок

(див. Приклад 3 з §23):

,

+4m e2 + ~2ν l (l + 1) + N − 1

~2ν 2m 2

за умови B > A2, радiальне квантове число nr = 0, 1, 2 . . . .

Остаточно маємо для спектра:

+ν e2 + ~2ν l (l + 1) + N − 1 ,

2 2m 2

де n = nr + l + 1 = nr + l + (N − 1)/2 головне квантове число.

Причому зв’язанi стани iснують за умови, що

e2 − ~2ν (N − 1) > ~2ν (l + 1)(2l + 1). 4m 2m

800