Вакарчук І.О. Квантова механіка

доданку дає 1/3, то

hV (r + δˆr)i = V (r) + 16 2V (r)h(δˆr)2i.

Таким чином, маємо радiацiйну добавку до гамiльтонiана

Отже, ми можемо розкласти за вiдповiдними гармонiками й оператор δˆr:

631

Середнi вiд операторiв породження i знищення фотонiв нам добре вiдомi:

де hNk,αi = 0 середня кiлькiсть фотонiв у вакуумному станi

поля. За допомогою цих рiвнянь легко знаходимо середнє квадратичне

h(δˆr)2i = X 2π~e2 . m2ω3V

k,α k

Перейдiмо вiд пiдсумовування до iнтеґрування:

двiйку дає сума за поляризацiями. Переходимо до сферичної системи координат i до нової змiнної iнтеґрування ωk = kc:

h(δˆr)2i = Z ∞ dωk . πm2c3 0 ωk

Цей iнтеґрал розбiгається як на верхнiй, так i на нижнiй межах. Ми мусимо обмежитись у нашому наближеному пiдходi розглядом частот, що є меншими вiд порогової частоти ~ωmax = 2mc2, за якою “вмикаються” процеси народження електронно-

позитронних пар. Нижня частота дрижання електрона повинна бути бiльшою, нiж його частота обертання навколо ядра ~ωmin = me4/2~2. Тому, обрiзаючи цими частотами межi iнтеґрування,

знаходимо

Отже, радiацiйна поправка до оператора

632

Iз цього виразу видно, що ряди теорiї збурень за параметром 1/c в релятивiстськiй теорiї є складнiшими, нiж очiкувалось. По-

перше, ми одержуємо розбiжностi, уникнути яких аж нiяк не проста задача, що потребує значних зусиль. По-друге, отримуємо неаналiтичну залежнiсть енерґiї α3 ln α вiд константи взаємодiї α.

Рис. 63. Тонка та надтонка структури енерґетичних рiвнiв атома водню з урахуванням релятивiстських поправок.

Бачимо також, що вiдбувається зсув енерґетичних рiвнiв лише для s-станiв i вiн є додатним E > 0. Тому рiвнi s-станiв лежать

вище, нiж дає формула тонкої структури. Таким чином, маємо розщеплення рiвнiв енерґiї, наприклад, 2s1/2- та 2p1/2-станiв, яке

633

й дорiвнює E-розщепленню (див. рис. 63). Це теоретично роз-

раховане значення розщеплення чудово збiгається з експериментально вимiряною величиною, якщо ще врахувати поправки, яких ми тут не брали до уваги.

Цiкаво, що до середини 1960-х рокiв експериментатори, якi вимiряли лембiвське змiщення з надзвичайно високою точнiстю до 11 значущих цифр, докоряли фiзикам-теоретикам, що вони спромоглися лише на 6 значущих цифр. Однак ця “неузгодженiсть” виникла з неточностi фундаментальних сталих. Пiсля вiдкриття Б. Д. Джозефсоном ефекту, що має його iм’я, вдалось точнiше вимiряти вiдношення e/~ з рiвняння для частоти ґенерацiї джо-

зефсонiвського контакту. З урахуванням цього теорiя збiглася з експериментом з точнiстю до всiх значущих цифр. Отже, неузгодженiсть виникла з вини експериментаторiв, якi подавали для фундаментальних констант недостатньо точнi значення.

Вiдступ. Стала тонкої структури

У природi ми зустрiчаємось з рiзними фундаментальними константами: швидкiсть свiтла c, заряд електрона e, маса електрона me, стала Планка ~, ґравiтацiйна стала G i т. п. Вони є розмiрними величинами, i їхнi значення

залежать вiд того, в якiй системi одиниць ми працюємо. Можна, однак, з них утворити безрозмiрнi величини, якi будуть однаковими в усiх системах одиниць. Однiєю з таких фундаментальних величин є стала тонкої структури α = e2/~c. Упродовж усього курсу ми неодноразово мали з нею справу. Вона

визначає силу електромагнiтних взаємодiй i називається також константою зв’язку електромагнiтних взаємодiй.

Чисельно константа зв’язку α 1/137, тобто є достатньо малою для того,

щоб будувати за нею теорiю збурень. Саме в цьому i є причина тих великих успiхiв квантової електродинамiки, якщо не звертати увагу на деяке незадоволення через необхiднiсть компенсувати безмежностi, що виникають у теорiї, шляхом перенормування маси та заряду електрона. Труднощi теорiї сильних взаємодiй, яка є далекою вiд завершення, спричиненi власне тим, що вiдповiдна константа зв’язку g2/~c 10, тобто не є малою. Виникає запитання: Чому α чисельно дорiвнює саме такому значенню, а не iншому?

Були неодноразовi спроби “сконструювати” величину α з таких чисел,

як π, √2, основа натуральних логарифмiв e, . . . Привабливою є iдея цiлочисельностi 1/α. Наприклад, А. С. Еддiнґтон (1882–1944) запропонував рiв-

няння: 1/α = 1 + n2(n2 + 1)/2 = 137, коли n = 4. Число n дорiвнює чоти-

рьом, можливо, тому, що простiр Мiнковського є чотиривимiрним? Насправдi

α = 0.0072973525698(±24), а 1/α = 137.035999074(±44) i не дорiвнює точно 137. Ми говоримо про привабливiсть цiлого числа для 1/α, але мова йде про звичну систему числення. Можливо, 1/α цiле число, але в iншiй системi числення, де цiлим числом є, скажiмо, π або √π, . . . Така гра в числа не дає

вiдповiдi на наше запитання.

634

Ми вже торкались питання про механiзм виникнення числа α при вивченнi ефекту Казимира. Там мова йшла про те, що значення α могло б ви-

значатись топологiєю поверхнi, яка охоплює простiр, де зосереджений заряд електрона. Можливо, що α та iншi знерозмiренi фундаментальнi сталi вини-

кають як власнi значення деякого оператора з рiвняння, яке описує “Все”. Одне з цих власних значень, а саме 1/137, й дало змогу створити той Свiт, у

якому ми живемо. Iншi власнi значення реалiзують iншi Свiти.

Щодо iнших фундаментальних констант, то у вiдступi до §29 ми вже обговорювали питання про прецизiйне налаштування мас елементарних частинок. Там ми мали бодай якiсь натяки на те, чому вiдношення mp/me 1836.

Цiкавим є i таке питання: А може, фундаментальнi константи не є справжнiми сталими величинами, а залежать вiд часу? Скажiмо, П. А. М. Дiрак вважав на пiдставi гiпотези великих чисел, яку вiн увiв, що ґравiтацiйна стала G з часом зменшується, i цим пояснював спостережувану слабкiсть ґравiтацiйних взаємодiй. Адже за приблизно 15 · 109 рокiв iснування Всесвiту вони

мали достатньо часу, щоб настiльки зменшитись.

Сучаснi витонченi експериментальнi вимiрювання рiзницi вiдстаней мiж спектральними лiнiями атомiв, створених кiлька мiльярдiв рокiв тому в газоподiбних околицях молодих галактик, розташованих мiж квазарами (свiтло, вiд яких i поглинають цi газовi хмари), i Землею та вiдстаней мiж цими ж лiнiями атомiв, що створенi в лабораторiї, не дають упевнено однозначної вiдповiдi щодо можливої змiни величини α з часом. У 2010 роцi виявлено можливу просторову анiзотропiю сталої тонкої структури10.

§ 78. Точний розв’язок рiвняння Дiрака

для кулонiвського потенцiалу

Ми вже вели мову про те, що, залишаючись у межах квантової механiки, тобто не враховуючи радiацiйних поправок, можна претендувати на опис релятивiстських ефектiв лише з точнiстю до 1/c2 включно. У попереднiх параграфах детально було дослiджено поправки 1/c2 в рiвняннi Дiрака. Певний iнтерес стано-

вить також його точний розв’язок для кулонiвського потенцiалу, до знаходження якого ми i переходимо.

Запишемо рiвняння Дiрака для електрона в полi атомного ядра,

ˆ ˆ 2 ˆ − e2

(αp)c + mc β r ψ = Eψ,

10J. K. Webb, J. A. King, M. T. Murphy, V. V. Flambaum, R. F. Carswell, M. B. Bainbridge, Phys. Rev. Lett. 107, 191101 (2011); preprint astrohp/1008.3907.

635

i введемо нову функцiю ¯ таким спiввiдношенням:

ψ

ˆ ˆ 2 ˆ e2 ¯

ψ = (αp)c + mc β + E + r ψ.

Для нової функцiї рiвняння є таким:

ˆ ˆ 2 ˆ − e2 ˆ ˆ 2 ˆ e2 ¯

(αp)c + mc β E + r (αp)c + mc β + E + r ψ = 0,

Розкриваючи квадрати, обчислюючи комутатори, подiлимо все рiвняння на 2mc2 i знайдемо

Перейдемо до сферичних координат (r, ϑ, ϕ), як це зроблено в не-

релятивiстськiй теорiї атома водню:

ничний вектор n = r/r залежать лише вiд кутових змiнних. Як бачимо, рiвняння допускає роздiлення кутових змiнних (ϑ, ϕ) i радiальної змiнної r.

Це рiвняння формально можна звести до нерелятивiстської задачi про атом водню, якщо вдало перетворити в ньому оператор вiдцентрової енерґiї 1/r2. Для того щоб це зробити, займемось

спочатку нескладними вправами з операторної алґебри. Почнiмо

636

або, використовуючи переставнi спiввiдношення для компонент

оператора ˆ , [ ˆ ˆ ] = i~ ˆ , знаходимо:

L L L L

(σˆ ˆ )2 = ˆ 2 − ~(σˆ ˆ ),

L L L

тобто

ˆ 2 = (σˆ ˆ )[(σˆ ˆ ) + ~].

L L L

Тепер чисельник оператора вiдцентрової енерґiї в рiвняннi Дiрака дорiвнює

637

Як бачимо, цей вираз точно збiгається з чисельником оператора вiдцентрової енерґiї i рiвняння Дiрака набирає вигляду:

З математичної точки зору, це рiвняння вже нагадує нерелятивiстське рiвняння Шрединґера. Залишилось знайти власнi зна-

чення оператора ˆ. З цiєю метою повертаємось до оператора ˆ2 i

Λ Λ

оскiльки

638

ми власними значеннями знаходимо власнi значення оператора

Звертаємо увагу на те, що оператор квадрата моменту кiлькостi руху не є iнтеґралом руху для гамiльтонiана Дiрака, але це не

заважає використати його для обчислення власних значень ˆ2.

Λ

Для верхнього знака в j

Λ2 = ~2(l + 1)2 − e4 = ~2[(l + 1)2 − α2], c2

для нижнього

Λ2 = ~2l2 − e4 = ~2[l2 − α2],

c2

α = e2/~c стала тонкої структури. При цьому пам’ятаємо, що

власною функцiєю кутової частини оператора вiдцентрової енерґiї

є сферичний спiнор, який ми вивчали в §74. Хвильова функцiя ¯

ψ

є добутком сферичного спiнора на радiальну функцiю.

639

Так що тепер можемо записати таку рiвнiсть:

Λ(Λ + ~) = ~2l (l + 1),

де ефективне квантове число

q

l = (j + 1/2)2 − α2 − 12 12,

причому знаки вибрано так, щоб при α = 0, l = l.

Тепер радiальне рiвняння Дiрака, замiнивши оператор ˆ на

Λ

його власнi значення, записуємо так:

Це рiвняння формально збiгається з нерелятивiстським радiальним рiвнянням Шрединґера для атома водню. Тому вже й справдi “з руками в кишенях” з формули Бора

(nr = 0, 1, 2, . . . радiальне квантове число) знаходимо просте

квадратне рiвняння на визначення спектра енерґiї:

640