Вакарчук І.О. Квантова механіка

мiж собою, i їх властивостi визначає гамiльтонiан ˆ ′ . Урахуван-

H0

ня в гамiльтонiанi ˆ ′ ангармонiчного збурення ˆ ′ приводить до

H0 H

розсiяння квазiчастинок мiж собою та їх розпаду, внаслiдок чого

вони мають скiнченну тривалiсть життя. Iнтенсивнiсть цих процесiв визначає, як довго “живуть” квазiчастинки, тобто настiльки добре визначеними є елементарнi збудження i отже, настiльки адекватним є зiставлення з квантовою рiдиною такої моделi газу квазiчастинок. У випадку квантування вiльного електромагнiтного поля таке зiставлення полю системи невзаємодiючих фотонiв є адекватним, оскiльки гамiльтонiан поля точно зображується гамiльтонiаном для безмежної сукупностi невзаємодiючих мiж собою лiнiйних гармонiчних осциляторiв.

Тепер енерґiю для довiльного стану можна записати так:

X

E...,nk,... = E0 + ~ωknk, k6=0

де головне квантове число nk = nck + nsk. Як бачимо, маємо ви-

родження станiв, оскiльки енерґiя залежить вiд суми квантових

741

Щоб завершити наш розв’язок, випишемо ще знайдену вище в цьому наближеннi вагову функцiю J:

J = Ce− 21 Pk6=0 ρkρ−k .

Сталу C знаходимо з умови нормування для J:

Оскiльки у своїх розрахунках ми завжди розводимо межi об’єму, у якому перебуває дослiджувана система, на безмежнiсть, то й кiлькiсть частинок N необхiдно спрямувати до безмежностi так, щоб зберегти сталою густину ρ = N/V (так званий термодинамi-

чний граничний перехiд),

V → ∞, N → ∞, ρ = N/V = const.

Отже, iнтеґрування за ρc та ρs вiдбувається фактично в безме-

k k √

жних межах i кожен iнтеґрал тут дорiвнює π. Тому

C = V N Y′ 1 ,

k6=0 π

авагова функцiя остаточно

J = V N Y′ 1 e− 12 Pk6=0 ρkρ−k .

k6=0 π

Тепер ми можемо виписати й вихiдну хвильову функцiю основного стану

742

При вiдсутностi взаємодiї мiж частинками νk = 0, αk = 1 ми при-

яка вiдповiдає тiй же енерґiї збудження Eq = ~ωq. Iз умови нор-

мування Z Z

dr1 . . . drN |ψ|2 = 1

знаходимо

αqhρqρ−qi = 1,

де кутовi дужки означають усереднення за основним станом iз функцiєю ψ0. Звiдси знаходимо структурний фактор багатобозон-

ної системи, яка перебуває в основному станi:

1

Sq = hρqρ−qi = αq .

Отже, хвильова функцiя збудженого стану

1

ψ = pSq ρ−qψ0,

а енерґетичний спектр збуджень

Eq = ~ωq = ~2q2/2mSq.

Саме таку хвильову функцiю й вiдповiдну енерґiю ми знайшли iншим методом для рiдкого 4He в Прикладi 3 до § 81.

743

Зауважимо, що ми могли б зразу працювати з лiнiйними комбiнацiями хвильових функцiй, запровадивши оператори:

Далi обчислювати можна мовою нових операторiв i за стандартною схемою знаходити хвильову функцiю основного та збуджених станiв, причому зв’язок мiж “новими” i “старими” хвильовими функцiями встановлює так звана теорема додавання для полiномiв Ермiта, яку доводимо шляхом розкриття nk-ого степеня опе-

Дослiдимо енерґетичний спектр квантової рiдини Eq. Для малих значень хвильового вектора q, як видно з формули для αq,

Тому енерґетичний спектр у цiй межi є лiнiйним за q i вiдповiдає

поширенню звукових хвиль у рiдинi:

Eq = ~cq,

744

де швидкiсть звуку

r

Цю дiлянку спектра називають фононною. Структурний фактор у цiй довгохвильовiй межi, тобто при малих значеннях хвильового вектора,

Для великих значень хвильових векторiв q коефiцiєнт Фур’є мiжчастинкової взаємодiї νq → 0, тому αq → 1 i енерґетичний спектр стає квадратичним за q, Eq = ~2q2/2m, q → ∞. Для промiжних значень хвильового вектора q енерґiя Eq суттєво залежить вiд ха-

рактеру мiжчастинкової взаємодiї.

На завершення торкнемось питання механiзму виникнення явища надплинностi в бозе-рiдинi. Оскiльки величина αq, яка визначає поведiнку хвильової функцiї основного стану ψ0, при q → 0,

єобернено пропорцiйною до q, то зворотне перетворення Фур’є

приводить до того, що показник в експонентi хвильової функцiї

єобернено пропорцiйним до квадрата вiдстаней мiж частинка-

ми, тобто на великих вiдстанях вiн 1/|ri − rj |2, |ri − rj | → ∞.

Отже, маємо слабке спадання логарифма хвильової функцiї при розведеннi частинок на великi взаємнi вiдстанi, тобто кореляцiї мiж ними є далекодiючими й атоми рiдини перебувають у сильноскорельованому станi, що, врештi-решт, i є причиною виникнення явища надплинностi. Якщо рiдина рухається крiзь капiляр iз невеликою швидкiстю, то енерґiя її взаємодiї зi стiнками капiляра є замалою, щоб перекинути рiдину як цiле (а не окремi атоми саме внаслiдок їхньої сильної скорельованостi) у збуджений квантовий стан, народивши за рахунок енерґiї її поступального

руху елементарне збудження з енерґiєю ~ωq. Тому рух рiдин не

сповiльнюється. При нагрiваннi рiдини ця скорельованiсть руйнується i надплиннiсть при деякiй температурi зникає. Насправдi цi нашi якiснi мiркування потребують тоншого аналiзу, оскiльки енерґетичний спектр макроскопiчної системи є квазiнеперервним i при V → ∞ вiдстань мiж рiвнями прямує до нуля i спектр

стає неперервним. Тому, здавалось би, будь-яке невелике збурення переведе систему в збуджений стан. Однак для неперервного

745

Г Л А В А XII

ОСНОВИ КВАНТОВОЇ IНФОРМАЦIЇ

§ 92. Сплутанi EPR-стани

Квантова iнформацiя це наука, яка вивчає способи збереження, переробки та передачi iнформацiї з використанням квантових законiв i явищ. Головним при цьому є використання так званих сплутаних квантових станiв, коли, скажiмо, в системi з двох частинок їхнi одночастинковi стани є сильно скорельованими, як наприклад, спiновi стани двох електронiв у парагелiї (див. §82). Особливу увагу такi стани привернули до себе через так званий парадокс Айнштайна–Подольського–Розена, який ми розглянули в §4.

Нагадаємо, що в цьому парадоксi мова йде про систему двох частинок iз вiдомими повним їхнiм iмпульсом i вiдстанню мiж ними. Поставимо завдання знайти хвильову функцiю такої, як її називають, EPR-пари частинок у координатному зображеннi. Для простоти розглянемо одновимiрний випадок.

Отже, в одновимiрному просторi потрiбно знайти власну функцiю операторiв сумарного iмпульсу системи двох частинок pˆ = pˆ1 +pˆ2 та рiзницi їхнiх координат xˆ = xˆ1 −xˆ2, що описує EPR-пару

в парадоксi Айнштайна–Подольського–Розена. Оператори xˆ та pˆ комутують мiж собою,

[ˆx, pˆ] = [ˆx1 − xˆ2, pˆ1 + pˆ2] = [ˆx1, pˆ1] + [ˆx1, pˆ2] − [ˆx2, pˆ1] − [ˆx2, pˆ2]

=i~ + 0 − 0 − i~ = 0,

i отже, мають спiльну систему власних функцiй:

(ˆx1 − xˆ2)ψ(x1, x2) = x012ψ(x1, x2),

(ˆp1 + pˆ2)ψ(x1, x2) = p012ψ(x1, x2),

747

де x012 та p012 неперервнi власнi значення фiксують можливi вiд-

станi мiж частинками та їхнiй повний iмпульс.

Iз першого рiвняння бачимо, що ψ(x1, x2) δ(x1 − x2 − x012), а оскiльки дiя оператора pˆ на цю дельта-функцiю дорiвнює нулевi

i з другого рiвняння системи випливає ψ(x1, x2) eip012x2/~, то

загальний розв’язок такий:

ψx012,p012 (x1, x2) = Cδ(x1 − x2 − x012)eip012x2/~

C стала нормування. Пiдставляємо цей вираз в умову норму-

вання

Z Z

=δ(x012′ − x012)δ(p012′ − p012),

i знаходимо сталу C:

ZZ

= |C|22π~δ(p012′ − p012)δ(x012′ − x012).

√

Отже, з точнiстю до фазового множника стала C = 1/ 2π~. Оста-

точно хвильова функцiя EPR-сплутаної пари є такою:

Iз точнiстю до сталого фазового множника цей вираз, завдяки

δ-функцiї i беручи до уваги, що p012 = p021, а x012 = −x021, можна

записати i в явно симетричному виглядi.

Отже, ми отримали хвильову функцiю, яка описує стан iз точним значенням рiзницi координат та сумарного iмпульсу частинок, однак нi координата, нi iмпульс кожної з частинок не мають

частинки, якої “не торкаються” це розв’язує EPR-парадокс. Як бачимо, нашi двi частинки є, i справдi, сплутанi мiж собою.

748

Е. Шрединґер придумав для таких хвильових функцiй дуже популярну тепер назву “сплутанi” стани (з нiмецької “Versсhr¨ankung”,

аанглiйською це переклали як “entanglement”).

Унаступному параграфi ми використаємо знайдену тут хвильову функцiю EPR-пари для побудови теорiї явища квантової телепортацiї.

Приклад. EPR-стани в дiракiвському формалiзмi. Вигляд хвильової функцiї EPR-стану з цього параграфа дозволяє записати її так:

|x012, p012i = e−ipˆ1xˆ2/~|x012i1|p012i2,

нижнi iндекси кет-векторiв указують на їхню належнiсть до першої або другої частинки.

Справдi, у координатному зображеннi, за означенням, маємо:

hx1, x2|x012, p012i = hx1|e−ipˆ1x2/~|x012ihx2|p012i,

оскiльки у власному зображеннi оператор координати є звичайним числом

xˆ2 = x2.

Матричний елемент обчислюємо, використовуючи iмпульсне зображення, у якому оператор pˆ1 є операторомZмноження:

hx1|e−ipˆ1x2/~|x012i = dp1hx1|p1ie−ip1x2/~hp1|x012i

= δ(x1 − x2 − x012) = hx1 − x2|x012i.

Отже, маємо

hx1, x2|x012, p012i = hx1 − x2|x012ihx2|p012i

або у звичайних позначеннях

Цей вираз для хвильової функцiї в координатному зображеннi збiгається

зтим, що був знайдений в основному текстi цього параграфу.

§93. Квантова телепортацiя

У1997 роцi в Iнститутi експериментальної фiзики унiверси-

тету в Iнсбруцi (Австрiя) була експериментально реалiзована так звана квантова телепортацiя на фотонах1. Пiд телепортацiєю ро-

1Dik Bouwmeester, Jian-Wei Pan, Klaus Mattle, Manfred Eibl, Harald Weinfurter, and Anton Zeilinger, Nature (London) 390, 575 (1997).

749

зумiють зникнення деякого об’єкта в однiй точцi простору i виникнення його в iншiй2. Сама iдея була висловлена 1993 року3, ґрунтується вона на парадоксi Айнштайна–Подольського–Розена, про який iшлося в §4.

Автори iдеї у своїй першiй роботi “працювали” з частинками, що мають спiн ~/2, тобто з дискретними станами. Цi результати

легко переформулювати на фотони, для яких також є два можливi стани поляризацiї. Тут ми обговоримо iдею квантової телепортацiї, використовуючи стани з неперервними змiнними. Пiзнiше в нас буде можливiсть розглянути телепортацiю також i для дискретних станiв, де ми обговоримо i сам експеримент.

Розглянемо квантовомеханiчну систему, яка складається зi сплутаної EPR-пари двох частинок та невзаємодiючої з цiєю парою третьої частинки, що перебуває у станi ϕ. Хвильова функцiя

такої EPR-пари, знайдена в попередньому параграфi,

eip012x2/~

ψx0 ,p0 (x1, x2) = δ(x1 − x2 − x012) √ ,

12 12 2π~

описує скорельований стан двох частинок iз координатами x1 та x2, вiдстань мiж якими дорiвнює x012, а повний iмпульс дорiвнює p012. Будемо називати цi частинки EPR“1–2”-парою. Вважаємо, що хвильова функцiя ϕ = ϕ(x3) третьої частинки з координатою x3

нормована на одиницю. Хвильова функцiя всiєї системи трьох частинок дорiвнює добутковi:

ψx012,p012 (x1, x2, x3) = ϕ(x3)ψx012,p012 (x1, x2).

Вона нормована як звичайно для неперервних значень квантових чисел x012, p012 на дельта-функцiї.

Поставимо перед собою завдання телепортувати стан ϕ з тре-

тьої частинки на першу. З цiєю метою проведемо в нашiй системi двi операцiї вимiрювання. Спочатку вимiряємо й зафiксуємо вiдстань мiж другою та третьою частинками й позначимо її через x023. У результатi цiєї операцiї початковий стан нашої системи змiниться i її хвильова функцiя зредукується до ψ′(x1, x2, x3). На

2Телепортацiя: вiд грец. τ ηλε˜ далеко; вiд iтал. porto, portare носити,

переводити; зводити, доставляти, їхати; передавати; наносити; скеровувати. 3Charles H. Bennett, Gilles Brassard, Claude Cr´epeau, Richard Jozsa, Asher

Peres, and William K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993).

750