Вакарчук І.О. Квантова механіка
.pdf
|
X |
k2e−ikrj |
|
∂ |
|
|
|
X X |
(kk′) |
e−i(k+k′)rj |
|
∂2 |
|
|
||||||||||||||||||
= − |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
∂ρ |
|
|
|
|
|
|
∂ρ |
∂ρ |
|
||||||||||||||||||
k=0 |
|
N |
|
|
|
k=0 k′=0 |
N |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k′ |
|||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або, видiляючи члени з k + k′ |
= 0 окремо, знаходимо |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
X |
k2 |
|
|
|
|
∂ |
|
|
1 |
X |
k2 |
|
∂2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
e−ikrj |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ρk |
N k=0 |
∂ρk∂ρ−k |
|
|
|
|||||||||||||||||||
j |
|
− k=0 √N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
X X |
(kk′) |
e−i(k+k′)rj |
|
|
|
∂2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
k=0 k′=0 |
|
N |
|
∂ρk∂ρk′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+k′6=0
Пiдставляючи цей вираз у гамiльтонiан ˆ i беручи до уваги озна-
H
чення величини ρk, маємо:
Hˆ = |
X |
|
~2k2 |
ρk |
|
∂ |
|
− |
|
|
∂2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
k=0 2m |
∂ρk |
|
∂ρk∂ρ−k |
|
|||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X X |
~2(kk′) |
|
|
|
|
∂2 |
|
|
|
|||||||||||
+ |
|
|
2m√ |
|
ρk+k′ |
|
|
|
|
||||||||||||
k=0 k′=0 |
∂ρk∂ρk′ |
|
|
|
|||||||||||||||||
N |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
k+k′=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|||
+ |
|
N(N − 1) |
ν |
|
+ |
N |
|
ν |
(ρ ρ |
−k − |
1). |
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2V |
|
|
|
|
|
2V |
k6=0 |
k |
k |
|
|
Перше, що впадає тут у вiчi, це те, що гамiльтонiан у ρk-
представленнi є неермiтовим перший доданок у перших круглих дужках. Це й не дивно, оскiльки перехiд вiд декартових координат (r1, . . . , rN ) до змiнних ρk не є унiтарним. Це очевидно хоча б з того, що кiлькiсть декартових змiнних дорiвнює DN (D вимiрнiсть простору), а кiлькiсть ρk-змiнних є безмежною, тому що, як ми знаємо, кожна з компонент вектора k (який нумерує величини ρk) перебiгає безмежну кiлькiсть значень, кратних до 2π/L, LD = V . Отже, серед змiнних ρk є зайвi. Вивчимо докладнiше це
питання8.
8Уперше цей метод “зайвих змiнних” застосували до розв’язку рiвняння
Шрединґера М. Боголюбов i Д. Зубарєв у 1955 роцi (ЖЭТФ, 1955, 28, с. 129).
731
Насамперед, як видно з означення, змiннi ρk є комплексними
величинами:
ρk = ρck − iρsk,
|
|
|
|
N |
ρkc |
1 |
X |
||
= |
√ |
|
j=1 cos(krj), |
|
N |
||||
|
|
|
|
N |
ρks |
1 |
X |
||
= |
√ |
|
j=0 sin(krj ), |
|
N |
причому їхнi дiйснi та уявнi частини змiнюються в межах вiд |
|||||||||
|
√N) до √ |
|
. Далi, оскiльки маємо умову, що ρ = ρ |
|
k, тоб- |
||||
( |
N |
− |
|||||||
− |
c |
c |
|
s |
s |
k |
|
||
то |
ρk |
= ρ−k, |
ρk |
= −ρ−k, то змiннi з певним значенням iнде- |
|||||
ксу k |
збiгаються з точнiстю до знака зi змiнними, якi мають iн- |
декс (−k). Це означає, що потрiбно враховувати лише величини ρk з iндексами k з пiвпростору їх можливих значень. Але й цих змiнних забагато. Тому перехiд до ρk-представлення повинен вiдбуватись iз деякою ваговою функцiєю J, що залежить вiд величин ρk i ефективно зменшуватиме до потрiбного рiвня роль
“зайвих” змiнних ρ , зокрема зробить рiвними об’єми конфiгура-
Rk R
цiйного простору dr1 . . . drN = V N та ρk-простору:
V N = k=0′ |
√ |
|
|
dρkc |
|
√ |
|
|
|
||
Z N |
|
Z N dρks J, |
|||||||||
Y |
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
6 |
|
N |
|
− |
|
N |
|||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iнтеґрування тут вiдбувається за дiйсними й уявними частинами величин ρk, причому до уваги беремо лише пiвпростiр значень k, що й позначено штрихом над символом добутку за k. Можемо говорити про функцiю J як про якобiан переходу вiд сукупностi декартових координат (r1, . . . , rN ) до сукупностi ρk-змiнних. Хвильовi функцiї нашої системи ψ в ρk-представленнi також нор-
муються з вагою:
√√
k=0′ |
Z N |
dρkc |
Z N dρks J|ψ|2 = 1. |
||||
Y |
√ |
|
|
|
√ |
|
|
6 |
|
N |
− |
|
N |
||
− |
|
|
|
|
|
|
732
Уведемо тепер шрединґерiвськi хвильовi функцiї, якi нормуємо вже без вагової функцiї, тобто “справжнi” хвильовi функцiї
(див. § 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
√ |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ψ = ψ J, |
||||||||
k=0′ |
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
||||
Z N dρkc |
|
Z N dρks |ψ¯|2 = 1. |
|||||||||||
Y |
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
N |
− |
|
N |
||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для цих нових функцiй рiвняння Шрединґера,
HJˆ −1/2ψ¯ = EJ−1/2ψ,¯
пiсля множення злiва на J1/2 є таким:
ˆ ′ ¯ ¯
H ψ = Eψ,
де новий гамiльтонiан
Hˆ ′ = J1/2HJˆ −1/2
вже повинен бути ермiтовим у звичайному сенсi. Принагiдно зауважимо, що таку ж процедуру ермiтизацiї гамiльтонiана частинки у представленнi сферичних координат ми застосували в при-
кладi до §39, де знайдено гамiльтонiан ˆ ′ i попутно обчислено
H
якобiан переходу вiд декартових до сферичних координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
||||
Беручи до уваги ρk-представлення оператора H, простими пе- |
||||||||||||||||||||||
ретвореннями знаходимо явний вигляд гамiльтонiана Hˆ ′: |
||||||||||||||||||||||
Hˆ ′ |
|
X |
~2k2 |
|
∂2 |
|
1 ∂ ln J 1 ∂2 ln J |
|||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
ρk |
|
|
+ |
|
|
|
|
||
k=0 2m |
|
∂ρk∂ρ−k |
2 |
∂ρk |
2 |
∂ρk∂ρ−k |
||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
! |
X X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
− 4 ∂ρk |
∂ρ−k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
+ k=0 k′=0 2m√N′ ρk+k′ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 ∂ ln J ∂ ln J |
|
|
|
|
~2(kk ) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+k′=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
733
× |
" |
∂2 |
− |
1 ∂2 ln J |
|
|
1 ∂ ln J ∂ ln J |
# + Kˆ |
||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∂ρkρk′ |
2 |
∂ρk∂ρk′ |
|
4 ∂ρk ∂ρk′ |
||||||||||||||||||
+ |
|
N(N − 1) |
ν |
|
+ |
N |
X |
ν |
(ρ ρ |
−k − |
1), |
|
||||||||||
|
|
0 |
2V k6=0 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2V |
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
де неермiтова частина гамiльтонiана, яка породжена оператором кiнетичної енерґiї,
Kˆ |
X |
~2 |
"k2 |
ρk + |
∂ ln J |
|
1 |
|
X |
(kk′)ρk+k′ |
∂ ln J |
# |
∂ |
||||
= k=0 |
|
|
− |
√ |
|
|
|
|
. |
||||||||
2m |
∂ρ−k |
∂ρk′ |
∂ρk |
||||||||||||||
N |
k=0 |
||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+k′=0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||
Для того, щоб гамiльтонiан Hˆ ′ |
був ермiтовим, покладемо |
Kˆ = |
0 i звiдси знайдемо рiвняння, яке повинна задовольняти вагова функцiя J:
|
∂ ln J |
1 |
X |
(kk′) |
|
∂ ln J |
|
|||
ρk + |
|
− |
√ |
|
|
|
ρk+k′ |
|
= 0. |
|
∂ρ−k |
k′=0 |
k2 |
∂ρk′ |
|||||||
N |
||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
k+k′6=0
Разом iз виписаною вище умовою рiвностi об’ємiв конфiгурацiйного простору та ρk-простору (умова нормування для J) це рiвняння повнiстю визначає вагову функцiю J.
Знайдене рiвняння для ln J дає змогу значно спростити га-
мiльтонiан ˆ ′. Справдi, враховуємо в ˆ ′ другий i третiй доданки
H H
у квадратних дужках пiд знаком двох сум за k та k′ й виконуємо
простi вправи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X X |
~2(kk ) |
|
|
|
|
1 ∂ ln J ∂ ln J |
1 ∂2 ln J |
|||||||||||||||||||
|
2m√ |
′ |
|
ρk+k′ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|||||||||
k=0 k′=0 |
4 |
∂ρk |
∂ρk′ |
2 |
∂ρk∂ρk′ |
|||||||||||||||||||||
N |
|
|||||||||||||||||||||||||
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k+k′=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6 |
4 ∂ρk |
− 2 ∂ρk |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
X |
2m√N′ |
ρk+k′ ∂∂ρk′ |
|||||||||||||||||||||||
= k=0 |
k′=0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
∂ ln J |
1 |
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
~2(kk ) |
|
|
ln J |
||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+k′=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
734
X |
~2k2 |
|
|
1 ∂ ln J |
1 ∂ |
|
|
∂ ln J |
|
||||||||||||||
= k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
ρk + |
|
|
|
|
|
|
||||
2m |
4 |
∂ρk |
2 |
∂ρk |
∂ρ−k |
|
|||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
~2k2 |
1 ∂ ln J |
|
|
|
|
∂ ln J |
|
1 |
|
1 ∂2 ln J |
|
|||||||||||
= k=0 |
|
|
|
|
|
|
ρk + |
|
− |
|
− |
|
|
|
. |
||||||||
2m |
4 ∂ρk |
∂ρ−k |
2 |
2 |
∂ρkρ−k |
||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Друга рiвнiсть тут отримана завдяки рiвнянню для ln J. Пiдстав-
ляючи цей вираз у ˆ ′, бачимо, що багато доданкiв взаємно ско-
H
рочуються i в результатi:
Hˆ ′ = |
X |
|
~2k2 |
− |
|
|
∂2 |
|
|
|
|
1 ∂ ln J 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
ρk |
|
|
|
− |
|
||||||||
|
k |
|
2m |
∂ρk∂ρ−k |
4 |
∂ρk |
2 |
|||||||||||||||||
|
X X |
~2(kk′) |
|
|
|
|
∂2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
+ |
|
|
2m√ |
|
|
ρk+k′ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
k=0 k′=0 |
|
∂ρk∂ρk′ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
N |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
k+k′=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ |
|
N(N − 1) |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
−k − |
|
|
|
|||||||
|
ν |
|
+ |
|
|
|
ν |
(ρ ρ |
1). |
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2V |
|
|
|
|
2V |
k6=0 |
k |
|
k |
|
|
|
Будемо розв’язувати рiвняння для J методом послiдовних на-
ближень, формально приймаючи, що останнiй член у ньому iз сумою за k′ є пропорцiйним деякому малому параметровi. В ну-
льовому наближеннi маємо:
∂ ln J
ρk + ∂ρ−k = 0.
Звiдси, iнтеґруючи, одержуємо
1 X
ln J = ln C − 2 q=06 ρqρ−q,
Cстала, яку потрiбно знайти з умови нормування для J.
Унаступному наближеннi пiдставляємо цей вираз ln J в остан-
нiй доданок вихiдного рiвняння i знаходимо
|
∂ ln J |
1 |
X |
(kk′) |
|
|||
ρk + |
|
|
+ |
√ |
|
|
|
ρk+k′ ρ−k′ = 0. |
∂ρ |
|
|
k2 |
|||||
−k |
N |
k′=0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
k+k′6=0
735
Нехитрими перетвореннями легко показати, що останнiй доданок:
1 |
X |
(kk′) |
|
1 |
X X |
||||
√ |
|
|
|
ρk+k′ ρ−k′ = − |
√ |
|
|
|
ρq1 ρq2 . |
|
k2 |
|
|
||||||
N k′=0 |
|
|
=0 q2 |
||||||
|
|
|
2 N q1 |
=0 |
|||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
k+k′=0 |
|
|
|
|
q1+q2=k |
||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
Справдi, якщо в ньому зробити замiну змiнної пiдсумовування k′ на k′′ = −k − k′ i зауважити, що оскiльки (kk′)/k2 = −k(k + k′′)/k2 = −1−(kk′′)/k2, то вiн розпадається на два доданки, з яких
другий знову дорiвнює вихiдному виразу зi знаком мiнус. Звiдси (з перепозначеннями k′ = −q1, k′′ = −q2) i випливає виписана
рiвнiсть. Цього результату можна досягнути ще й так:
1 |
|
X |
(kk′) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
ρk+k′ |
ρ−k′ |
|
|
|
|||||||
|
k′=0 |
k2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
N |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
k+k′=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
X X |
(kq2) |
|
|
|
|||||||||
= − |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρq1 |
ρq2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
k2 |
|
|
|||||||||||
N q16=0 q26=0 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
q1+q2=k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
X X |
1 |
|
|
kq |
|
kq |
ρq1 ρq2 , |
||||||
= − |
√ |
|
|
|
( 1) |
|
+ |
( 2) |
||||||||||
q1=0 q2=0 2 |
k2 |
k2 |
||||||||||||||||
N |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q1+q2=k
перша рiвнiсть тут це очевиднi переозначення, а другу отримуємо як пiвсуму симетризованого за q1 та q2 виразу. Оскiльки квадратна дужка дорiвнює одиницi, внаслiдок того, що q1 + q2 = k,
то ми знову отримуємо попередню формулу. Пiдставляючи її в рiвняння для ln J та iнтеґруючи його, маємо:
|
1 |
X |
1 |
|
X X X |
|||
ln J = ln C − |
|
ρqρ−q + |
√ |
|
|
|
|
ρq1 ρq2 ρq3 . |
2 |
|
=0 q2 |
=0 q3 |
|||||
|
|
|||||||
|
|
q=0 |
2 · 3 N q1 |
=0 |
||||
|
|
6 |
|
|
|
6 |
6 |
6 |
|
|
|
|
|
q1+q2 |
+q3=0 |
736
Продовжуючи цей iтерацiйний процес iз використанням нашого симетризацiйного трюку, остаточно знаходимо9:
|
X |
|
|
|
( )n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
X |
|
|
|
||||||||||||||||
ln J = ln C + |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
√ |
|
|
|
n |
2 |
|
q1 |
=0 |
. . . |
|
ρq1 . . . ρqn . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n |
≥ |
2 n(n − 1)( N) − |
|
|
|
qn=0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q1+...+qn=0 |
|
|
|
|||||||
Якщо звiдси ln J пiдставити в останнiй вираз для гамiльтонi- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ана Hˆ ′, то остаточно знаходимо його явний вигляд: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Hˆ ′ = Hˆ0′ + Hˆ ′, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
де |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Hˆ0′ |
= |
|
~2k2 |
− |
|
|
∂2 |
|
+ |
|
1 |
ρkρ−k − |
|
1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
k=0 2m |
|
∂ρkρ−k |
|
4 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
+ |
|
N(N − 1) |
ν |
|
+ |
|
N |
|
ν |
(ρ ρ |
−k − |
1), |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2V |
|
|
|
|
|
|
2V |
k6=0 |
|
k |
k |
|
||||||||||||||
Hˆ ′ |
|
X X |
|
~2(kk′) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
|
2m√ |
|
|
ρk+k′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
k=0 k′=0 |
|
∂ρk∂ρk′ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
N |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+k′=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
X |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
+ |
n |
|
|
|
|
|
|
(−)√ |
|
|
n |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
≥ |
3 4n(n − 1)( |
|
|
N) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XX ~2
×k1=06 . . . kn=06 2m (k12 + . . . kn2 )ρk1 . . . ρkn .
k1+...+kn=0
Оператор ˆ ′ є, як ми й очiкували, гамiльтонiаном безмежної су-
H0
купностi незв’язаних мiж собою гармонiчних осциляторiв, якi опи-
сують коливання густини частинок системи. Оператор ˆ ′ пред-
H
ставляє внесок вiд ангармонiчностi цих коливань, причому, якщо
9Цiкаво, що цей ряд неважко формально пiдсумувати (записуючи умову q1 + . . . + qn = 0 iнтеґральним зображенням символу Кронекера) i подати
його компактним виразом. Залишаємо це читачам.
737
другий доданок у ньому звичнi нам “кубiчнi” та вищi ангармонiзми, то перший є своєрiдним ангармонiзмом, оскiльки вiн квадратичний за “iмпульсами” ∂/∂ρk i лiнiйний за “координатами”
ρk.
Надалi зосередимо нашу увагу на обчисленнi власних значень i
власних функцiй гамiльтонiана ˆ ′ , а оператор ангармонiзмiв ˆ ′
H0 H
не будемо брати до уваги. Внесок ангармонiчних членiв можна
розраховувати методами стандартної теорiї збурень. Розв’язок за-
дачi з гамiльтонiаном ˆ ′ легко знайдемо, користуючись резуль-
H0
татами §§21, 22. Ситуацiя аналогiчна до процедури квантування
вiльного електромагнiтного поля. У зв’язку з цим робимо лише вiдповiднi перепозначення i враховуємо, що актуальними змiна-
ми є величини ρkc та ρks , iндекси яких набувають значень лише з |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пiвпростору всiх можливих значень k. Далi, оскiльки |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то |
|
|
ρk = ρkc − iρks , |
|
ρ−k = ρkc + iρks , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ρkc = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρks = |
|
|
i |
− ρ−k), |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(ρk + ρ−k), |
|
|
|
|
|
(ρk |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂ |
1 |
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
, |
|
|
|
∂ |
|
|
1 |
|
|
|
∂ |
∂ |
|
||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
− i |
|
||||||||||||||||
|
∂ρk |
2 |
∂ρkc |
∂ρks |
|
|
∂ρ−k |
2 |
∂ρkc |
∂ρks |
||||||||||||||||||||||||||||||
i гамiльтонiан |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Hˆ |
′ |
= |
|
′ |
|
~2k2 |
|
|
∂2 |
+ |
∂2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
k=0 − |
|
|
4m |
∂ρkc2 |
|
|
|
|
∂ρks2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~2k2 |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
νk (ρkc2 + ρks2) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4m |
V |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N(N |
1) |
|
|
|
X |
|
~2k2 |
|
|
|
N |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
ν0 |
− k=0 |
|
|
+ |
|
|
νk , |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2V |
|
|
|
|
|
4m |
2V |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
штрих бiля першої суми за k означає, що пiдсумовування за k йде лише в пiвпросторi значень k. Уведемо тепер частоту осцилятора
738
ωk та його масу mk такi, щоб множники бiля квадратiв змiнних
та других похiдних вiдповiдали гармонiчному осциляторовi
|
mkωk2 |
|
~2k2 |
|
N |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= |
|
+ |
|
νk, |
|
|
|
|
|
|||
2 |
4m |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
||||||
~2 |
= |
~2k2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2mk |
|
4m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Звiдси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mk = 2m/k2, ωk = ~k2 |
αk, |
|
|
u |
2N |
νk |
~2k2 . |
||||||||
αk = v1 + |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
V |
2m |
Продовжуючи аналогiю з гармонiчним осцилятором, уведемо знерозмiрену координату
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ξk = ρk,s |
|
|
|
= |
√αkρk, |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
mkωk |
|
|||||||||||||||||||||
через яку й запишемо гамiльтонiан Hˆ0′ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Hˆ |
′ |
X |
′~ω |
|
|
|
|
∂2 |
|
|
|
|
|
|
X |
′~ω |
|
|
∂2 |
|
||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ ξc2 + |
|
|
|
|
|
+ ξs2 |
||||||||||||
|
0 |
k=0 |
|
k |
−∂ξkc2 |
|
|
k |
k=0 |
|
|
k |
−∂ξks2 |
k |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
N |
|
1) |
|
|
|
~2k2 |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
+ |
N( |
− |
|
ν0 |
− k=0 |
|
+ |
|
|
νk |
|
|
||||||||||||
|
|
|
2V |
|
4m |
|
2V |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Маємо гамiльтонiан двох безмежних сукупностей гармонiчних осциляторiв або одну сукупнiсть двовимiрних осциляторiв (це вiдповiдає дiйснiй та уявнiй частинам ρk). Уведемо тепер два “сорти”
операторiв породження i знищення, як це було зроблено в §22,
ˆ+ |
1 |
µ |
|
d |
, |
|||
bk,µ |
= |
√ |
|
ξk |
− |
|
||
dξkµ |
||||||||
2 |
||||||||
ˆ |
1 |
µ |
|
d |
, |
|||
bk,µ |
= |
√ |
|
ξk |
+ |
|
||
dξkµ |
||||||||
2 |
739
µ = (c, s) з переставними спiввiдношеннями
ˆ ˆ+ |
ˆ+ ˆ |
bk,µbk,µ |
− bk,µbk,µ = 1, |
а всi решта можливi комутатори дорiвнюють нулевi. Гамiльтонiан
|
X X |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Hˆ0′ = |
k=0′ µ=c,s ~ωk ˆbk+,µˆbk,µ + |
2 |
|
|
||||||
|
6 |
|
X |
|
|
|
|
|
νk . |
|
|
|
N |
1) |
~2k2 |
|
|
N |
|||
|
|
ν0 − k=0 |
|
|
||||||
+ |
N( − |
|
|
+ |
|
|||||
2V |
|
4m |
2V |
|||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
Тепер уже легко виписуємо з §22 енерґетичнi рiвнi нашої системи
|
c |
s |
X |
′~ |
|
c |
|
1 |
|
X |
′~ |
s |
|
1 |
|
|||
E...,nk,...;...,nk,... = k=0 |
|
ωk nk |
+ 2 |
|
+ k=0 |
ωk |
nk |
+ |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
N |
1) |
|
X |
|
~2k2 |
|
N |
|
, |
|
|
|
|
|
|||
+ |
N( − |
|
ν0 |
− k=0 |
|
+ |
|
|
νk |
|
|
|
|
|
||||
2V |
|
4m |
2V |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де квантовi числа nck = 0, 1, 2, . . .; nsk = 0, 1, 2, . . ., а також вiдпо-
вiднi хвильовi функцiї
|
|
|
Y |
|
|
|
q |
|
|
|
|
¯ |
c |
s |
= |
′ |
mkωk 1/4 e−ξkc2/2 |
c |
c |
||||
ψ...,nk,...;...,nk,... |
|
π~ |
|
|
nc c |
Hnk |
(ξk) |
||||
|
|
|
k6=0 |
|
|
2 |
k nk! |
|
|
||
|
|
|
Y |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
× |
′ |
mkωk 1/4 e−ξks2/2 |
s |
s |
||||
|
|
|
|
π~ |
|
|
|
Hnk |
(ξk), |
||
|
|
|
k6=0 |
|
|
2 |
k nk! |
|
|
де Hn(ξ) полiном Ермiта.
Отже, вивчення нашої вихiдної системи багатьох взаємодiючих бозе-частинок квантової рiдини ми звели до вивчення безмежної сукупностi квазiчастинок або елементарних збуджень, якi моделюємо квантовими осциляторами. Цi квазiчастинки також є бозонами. У головному наближеннi вони не взаємодiють
740