Вакарчук І.О. Квантова механіка

n = nr + l + 1 головне квантове число. Тут ми врахували, що

Очевидно, що ця формула збiгається з тiєю, яку ми знайшли з наближеного рiвняння Дiрака. Запрошуємо Читача також порiвняти цей точний розв’язок з точним розв’язком рiвняння Кляйна– Ґордона–Фока з кулонiвським потенцiалом, а також з формулою, яку дає метод квантування Бора–Зоммерфельда.

Ми вже не будемо зупинятись на питаннi обчислення хвильо-

вих функцiй, оскiльки зв’язок мiж та ¯ є нескладним.

ψ ψ

§ 79. Атом у магнiтному полi

При накладаннi магнiтного поля на атом його енерґетичнi рiвнi розщеплюються ефект Зеємана. Для розрахунку цього ефекту використаймо квазiрелятивiстський гамiльтонiан

641

тут H напруженiсть магнiтного поля, µˆ = −gµBˆs. Будемо вва-

жати поле однорiдним i незалежним вiд часу, тодi векторний потенцiал можна вибрати у виглядi

Нас цiкавитимуть змiщення енерґетичних лiнiй атома, лiнiйнi за напруженiстю H. Тому нехтуємо членом, пропорцiйним до A2,

уважаючи поле достатньо слабким. Гамiльтонiан

а член, що вiдповiдає за взаємодiю з магнiтним полем,

Розглянемо спочатку достатньо сильне поле, пiд яким ми розумiємо зовнiшнє поле, що розщеплює енерґетичнi рiвнi значно бiльше, нiж вiдстань мiж рiвнями тонкої структури, i в гамiльтонiанi

то компоненти оператора ˆ є iнтеґралами руху вони комутують

L

з ˆ . Кажуть, що розривається зв’язок спiнового й орбiтального

H0

642

моментiв кiлькостi руху i вони взаємодiють з магнiтним полем незалежно. Отже, поправка до енерґiї

Ми спрямували поле вздовж осi z: H = (0, 0, H). Таким чином,

E(1) = −2mce H~(ml + 2ms),

де магнiтне квантове число ml = 0, ±1, . . . , ± l, а спiнове ms =

±1/2. Таке розщеплення рiвнiв називають ефектом Пашена–Бака.

Розглянемо випадок слабкого поля, яке розщеплює енерґети-

компоненти оператора ˆ вже не є iнтеґралами руху. Iнтеґралами

L

руху є компоненти повного моменту iмпульсу ˆ. Тому ми повиннi

J

J + ˆs = gˆJ,

де gˆ поки що невiдомий оператор. Помножимо цю рiвнiсть спра-

Далi помножимо цей вираз справа на ˆ−2 i знаходимо невiдомий

J

оператор

643

Бачимо, що gˆ виражається лише через iнтеґрали руху. Спрямовуючи поле вздовж осi z, знаходимо оператор взаємодiї

Оскiльки тут усi величини є iнтеґралами руху, то

E(1) = −2mce Hg~ mj ,

де так званий множник Ланде11

g = 1 + j(j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1) , 2j(j + 1)

квантове число mj = 0, ±1, ±2, . . . , ±j. Ми отримали вираз для

розщеплення енерґетичних рiвнiв атома в магнiтному полi, яке вiдоме пiд назвою аномального ефекту Зеємана. Для одного електрона s = 1/2, а j = l ± 1/2, при l = 0, j = 1/2, g = 2. Якщо спiн атома s = 0, то множник Ланде g = 1 i спростерiгаємо так званий

нормальний ефект Зеємана. У цьому випадку вiдстань мiж сусiднiми рiвнями дорiвнює |e|~H/2mc, як i передбачалось класичною

теорiєю.

§ 80. Рух частинки в однорiдному магнiтному полi

Дослiдимо стацiонарнi стани зарядженої частинки зi спiном ~/2 i зарядом e, яка рухається в однорiдному, незалежному вiд часу магнiтному полi напруженостi H. Гамiльтонiан такої задачi

11Альфред Ланде (1885–1975) нiмецький фiзик-теоретик, який побудував теорiю аномального ефекту Зеємана i в 1922 р. ввiв g-фактор множник

Ланде.

644

де векторний потенцiал виберемо, як i в попередньому параграфi, рiвним

A = 12 [Hr],

напруженiсть поля H направляємо вздовж осi z, H = (0, 0, H).

Отже, ми не враховуємо таких ефектiв, як залежнiсть маси вiд швидкостi та спiн-орбiтальна взаємодiя. Однак ми будемо враховувати в гамiльтонiанi члени, квадратичнi за векторним потенцiалом A, якими ранiше нехтували. Тобто мова йде про то-

чний розв’язок нерелятивiстської задачi з гамiльтонiаном Паулi про рух, наприклад, такої частинки, як електрон, на який накладено стале однорiдне магнiтне поле12.

Зробимо деякi перетворення в гамiльтонiанi. Оскiльки з внеском, лiнiйним за A, ми ознайомились у попередньому параграфi,

то, використовуючи цi результати, записуємо гамiльтонiан так:

нагадаємо, що оператор магнiтного моменту частинки µ = −gµBˆs, ˆs оператор спiну. Перетворимо тепер квадратичний член за A.

Отже,

A2 = 12 A[Hr] = 12 r[AH]

=14 rh[Hr]Hi = 14 r rH2 − H(Hr)

=1hr2H2 − (Hr)2i = H2 (r2 − z2) = H2 (x2 + y2), 4 4 4

12Цю задачу вперше розв’язав у 1930 роцi Л. Д. Ландау (1908–1968), ла-

уреат Нобелiвської премiї з фiзики за пiонерськi дослiдження з теорiї конденсованих середовищ, особливо рiдкого гелiю. У 1932–1937 роках вiн працював у Харковi, де очолював теоретичний вiддiл Українського фiзикотехнiчного iнституту, кафедру теоретичної фiзики Харкiвського механiкомашинобудiвного iнституту, кафедру загальної фiзики Харкiвського унiверситету.

645

ми скористались тут циклiчною перестановкою в мiшаному добутку, розкрили подвiйний векторний добуток i врахували, що напруженiсть поля має вiдмiнну вiд нуля лише z-компоненту.

Тепер, розписуючи за компонентами оператор кiнетичної енерґiї в гамiльтонiанi, маємо

Рiвняння Шрединґера з цим гамiльтонiаном допускає роздiлення спiнових i просторових змiнних, i ми можемо записати рiвняння лише для просторової хвильової функцiї ψ(r), покладаючи, замiсть оператора sˆz, його власнi значення ~ms, ms = ±1/2:

(

)

e

−mcH~ms ψ(r) = Eψ(r).

Першi три доданки в гамiльтонiанi описують рух частинки в площинi (x, y), тому, з огляду на центральну симетрiю потенцi-

альної енерґiї, зручно працювати в цилiндричних координатах x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z. Як бачимо, змiннi далi роздiляються: рух частинки вздовж осi z є вiльним рухом iз кiнетичною енерґiєю p2z/2m, а для руху в площинi (x, y), користуючись загальними формулами для N-вимiрного простору з §44, переходимо до радi-

ального рiвняння шляхом пiдстановки

eipz z/~ e±ilϕ

ψ(r) = √ √ R(r), 2π 2π

R(r) радiальна хвильова функцiя; −∞ < pz < ∞; орбiтальне квантове число l = 0, 1, 2, . . . визначає проекцiю моменту iмпульсу

646

на вiсь z, Lz = ±~l. Пiдставляємо ψ(r) у рiвняння Шрединґера i

зразу записуємо радiальне рiвняння для функцiї

= E − 2m + 2mcH~(±l + 2ms) χ(r),

де ефективне орбiтальне квантове число для двовимiрного простору l = l − 1/2.

Ми звели нашу задачу до рiвняння Шрединґера для двовимiрного просторового осцилятора з частотою |e|H/2mc, що дає змогу

скористатись результатами розв’язку цiєї проблеми з § 40, замiною

Легко зауважити, що як для e > 0, так i для e < 0 енерґiя залежить вiд головного квантового числа n = nr + l, n = 0, 1, 2, . . . .

Остаточно

Цi рiвнi енерґiї називають рiвнями Ландау. Як бачимо, вони є виродженими: енерґiю визначає головне квантове число n, а не окремi числа nr та l. Це зумовлено тим, що координати центра кола, x/2 + cpy/eH, y/2 − cpx/eH, по якому рухається частинка

згiдно з законами класичної механiки, є iнтеґралами руху, однак

647

вони не можуть мати одночасно певних значень, оскiльки вiдповiднi їм оператори не комутують мiж собою. А це, як ми знаємо з § 17, приводить до виродження. Отже, причиною виродження є те, що в класичному випадку енерґiя не фiксує координати центра кола, вона визначає лише його радiус. Зауважимо, що представлення операторiв координат центра кола залежить вiд калiбрування A, якщо записувати їх через компоненти узагальненого iмпульсу p. Вони, очевидно, не залежатимуть вiд калiбрування векторно-

го потенцiалу, якщо виразити їх через компоненти швидкостi частинки v = (p − eA/c)/m, якi є спостережуваними величинами: x + mcvy/eH, y − mcvx/eH. Допитливий Читач може самостiйно

обчислити комутатори операторiв координат центра кола мiж со-

бою та з оператором ˆ i детальнiше дослiдити це цiкаве питання.

Lz

Крiм цього, маємо ще додаткове виродження, зумовлене так званою суперсиметрiєю гамiльтонiану (див. виноску на стор. 212): для e < 0 рiвнi з квантовими числами n, ms = 1/2 та n + 1, ms = −1/2 збiгаються; для e > 0 беремо протилежнi знаки ms.

Хвильовi функцiї R(r) беремо з § 40 замiною орбiтального квантового числа l на l i з вимогою, щоб nr + l + 1 > −1/2 або nr + l > −1, тобто головне квантове число n ≥ 0. Крiм того,

пам’ятаємо, що тепер для того, щоб отримати радiальну функцiю R(r), необхiдно функцiю χ(r) подiлити на √r, а не на r, як у три-

вимiрному випадку (див. також § 44). Отже, щоб записати явний вигляд радiальної функцiї для нашої задачi, формально множи-

мо функцiю Rn,l(r) з § 40 на √r, замiсть l пишемо l = l − 1/2, а замiсть прийнятого там позначення n для радiального кванто-

вого числа пишемо nr i пiсля цього використаємо для iндексацiї орбiтальне число l та головне квантове число n = nr + l:

rr

648

Розглянуте квантування енерґетичного спектра зарядженої частинки в магнiтному полi пояснює явище дiамагнетизму електронiв провiдностi в металах.

Приклад. Квантова брахiстохрона. На електрон, що перебуває в станi “спiн уверх” | ↑i у момент часу t = 0, накладаємо однорiдне, незалежне вiд часу магнiтне поле з напруженiстю H. Визначити, при якому напрямi магнiтного поля час переходу електрона в стан “спiн униз” | ↓i буде якнайменшим.

де частота ω = |e|H/2mc, одиничний вектор n = H/H; тут ми скористалися розкладом експоненти в ряд i властивiстю матриць Дiрака: (nσˆ)2 = 1.

Дiя оператора еволюцiї на початковий стан дає:

де компоненти одиничного вектора у сферичних координатах

nx = cos ϕ sin θ, ny = sin ϕ sin θ, nz = cos θ.

Кiнцевий стан, у який переходить електрон, фiксуємо так:

причому з умови нормування очевидно, що |a|2 + |b|2 = 1.

Час T , за який частинка “скотиться” зi стану | ↑i у стан | i, визначаємо

з умови збiгу станiв ˆ| ↑i i | i. Прирiвнюємо, наприклад, модулi величин i

S b

нижнього рядка стану ˆ| ↑i, а рiвнiсть фаз забезпечуємо добором азимуталь-

S

ного кута ϕ. Пам’ятаємо при цьому, що квантовомеханiчнi стани визначенi з

точнiстю до довiльного фазового множника i тому важливими є не самi фази складових векторiв станiв, а їхнi рiзницi. Отже:

qp

|b| = n2x + n2y sin ωt = 1 − n2z sin ωt = sin θ sin ωt,

тобто час T = ω1 arcsin (|b|/ sin θ). До такого ж результату прийдемо, зрозумiло,

ний час Tmin знаходимо з умови мiнiмуму функцiї T = T (θ), яка дає θ = π/2,

649