Вакарчук І.О. Квантова механіка

Г Л А В А XI

КВАНТОВА МЕХАНIКА СИСТЕМИ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК

§ 81. Принцип тотожностi частинок у квантовiй механiцi

При формулюваннi фундаментальних принципiв квантової механiки ми, як правило, зосереджували увагу на однiй частинцi. Зрозумiло, однак, що основнi постулати та першопринципнi рiвняння квантової теорiї працюють незалежно вiд того, чи розглядається одна частинка, чи їх сукупнiсть. Стан системи багатьох частинок також визначається хвильовою функцiєю, яка зберiгає свiй змiст амплiтуди ймовiрностi. Для системи N частинок хвильова

функцiя ψ = ψ(q1, . . . , qN ; t) залежить вiд змiнних q1, . . . , qN , ко-

жна з яких задає координати частинки з вiдповiдним номером. Вона задовольняє основне рiвняння квантової механiки хвильове рiвняння Шрединґера:

складається з суми операторiв кiнетичних енерґiй частинок i потенцiальної енерґiї U, яка мiстить як взаємодiю частинок iз зовнiшнiм полем, так i їх взаємодiю мiж собою; pˆj оператор iмпульсу j-ої частинки, mj її маса.

Якщо гамiльтонiан не залежить явно вiд часу, то багаточастинкова система описується стацiонарними станами, хвильовi функцiї яких визначаються разом iз можливими значеннями енерґiї з рiвняння Шрединґера:

651

ˆ

Hψ = Eψ.

Розв’язок такого рiвняння є складною математичною задачею. Моделi, якi допускають точнi розв’язки, є рiдкiстю, i тому основним пiдходом при дослiдженнi проблеми багатьох тiл є рiзноманiтнi наближенi методи.

Розглянемо важливий клас багаточастинкових систем, а саме, сукупнiсть N однакових частинок. Такi системи виявляють дода-

тковi особливостi принципового характеру, якi не мають аналога в класичнiй механiцi. Що таке однаковi частинки? Це частинки, якi мають однаковi масу, заряд, спiн, власний магнiтний момент i т. д. та поводяться однаково в тих самих умовах. У класичнiй механiцi за кожною з частинок, навiть якщо вони i є однаковими, можна простежити, оскiльки вони рухаються по своїх траєкторiях i не втрачають iндивiдуальностi. У квантовiй механiцi ситуацiя є принципово iншою. Якщо в певний момент часу ми пронумеруємо частинки, то за деякий час, локалiзувавши одну з них, ми не зможемо зiдентифiкувати її номер. Це пов’язано з тим, що поняття траєкторiї у квантовiй механiцi, внаслiдок принципу невизначеностi Гайзенберґа, не має змiсту. Мовою хвильових пакетiв це означає, що в наступний момент часу пiсля присвоєння номерiв частинкам їхнi хвильовi пакети перекриються i нумерацiя частинок переплутається. Таким чином, у квантовiй механiцi немає жодної змоги розрiзнити однаковi частинки. Це твердження i становить так званий принцип тотожностi частинок у квантовiй механiцi.

Перейдемо до математичного формулювання принципу тотожностi. Розглянемо для спрощення систему, яка складається з N = 2 тотожних частинок. Позначимо через x сукупнiсть координат частинок, пiд якими будемо розумiти як просторовi r = (x, y, z), так i спiновi координати s: x = (r, s). За означенням хвильової функцiї ψ(x1, x2) такої системи, величина |ψ(x1, x2)|2 до-

рiвнює густинi ймовiрностi того, що перша частинка перебуває в околi точки x1, а друга в околi точки x2. Якщо частинки переставити мiсцями, то їхня хвильова функцiя ψ = ψ(x2, x1). Тепер величина |ψ(x2, x1)|2 дорiвнює густинi ймовiрностi того, що перша частинка є в околi точки x2, а друга в околi x1. Оскiльки

частинки тотожнi, то повинна виконуватись рiвнiсть

|ψ(x1, x2)|2 = |ψ(x2, x1)|2

652

це i є математичне формулювання принципу тотожностi частинок. Звiдси випливає, що хвильова функцiя з переставленими

частинками з точнiстю до фазового множника збiгається з вихiдною1:

ψ(x2, x1) = eiαψ(x1, x2).

Знайдемо значення фази α. Уведемо оператор перестановки ча-

стинок ˆ такий, що

P

ˆ

P ψ(x1, x2) = ψ(x2, x1).

Отже, дiя цього оператора зводиться до множення функцiї на eiα:

рiвняння на власнi значення для оператора перестановки. По-

Iншими словами, дiючи двiчi оператором перестановки, ми залишаємо частинки на своїх мiсцях. Отже, виходить, що

e2iαψ(x1, x2) = ψ(x1, x2),

або

e2iα = 1.

Звiдси випливає, що 2iα = 2iπn, n = 0, 1, 2, 3, . . ., тобто α = πn, а

власне значення оператора перестановки eiα = ±1.

1Увесь час ми пiдкреслювали, що фазовий множник у хвильовiй функцiї не

вiдiграє жодної ролi й не впливає на фiзичнi результати. Однак це стосувалось “стартового” фазового множника, а не того, який виникає при перетвореннях над хвильовою функцiєю. Фаза, яка “набiгає” пiд час таких перетворень, як ми бачили в §2, вiдiграє принципово важливу роль.

653

Таким чином,

ψ(x2, x1) = ±ψ(x1, x2).

Отже, пiд час перестановки тотожних частинок хвильова функцiя може змiнювати лише знак.

Очевидно, цей результат узагальнюється на систему з N одна-

кових частинок. Наприклад, переставляючи частинку номер 2 з частинкою номер N, маємо:

ψ(x1, x2, x3, . . . , xN−1, xN ) = ±ψ(x1, xN , x3, . . . , xN−1, x2).

Ми отримали важливий результат: при перестановцi будь-яких двох частинок iз сукупностi N однакових частинок їхня хвильова

функцiя або не змiнює знака, або змiнює на протилежний. Iншими словами, хвильова функцiя системи N тотожних частинок є

симетричною або антисиметричною. Важливо, що ця властивiсть зберiгається з часом. Справдi, оскiльки гамiльтонiан системи N

Таким чином, оператор перестановки комутує з гамiльтонiаном, i отже, вiн є iнтеґралом руху. Це означає, що властивiсть хвильових функцiй змiнювати або не змiнювати знак не залежить вiд часу. Якщо, наприклад, антисиметрична хвильова функцiя описує систему електронiв сьогоднi, то вона ж буде описувати її i завтра. . .

Зi сказаного випливає, що з усiх можливих розв’язкiв рiвняння Шрединґера ми повиннi вiдiбрати лише такi, якi є симетричними або антисиметричними тiльки вони мають фiзичний змiст. Симетричнi хвильовi функцiї описують так званi бозе-частинки, або бозони. Антисиметричнi функцiї описують фермi-частинки,

654

або фермiони. Цi назви походять вiд прiзвищ учених, якi запропонували вiдповiднi статистики для сукупностей однакових частинок. Симетричну статистику запропонував у 1924 роцi iндiйський учений С. Бозе (1894–1974) для квантiв свiтла й узагальнив А. Айнштайн для частинок iз масою спокою, вiдмiнною вiд нуля. У 1926 роцi Е. Фермi запропонував антисиметричну статистику для електронiв, а її зв’язок iз квантовою механiкою встановив

П.А. М. Дiрак.

В.Паулi в 1940 роцi на основi релятивiстської квантової механiки показав, що статистика, якiй пiдкоряються частинки, однозначно пов’язана з їхнiм спiном: фермiони це частинки з пiвцiлим спiном, а бозони iз цiлим. Прикладом фермiонiв є такi елементарнi частинки, як електрон, протон, нейтрон, мюон, нейтрино, позитрон. Бозонами є фотон, мезони. Якщо частинки є складними, то хвильова функцiя також є симетричною або антисиметричною, залежно вiд їхнього спiну: атом 3He має спiн 1/2, i отже, це фермiон, а атом 4He, спiн якого дорiвнює нулевi, є бозо-

ном. Таким чином, усi частинки можна подiлити на два класи фермiони i бозони2. Фiзичнi властивостi систем, що складаються з бозонiв, суттєво вiдрiзняються вiд властивостей багатофермiонних систем. Яскравим прикладом цього є рiдкi 3He та 4He.

Якщо гамiльтонiан системи не залежить вiд спiнових ступенiв вiльностi, як це є в нерелятивiстському наближеннi, то рiвняння Шрединґера допускає роздiлення змiнних. Повна хвильова функцiя, яка залежить вiд просторових i спiнових координат, може бути зображена у виглядi добутку:

ψ(x1, . . . , xN ) = χ(s1, . . . , sN )ϕ(r1, . . . , rN ),

2У так званих суперсиметричних квантових теорiях поля допускається

перехiд частинок мiж цими двома станами-сортами. Математичний апарат цих теорiй ґрунтується на алґебрi Ґрассмана. Нiмецький математик Герман Ґрассман (1809–1877) займався побудовою вищих комплексних чисел. Точку в N-вимiрному просторi вiн задавав виразом x1e1+x2e2+· · ·+xN eN , де ei одиничнi елементи (твiрнi алґебри Ґрассмана), пiдкоренi умовi eiek = −ekei, так що e2i = 0. У 60-х та 70-х роках минулого столiття алґебра Ґрассмана зазнала iнтенсивного розвитку завдяки її застосуванню до вивчення систем багатьох фермiонiв. “Ґрассманiзацiя” iнших задач теоретичної фiзики дає змогу отримувати новi фундаментальнi результати. Введення похiдних та iнтеґралiв за твiрними алґебри Ґрассмана привели до створення суперматематики.

655

де функцiя χ залежить лише вiд спiнових змiнних i її називають спiновою хвильовою функцiєю, функцiя ϕ залежить лише вiд

просторових координат її називають координатною хвильовою функцiєю. Фактично рiвняння Шрединґера визначає лише координатну функцiю ϕ. I здавалось би, що спiнова функцiя χ не має

нiякого впливу на фiзичнi властивостi системи. Однак, унаслiдок принципу тотожностi, це не так. Справдi, оскiльки повна хвильова функцiя ψ має певну симетрiю, то вибором симетрiї спiнової функцiї χ ми фiксуємо ту чи iншу симетрiю функцiї ϕ. Тому середнє

значення гамiльтонiана, тобто енерґiя системи, буде залежати вiд того, якою є спiнова функцiя. Наприклад, для електронiв хвильова функцiя ψ є антисиметричною, отже для її утворення як добутку χ на ϕ є двi можливостi:

ψa = χaϕs

або

ψa = χsϕa,

де значками “s” та “a” позначено функцiї симетричнi й антисиме-

тричнi щодо перестановки вiдповiдних координат частинок. Таким чином, у першому випадку енерґiя

Ми вважаємо, що спiнова й координатна хвильовi функцiї є нормованими. У другому випадку енерґiя

h a| ˆ | ai

Ea = ϕ H ϕ .

Зрозумiло, що цi два значення енерґiї є рiзними. Отже, можливi значення енерґiї залежать вiд спiнового стану системи, незважаючи на те, що гамiльтонiан не залежить вiд спiнових змiнних. Цю залежнiсть трактують як своєрiдну взаємодiю мiж частинками, яку називають обмiнною взаємодiєю, а рiзницю мiж Ea та Es обмiнною енерґiєю. Насправдi це не взаємодiя в прямому

розумiннi, а чисто квантовий ефект, який є наслiдком тотожностi частинок. Тобто додаткову умову, яку накладаємо на хвильову функцiю системи багатьох однакових частинок, що зумовлена

656

квантовомеханiчним принципом тотожностi, трактуємо як своєрiдну мiжчастинкову взаємодiю3.

Розглянемо систему невзаємодiючих однакових частинок, кожну з яких описує хвильова функцiя ψf (x). Стан системи можна визначити, якщо вказати номери станiв f, у яких перебувають окремi частинки: ψf1 (x1), . . . , ψfN (xN ). Побудуємо з цих одночас-

тинкових функцiй хвильову функцiю цiлої системи. Нехай спочатку N = 2. Як добуток хвильових функцiй ψf1 (x1)ψf2 (x2), так i добуток з переставленими координатами ψf1 (x2)ψf2 (x1) описує си-

стему двох частинок, однак вони не мають певної симетрiї. Якщо утворити лiнiйнi комбiнацiї цих добуткiв

ψf1,f2 (x1, x2) = C1ψf1 (x1)ψf2 (x2) + C2ψf1 (x2)ψf2 (x1),

то, згiдно з принципом суперпозицiї, функцiя ψf1,f2 (x1, x2) також

описує стан цих частинок. З умови симетрiї, яка випливає з тотожностi частинок, маємо |C1|2 = |C2|2 i, приймаючи величини C1, C2 дiйсними, знаходимо, що C2 = ±C1. Отже,

ψf1,f2 (x1, x2) = C1[ψf1 (x1)ψf2 (x2) ± ψf1 (x2)ψf2 (x1)],

де верхнiй знак дає симетричну, а нижнiй антисиметричну хвильову функцiю системи двох частинок. З умови нормування

Z Z

|ψf1,f2 (x1, x2)|2 dx1dx2 = 1

√

отримуємо C1 = 1/ 2. Ми припускаємо, що одночастинковi функцiї ψf (x) є ортонормованими. Пiд значком iнтеґрування за змiнною x розумiємо iнтеґрування за неперервною просторовою координатою r та пiдсумовування за дискретними значеннями спiнової змiнної s. Таким чином, правильними, симетризованими хвильо-

вими функцiями системи двох тотожних частинок є

1

ψf1,f2 (x1, x2) = √ [ψf1 (x1)ψf2 (x2) ± ψf1 (x2)ψf2 (x1)].

2

3Узагалi кажучи, будь-яку додаткову в’язь, яку накладаємо на рiвняння

руху (класичнi чи квантовi), можна трактувати як додаткову силу. Фактично це спiвзвучно iдеї так званої геометризацiї взаємодiй, яка реалiзована, зокрема, у загальнiй теорiї вiдносностi стосовно ґравiтацiйної взаємодiї.

657

Цей результат легко узагальнити на систему з N частинок.

Зауважимо, що антисиметрична хвильова функцiя (нижнiй знак “−”) ψf1,f2 (x1, x2) є визначником другого порядку. Тому для N

фермi-частинок антисиметричну хвильову функцiю також запи-

ви нормування хвильової функцiї цiлої системи знайдемо, що

√

CN = 1/ N!. Якщо двi частинки мають однаковi iндекси станiв f, наприклад f1 = f2, то два рядки визначника є однаковими i за йо-

го властивiстю хвильова функцiя тотожно обертається в нуль. Це означає, що таких станiв, коли є хоча б двi частинки з однаковими квантовими числами, не iснує принцип Паулi4.

Для бозонiв також користуються написаною вище функцiєю, якщо при розкриттi визначника всi знаки “мiнус” замiнити на “плюс”. Такий визначник називають перманентом. Для багатобозонної системи принцип Паулi вже не має мiсця, оскiльки всi

члени входять у ψf1,...,fN (x1, . . . , xN ) зi знаком “плюс”. Отже, тут

можливий випадок, коли всi частинки перебувають в одному й тому ж станi. Це так званий бозе-конденсат. Зрозумiло, що при цьому переставляння частинок з однаковими iндексами станiв не дає нових доданкiв у хвильовiй функцiї.

Загалом хвильову функцiю системи N тотожних невзаємодi-

ючих частинок можна записати в такому виглядi:

X

ψf1,...,fN (x1, . . . , xN ) = CN

Q

де пiдсумовування проводимо за всiма можливими перестановками Q рiзних iндексiв f1, . . . , fN ; нижнiй знак береться для фермiо-

нiв, причому парне число перестановок дає знак “плюс”, непарне

4Цей принцип сформулював В. Паулi в 1924–1925 роках до створення кван-

тової механiки, за що в 1945 роцi отримав Нобелiвську премiю.

658

знак “мiнус”, а верхнiй знак для бозонiв. Стала нормування для фермiонiв

√

CN = 1/ N!.

Для бозонiв

q

CN = Nf1 ! . . . NfN !/N!,

де Nfi це число iндексiв серед f1, . . . , fN , що набувають одного й того ж значення fi. Величини Nfi називають числами заповне-

ння вiдповiдних одночастинкових станiв. Таку сталу нормування для бозонiв отримуємо тому, що кiлькiсть рiзних доданкiв у хвильовiй функцiї є меншою, нiж N!, i дорiвнює N!/(Nf1 ! . . . NfN !).

Мiж iншим, формально для фермiонiв сталу нормування можна записати так само, як i для бозонiв, тому що в цьому випадку всi

Nfi ! = 1, оскiльки Nfi = 0, 1.

На завершення цього параграфа звернемо увагу Читача на деякi узагальнення статистик тотожних частинок. Можна формально розглянути певною мiрою штучну статистику, так звану парастатистику (префiкс пара. . . походить вiд грецького παρα . . .

i означає близький, схожий, але не тотожний), коли в деякому квантовому станi може перебувати не бiльше, нiж p частинок: при p = 1 маємо статистику Фермi–Дiрака, а якщо p = ∞, то отри-

муємо статистику Бозе–Айнштайна. Усi вiдомi на сьогоднi елементарнi частинки вiдповiдають лише цим граничним значенням величини p. Були спроби знайти частинки зi скiнченим значенням p > 1, але безуспiшнi. Чому Природа надала перевагу саме цим частковим випадкам p = 1, ∞ залишається таїною. . . .

Iнше можливе узагальнення статистик стосується фази α, яка

набiгає у хвильовiй функцiї при перестановцi частинок. Як ми бачили, ця фаза α = πα′, де дiйсне число α′ набувало значень

нуль або одиниця. Можна формально розглянути дробове значення α′ (його називають статистичним параметром) iз промiжку 0 ≤ α′ ≤ 1, у якому α′ змiнюється неперервно, i ми отримуємо

дробову статистику. Хоча спостережуванi елементарнi частинки є або фермiонами (α′ = 1), або бозонами (α′ = 0), можливi ситуацiї,

коли вивчення деякого фiзичного явища ефективно зводиться до

659

дослiдження системи квазiчастинок з будь-яким дробовим значенням статистичного параметра α′. Звертаємо також увагу й на те, що значення α′ = 0, 1 ми отримали з аналiзу операцiї перестанов-

ки тотожних частинок, однак фiзична реалiзацiя переставляння частинок мiсцями з урахуванням їхнiх розмiрiв в однота двовимiрному просторi не є очевидною. Отже, виникає задача про дослiдження системи тотожних частинок iз будь-яким значенням α, так званих енiонiв (англ. anyon, вiд any будь-який).

Приклад 1. Хвильова функцiя основного стану системи N безспiнових вiльних бозе-частинок в об’ємi V .

Основний стан характеризується найменшим значенням енерґiї, яке ре-

ψf1,...,fN (x1, . . . , xN ) числа заповнення Np = 0 для p 6= 0, а для p = 0 величина Np=0 = N. Оскiльки рiзних iндексiв станiв немає, то й кiлькiсть

перестановок дорiвнює одиницi. Таким чином, хвильова функцiя основного стану

ψ0 = ψ0,...,0(r1, . . . , rN ) = 1/V N/2.

Вона описує так званий бозе-конденсат, коли всi частинки “сконденсованi” на квантовому рiвнi p = 0.

Теоретичнi розрахунки й експериментальнi вимiрювання в надплинному 4He дають для вiдносної кiлькостi атомiв бозе-конденсату кiлька вiдсоткiв при

температурi абсолютного нуля. На перший погляд, iснування бозе-конденсату заперечує принцип невизначенностей Гайзенберґа, оскiльки рух кожного атома обмежений невеликим об’ємом в оточеннi його найближчих сусiдiв i мiнiмально можливий iмпульс p ~/hri, де hri середня вiдстань мiж атомами.

Однак принцип тотожностi не дає змоги iдентифiкувати атоми, тому невизначенiсть координати дорiвнює не hri, а лiнiйному розмiровi L усього макро-

скопiчного об’єму, в якому перебувають атоми, i отже, мiнiмальний iмпульс p ~/L, L hri i при L → ∞ величина p → 0.

Бозе-конденсатний стан для кiлькох тисяч частинок створено також в експериментальних установках з лазерним охолодженням атомiв5 .

Приклад 2. Обчислити в першому наближеннi теорiї збурень енерґiю основного стану системи N взаємодiючих безспiнових бозе-частинок в об’є- мi V .

5За досягнення бозе-айнштайнiвської конденсацiї в розрiджених газах ато-

мiв лужних металiв, а також за першi фундаментальнi дослiдження властивостей цих конденсатiв Е. А. Корнелл, В. Кеттерле та К. Е. Вiмен одержали Нобелiвську премiю 2001 року.

660