Вакарчук І.О. Квантова механіка

або

Звiдси видно, що варiацiйний принцип понижує енерґiю на величину останнього доданка. У результатi розрахована енерґiя йонiзацiї лiпше узгоджується з експериментальним значенням:

Перейдемо тепер до вивчення збуджених станiв. Розглянемо найнижчий збуджений стан з електронною конфiґурацiєю 1s2s, коли один з електронiв перебуває в |1si-станi, а другий у |2si-

станi. Координатнi хвильовi функцiї:

Вiдповiднi значення енерґiї:

Тепер ми маємо змогу утворити як симетричну, так i антисиметричну координатну частину хвильової функцiї системи:

s r r 1 [ϕ (r )ϕ (r ) + ϕ (r )ϕ (r )],

ϕ ( 1, 2) = √ 1s 1 2s 2 1s 2 2s 1

2

a r r 1 [ϕ (r )ϕ (r ) ϕ (r )ϕ (r )].

ϕ ( 1, 2) = √ 1s 1 2s 2 − 1s 2 2s 1

2

У першому випадку

ψ(x1, x2) = χa(s1, s2)ϕs(r1, r2),

причому антисиметрична спiнова функцiя

χa(s , s ) = 1 [χ (s )χ (s ) χ (s )χ (s )]

1 2 √ ↑ 1 ↓ 2 − ↑ 2 ↓ 1

2

671

описує стан iз нульовим спiном. Ця функцiя зображає так званий сплутаний стан системи двох частинок.

У другому випадку хвильова функцiя системи

ψ(x1, x2) = χs(s1, s2)ϕa(r1, r2),

де симетричну спiнову функцiю можна утворити трьома способами:

χs1(s1, s2) = χ↑(s1)χ↑(s2), χs2(s1, s2) = χ↓(s1)χ↓(s2),

Остання функцiя описує сплутаний стан системи двох частинок, на вiдмiну вiд перших двох функцiй, квадрат модуля яких факто-

=32~2χ↑(s1)χ↑(s2) + 2 ˆs1χ↑(s1)ˆs2χ↑(s2)

=3~2χ↑(s1)χ↑(s2) + ~2 χ↑(s1)χ↑(s2) = 2~2χ↑(s1)χ↑(s2). 2 2

Звiдси маємо, що власне значення квадрата оператора спiну дорiвнює ~2s(s + 1), s = 1. Отже, хвильова функцiя χs1(s1, s2) описує

стан системи, спiн якої дорiвнює одиницi. Цей самий результат

672

отримуємо i для функцiй χs2(s1, s2) та χs3(s1, s2). Число спiнових функцiй дорiвнює 2s + 1 = 3 маємо триплетний стан. Коли спiн s = 0, маємо синґлетний стан: 2s + 1 = 1.

Переходимо до обчислення енерґiї з цими функцiями нульового наближення. Для цього розрахуємо середнє значення гамiльтонiана. Ми опускаємо деталi цих простих перетворень, оскiльки вони подiбнi до тих, якi ми мали для основного стану. Отже,

h i h i h i h ˆ i ±

E = H = H0(1) + H0(2) + V = E1s + E2s + K A,

де верхнiй знак “+” стосується синґлетного стану, а нижнiй знак “−” триплетного. Тут

є так званим кулонiвським iнтеґралом, який має простий змiст енерґiї електростатичної взаємодiї двох просторово розподiлених електронних хмар iз густинами зарядiв ρ1s(r) = e|ϕ1s(r)|2 та

ρ2s(r) = e|ϕ2s(r)|2:

називають обмiнним iнтеґралом. Вона описує згадану вище обмiнну взаємодiю, яка не має класичного аналога i є наслiдком тотожностi частинок. Обмiнний iнтеґрал є додатною величиною. Це легко показати, якщо скористатись розкладом у ряд Фур’є енерґiї

мiжелектронної взаємодiї ˆ , як це було зроблено при обчисленнi

V

поправки E(1), для основного стану i записати обмiнний iнтеґрал

у виглядi

A = X 4πe2 |fq|2, q q2V

де величину

Z

fq = dr eiqrϕ1s(r)ϕ2s(r)

673

ми, очевидно, вже не можемо трактувати як коефiцiєнт Фур’є електронної густини, оскiльки пiд iнтеґралом маємо добуток хвильових функцiй рiзних станiв. Звiдси очевидно, що A > 0. Тому рi-

вень енерґiї синґлетного стану

E↑↓ = E1S + E2S + K + A

лежить вище, нiж рiвень триплетного стану

E↑↑ = E1S + E2S + K − A.

Числове значення кулонiвського та обмiнного iнтеґралiв можна знайти за допомогою методу, яким вище обчислювали поправку E(1) для основного стану (див. Приклад до цього параграфа):

Ми розглянули найнижчi збудженi стани. Можна було б розглянути стани |1si та |2pi або будь-якi iншi. Важливим є те, що

система енерґетичних рiвнiв гелiю розбивається на два класи: синґлетнi та триплетнi, вiдповiдно до симетрiї спiнових функцiй (див. рис. 65). Без урахування спiн-орбiтальної взаємодiї переходи мiж цими станами є забороненими, оскiльки, внаслiдок ортогональностi спiнових функцiй триплетних та синґлетних станiв, матричнi елементи переходiв мiж ними дорiвнюють нулевi. Наприклад,

X X

χs1+(s1, s2)χa(s1, s2) = 0.

s1 s2

Те ж саме отримаємо i для χs2(s1, s2) та χs3(s1, s2). Тому якщо

“закинути”, наприклад, електронним ударом атом гелiю в найнижчий триплетний стан, то вiн не перейде в основний (синґлетний) стан iз випромiнюванням фотона. Такi переходи стають можливими лише з урахуванням спiн-орбiтальної взаємодiї. Їхня ймовiрнiсть дуже мала, i тому атом у цьому станi має великий час життя, до кiлькох мiсяцiв. Таким чином, ми маємо нiби два сорти атомiв гелiю. Якщо спiни електронiв в атомi є антипаралельними (синґлетний стан), то його називають парагелiєм. Атом у триплетному станi називають ортогелiєм. Отже, найнижчий збуджений стан гелiю є основним станом ортогелiю.

674

Рис. 65. Енерґетичнi рiвнi атома гелiю.

Приклад. Обмiнний та кулонiвський iнтеґрали. Обчислимо спочатку наведений у текстi обмiнний iнтеґрал A. Для цього рахуємо функцiю fq, пiдставляючи явнi вирази функцiй ϕ1s та ϕ2s, узятих з §41, та iнтеґруючи за

кутовими змiнними:

де α = 3/2aB − iq. Видiляючи уявну частину, знаходимо

675

Тепер

ми перейшли вiд пiдсумовування за q до iнтеґрування, проiнтеґрували за кутами i ввели знерозмiрену змiнну x = 2qaB/3. Цей табличний iнтеґрал обчислюємо елементарно: вiн дорiвнює 3π/29. Остаточно,

A = e2 2 2 3 = e2 × 0.021948. aB 9 aB

Кулонiвський iнтеґрал K записуємо аналогiчно до обмiнного iнтеґрала

так:

X 4πe2

K = q q2V ρ1s(q)ρ2s(q),

де коефiцiєнт Фур’є електронної густини в 1s-станi ρ1s(q) ми обчислили при дослiдженнi основного стану атома гелiю, а вiдповiдний коефiцiєнт для 2s-

стану

тут β = 1/aB. Тепер, пiдставляючи в K величини ρ1s(q) та ρ2s(q), маємо:

676

Вiдступ 1. Чому величина A має назву обмiнного iнтеґрала?

Припустимо, що електрони в атомi гелiю не взаємодiють мiж собою i в деякий початковий момент часу t = 0 перший електрон перебуває в станi ϕ1s(r1), а другий у станi ϕ2s(r2). Отже, початковий стан системи двох

до уваги всiх iнших станiв, знайдiмо ймовiрнiсть переходу системи в стан |2i = ϕ2s(r1)ϕ1s(r2) з тiєю ж енерґiєю. Отже, тепер перший електрон перебуває в станi ϕ2s(r1), а другий у станi ϕ1s(r2). Тобто ми шукаємо ймовiрнiсть

того, що електрони обмiняються станами. Iз загальної формули з §55 для амплiтуди ймовiрностi C1 = C1(t), C2 = C2(t) перебування системи в станах |1i та |2i маємо систему двох рiвнянь

залежать вiд часу, оскiльки енерґiї станiв |1i та |2i збiгаються i частота переходу ω12 = 0:

677

Ми отримуємо, що ймовiрностi перебування системи в станах |1i та |2i є

осцилюючими функцiями з частотою, яка визначається обмiнним iнтеґралом A. Система, що в початковий момент часу є в станi |1i, через час T = π/2Ω переходить у стан |2i. Тобто електрони обмiнюються станами з частотою A/~. Звiдси й назва величини A: обмiнний iнтеґрал. Насправдi проведений аналiз

не можна сприймати серйозно. Оскiльки електрони є тотожними частинками i їх не можна розрiзнити, то вони обидва перебувають в суперпозицiйному станi в будь-який момент часу. Це була лише наша чергова спроба зрозумiти принцип суперпозицiї, що, як ми знаємо, приводить до парадоксiв типу “шрединґерiвського кота”. Iз цими рiвняннями ми вже зустрiчались, коли обговорювали явище биття (§3, Приклад 7) одну з iлюстрацiй принципу суперпозицiї. Цiкаво тепер повернутись до цього прикладу.

Вiдступ 2. Проблема двох культур i квантова механiка.

Чарльз Сноу, знаний англiйський письменник i фiзик, у 50-х роках минулого столiття ввiв термiн “двi культури”, розумiючи пiд цим культуру людей, якi як вони самi про себе кажуть займаються творчiстю, тобто їхня дiяльнiсть пов’язана з образним мисленням, i культуру, яку представляють люди, що творять точнi та природничi науки. Отже, на одному полюсi художня iнтелiґенцiя, на другому вченi. Можна навести приклади людей, якi високо обдарованi в обох напрямках. Саме про них будемо вести розмову. Особа, обдарована в цих двох напрямках, маючи природну можливiсть перебувати у станах “творчому” та “логiчному”, в результатi “перестрибувань” мiж ними може досягти успiху, а може опинитись у станi фрустрацiї.

Не будемо обговорювати, як на рiвнi фiзiологiї вiдбувається формування цих здiбностей людини, якi, мабуть, зумовленi й окремими генами, i їх сукупнiстю. Можливо, певнi iнтелектуальнi та творчi механiзми спадковi, хоча їх реалiзацiя залежить вiд багатьох чинникiв як до, так i пiсля народження, у тому числi й вiд факторiв соцiальних. Наважимося запропонувати один iз можливих механiзмiв, який реґулює взаємодiю евристично-логiчного та iнтуїтивно-образного мислення i який ґрунтується на квантовомеханiчних принципах, i зокрема, на парадоксi живомертвого кота Шрединґера. Натяком на те, що механiзми нашого мислення мають квантовомеханiчну природу, є той факт, що сiткiвка нашого ока, яка є складовою частиною мозку, здатна реєструвати декiлька квантiв свiтла фотонiв. Тобто чутливiсть нашого ока несподiвано велика. Його фiзiологiчний порiг це один фотон: щоб збудити рецептор, достатньо одного фотона. Однак для того, щоб мозок сприйняв “повiдомлення”, потрiбно 5÷8 фотонiв. Отже, порiг сприйняття дорiвнює де-

кiльком фотонам, хоча, мабуть, є й пiдпорогове сприйняття. Таким чином,

678

збуджують наш мозок поодинокi кванти свiтла, а значить, вiн працює власне як мозок уже на атомарному рiвнi, де закони квантової механiки, квантовомеханiчний механiзм явищ дiють повною силою, хоча час перебування нейрона в когерентному станi є значно меншим, нiж час передачi збудження мiж нейронами. Отже, можна очiкувати, що мозок як макроскопiчне утворення може використовувати й закони квантової механiки для свого функцiонування, тобто багатоканальний iнтерференцiйний квантовомеханiчний принцип “i–i”, а не лише класичну логiку “або–або”. Якщо Читач уважає, що цiєї арґументацiї замало або вона є для нього неприйнятною, то автор згiдний i на те, що це лише одне з можливих моделювань на мiкроскопiчному рiвнi того, що творить спостережуване явище “двокультурностi”.

Запропонуємо тепер кiлька тверджень. Полiкультурнiсть формується рiзними способами мислення, яке можна розкласти на двi складовi: iнтуїтивнотворче, або образне мислення, та евристично-логiчне мислення. Далi для опису iнтелектуально-творчої дiяльностi використаймо поняття амплiтуди стану. Отже, ми вважаємо, що є лише два базиснi стани, назвiмо їх “стан образного мислення” i “стан логiчного мислення”. Кожен iз цих станiв описується своєю амплiтудою, а полiкультурнiсть можна зобразити накладанням у рiзних пропорцiях лише цих двох складових. Тобто постулюємо, що простiр iнтелектуально-творчої дiяльностi є двовимiрним: один вимiр це “образне мислення”, другий “логiчне мислення”. Нехай ψ1амплiтуда стану “образного мислення”; ψ2 амплiтуда стану “логiчного мислення”; базис ψ1, ψ2 є повним. Амплiтуду будь-якого стану визначаємо згiдно з квантовомеханiчним принципом суперпозицiї ψ = C1ψ1 + C2ψ2. Мiж станами ψ1 та ψ2, що описують двi культури, можливi переходи, якi характеризуються обмiнною енерґiєю A, ψ залежить вiд часу t й “узагальнених координат” q. Залежнiсть вiд часу амплiтуди ψ визначають коефiцiєнти C1 = cos Ωt, C2 = −i sin Ωt (див. попереднiй вiдступ до цього параграфа), де частота “обмiну” мiж базисними станами Ω = A/~ є характерним

параметром системи; часовозалежний несуттєвий для нас фазовий множник усуваємо простою замiною початку вiдлiку на шкалi енерґiї.

Обчислимо iнтеґральний доробок вiд iнтелектуально-творчої потужностi людини, тобто те, що людина створює впродовж творчого життя. Нехай твор-

ча потужнiсть описується оператором ˆ ˆ так, що її спостережуване

K = K(q, t)

значення в момент часу t, тобто квантовомеханiчне середнє цього оператора,

за означенням, дорiвнює h ˆ i За час творчого життя сукупний доробок

K . T

дорiвнює iнтеґраловi вiд середньої потужностi:

ZT

h ˆ i

Q = K dt.

0

Початок t = 0, тобто коли починається творча дiяльнiсть, залежить вiд так званого коефiцiєнта iнтелектуальностi; кiнець творчого життя t = T , коли

людина вичерпує себе, залежить вiд багатьох факторiв, у тому числi й зовсiм випадкових.

679

тут уведено дiйсну p′ω й уявну p′′ω частини коефiцiєнта Фур’є функцiї p(t)

визначеним, тому Q11 > 0, Q22 > 0, а недiагональний елемент записуємо як комплексну величину через його модуль i фазу δ, Q12 = |Q12|eiδ , причому оскiльки Q21 = Q12, то Q21 = |Q12|e−iδ .

Нашою метою є не порiвняння iнтелектуальних потужностей рiзних людей, а з’ясування обставин, за яких людина може максимально реалiзувати свої здiбностi стосовно до своїх же потенцiйних можливостей. Тому природно за одиницю вимiру величини Q взяти пiвсуму (Q11 + Q22)/2, яку будемо на-

зивати класичним значенням доробку. Отже, нас цiкавитиме знерозмiрений повний доробок Q . Оскiльки ми розглядаємо особистicть, однаково обдаровану талантами, тобто коли Q11 = Q22, то

Q = 1 + |Q12| p′′2Ω sin δ.

Q11

Максимально можливе “виснаження” творчої людини дорiвнює пiвсумi того, що походить вiд кожного з двох базисних станiв, плюс iнтерференцiйний перехресний доданок. Перехресний доданок, появу якого заперечує класична логiка (який i породжує парадокс живомертвого кота Шрединґера), залежить вiд двох параметрiв: частоти перестрибувань з одного роду дiяльностi на iнший Ω i фази δ.

Перехресний ефект може збiльшувати i зменшувати реалiзацiю потенцiйних можливостей людини залежно вiд цих параметрiв. Для максимально можливого вивiльнення свого таланту потрiбно, по-перше, згармонiзувати частоту переходiв Ω з протяжнiстю творчого життя так, щоб величина p′′2Ω

набула максимального додатного значення. По-друге, треба пiдiбрати фазу δ, щоб вона дорiвнювала π/2, а sin δ = 1. Тодi внесок “двокультурностi” в iнтеґральний творчий доробок буде не лише максимальним, а й матиме позитивний знак. Якщо фаза δ дорiвнює нулевi або частота перестрибувань велика (Ω → ∞, p′′2Ω → 0), то обдарована, талановита людина не розкриває до кiн-

ця своїх здiбностей i є “звичайною” людиною, реалiзуючи класичне значення Q = 1. Якщо ж при p′′2Ω > 0 фаза δ дорiвнює 3π/2, то маємо протилежний

знак вiд “двокультурностi”, i тодi це не просто загублений талант. Маємо трагедiю, оскiльки обдарована особистiсть не створила навiть i того, що створює ординарна людина. Здатнiсть людини “пiдпасовувати” параметри δ та Ω до

їхнiх екстремальних значень пояснює таке поняття, як незагублений рiзнобiчний талант.

680