Вакарчук І.О. Квантова механіка

~/2 формально переносимо на фотони щодо їх поляризацiйних

станiв. Зокрема зi станом “спiн униз” зiставляємо стан фотона з вертикальною поляризацiєю, позначмо його як | li; стан iз горизонтальною поляризацiєю фотона |↔i вiдповiдатиме становi “спiн

уверх”:

Тепер пригадаймо ситуацiю з телепортацiєю спiнового стану з §94 i переформулюймо її висновки на теперiшнiй випадок. Отже, задамо стан трьох фотонiв так, що один iз них, наприклад, перший, перебуває у спецiально пiдготованому станi

|ϕi1 = a | ↔i + b | li,

|a|2 + |b|2 = 1,

а два iншi у сплутаному суперпозицiйному станi

Хвильова функцiя, що описує систему трьох фотонiв у початковому станi, дорiвнює

|ψ123i = |Ψ−23i|ϕi1.

Спроектуємо |ψ123i на сплутаний стан |Ψ−12i першого i другого фотонiв. Як показано в §94, ця проекцiя дорiвнює (−1/2)|ϕi3. Тобто стан |ϕi в результатi такого проектування “перекидається”

зi знаком мiнус iз першого фотона на третiй. Кiнцева хвильова функцiя трьох фотонiв

|ψ123′ i = −|Ψ−12i|ϕi3,

а ймовiрнiсть реалiзацiї такої подiї дорiвнює (−1/2)2 = 1/4. Саме

цю телепортацiю i виявили в Iнститутi експериментальної фiзики Iнсбрукського унiверситету.

Розгляньмо схему цього унiкального експерименту, яка подана на рис. 74.

Короткий фемтосекундний iмпульс ультрафiолетового лазерного свiтла поширюється злiва направо крiзь нелiнiйний кристал.

761

Рис. 74. Схема Iнсбрукського експерименту з квантової телепортацiї.

762

Кристал вiд часу до часу перетворює поодинокi ультрафiолетовi фотони у два червонi фотони (“2” та “3”) з нижчою енерґiєю, тобто вiдбувається процес двофотонного випромiнювання. Один з фотонiв поляризований вертикально, а iнший горизонтально. Народженi фотони поширюються в межах поверхонь двох конусiв випромiнювання, у кожному з яких вони мають певну поляризацiю5. На двох лiнiях перетину цих конусiв фотони не матимуть визначеної поляризацiї: вони перебуватимуть у суперпозицiйному станi. Причому, наприклад, звичайними поворотами кристала можна приготувати антисиметричну суперпозицiю їхнiх поляризацiйних станiв. Позначимо цi фотони номерами “2” та “3”. Отже, ми маємо сплутаний стан |Ψ−23i, тобто приготували EPR“2–3”-пару

фотонiв.

Фотон “2” пiсля вiдбивання вiд дзеркала рухається до аналiзатора A. Вiдбита вiд дзеркала частина первинного iмпульсу знову

проходить крiзь кристал i породжує два iншi фотони “1” та “4”. Поляризатор P приготовляє стан |ϕi для фотона “1”. Детектор

фiксує фотон “4” i цим пiдтверджує, що фотон “1” був вiдiсланий також до аналiзатора A.

Отже, у деякий момент часу приготовлено початковий стан |ψ123i системи з трьох частинок, а саме: з фотона “1” у станi |ϕi, який направлено до аналiзатора A, фотона “2” з EPR “2–3”-пари, що рухається також до A, i “3”-го фотона з цiєї пари на шляху до аналiзатора B.

Переходимо нарештi до аналiзу результатiв вимiрювання над фотонами “1” та “2”. В аналiзаторi A, який складається з напiввi-

дбиваючого дзеркала, вiдбувається розщеплення променiв: кожен окремий фотон має “п’ятдесят на п’ятдесят” шансiв пройти крiзь дзеркало або вiдбитись. Отже, кожен iз фотонiв перебуває в суперпозицiйному станi.

Якщо два iдентичнi фотони “вдарять” у той самий час об дзеркало кожен зi свого боку, то вiдбита частина променя й та, що пройшла, iнтерферують i фотони тим самим утрачають свою iндивiдуальнiсть. Повна хвильова функцiя фотонiв як бозе-частинок дорiвнює добутковi просторової частини на “спiнову”, тобто поляризацiйну, i повинна бути симетричною щодо їх перестановок.

5В оптично одновiсних кристалах так звана звичайна хвиля поляризована

перпендикулярно до площини головного перерiзу (тобто площини, яка проходить через лiнiю напрямку променя i оптичну вiсь кристала), а iнша незвичайна хвиля поляризована паралельно до головного перерiзу. В достатньо товстих кристалах звичайна й незвичайна хвилi є просторово роздiленими.

763

Два фотони залишають дзеркало в одному напрямку (одному пучку), якщо їх просторова хвильова функцiя є симетричною, тобто вони обидва потрапляють в один iз детекторiв. Щоб потрапити в рiзнi детектори, вони повиннi описуватись антисиметричною частиною посторової хвильової функцiї.

Справдi, фотони потрапляють одночасно в рiзнi детектори, якщо вони обидва або проходять крiзь напiвпрозоре дзеркало, або обидва вiдбиваються. А пiдрахунок iмовiрностi такої подiї, згiдно з принципами квантової механiки, робимо так: беремо суму просторових амплiтуд цих двох альтернативних подiй i пiдносимо її модуль до квадрата. Нагадаємо, що при вiдбиваннi амплiтуда електромагнiтної хвилi набирає додаткової фази стосовно амплiтуди хвилi, яка пройшла крiзь дзеркало. Iншими словами, у просто-

рової частини хвильової функцiї фотона при цьому набiгає деяка фаза6.

Отже, при утвореннi сплутаного стану двох фотонiв, коли їх реєструють одночасно в рiзних детекторах, просторову частину хвильової функцiї можна зробити антисиметричною пiдбором цiєї фази. Тобто амплiтуда другої подiї (мова йде про вiдбивання фотонiв) додається зi знаком мiнус, якщо фазу пiдiбрати рiвною π.

Коли просторова частина хвильової функцiї є антисиметричною, то зрозумiло, що фотони не можуть бути в одному пучку, оскiльки така хвильова функцiя просто буде рiвна нулевi, i тому вони потрапляють в рiзнi детектори. У цьому випадку для збереження симетричностi повної хвильової функцiї її поляризацiйна частина мусить бути також антисиметричною, тобто дорiвнювати |Ψ−12i.

Тому якщо два детектори спрацьовують одночасно (схема увiмкнута на збiжнiсть), то ми знаємо, що фотони “1” та “2” перебува-

ють у сплутаному антисиметричному станi |Ψ−12i. А це, своєю чергою, говорить про те, що частинка “3” перебуває у станi (−)|ϕi3. Тобто, як тiльки два детектори в аналiзаторi A спрацювали одно-

часно, можна звiдси передавати класичним каналом iнформацiю7

6Як показано в §25 при проходженнi частинки крiзь потенцiальний бар’єр

(яким тут для фотона є напiвпрозоре дзеркало), хвиля, що пройшла крiзь бар’єр, набуває стосовно вiдбитої хвилi додаткової фази (π/2 − ka), k = 2π/λхвильовий вектор частинки, λ довжина хвилi. Наприклад, для тонкого бар’єра, a → 0, ця додаткова фаза дорiвнює π/2, а якщо ширину бар’єра вибрати рiвною 3/4 довжини хвилi, a = 3λ/4, то додаткова фаза має дорiвнювати (−π).

7Традицiйними персонажами в англомовнiй науковiй лiтературi, якi обмiнюються iнформацiєю мiж пунктами A та B, є пiдлiтки: Алiса з Амстердама

та Боб iз Бостона.

764

до точки B про те, що в аналiзаторi B повинен виявитись стан (−)|ϕi. Тим самим, стан |ϕi телепортовано з частинки “1” на ча-

стинку “3”.

Нехай для визначеностi фотон “1” приготовано поляризатором P у станi з 45◦-ною поляризацiєю8, тобто його початкова хвильова

функцiя

1

|ϕi = | i , | i = √ (| li + | ↔i) .

2

Для аналiзу поляризацiйного стану фотона “3” використовувалось

8Дiю такого поляризатора задаємо матрицею

Отже, якщо фотон потрапляє в поляризатор у станi | li, то пiсля цього маємо:

Тобто ми отримуємо стан iз поляризацiєю в 45◦, однак величина потоку цiєї хвилi дорiвнює лише половинi падаючого потоку. Якщо на цей поляризатор падає хвиля в поляризацiйному станi в 45◦, то

√

Легко переконатись, що (−45◦)-стан | i = (| ↔i − | li) / 2 є його власним

станом. Матрицi вертикального та горизонтального поляризаторiв такi:

так що Pl| li = | li, але Pl| ↔i = 0; аналогiчно P↔| li = 0, P↔| ↔i = | ↔i.

765

поляризацiйне дзеркало з двома детекторами. Один iз них налаштований на 45◦-стан, тобто на виявлення стану |ϕi, а iншийна перпендикулярний до нього (−45◦)-стан. Якщо спрацювали одночасно два детектори в аналiзаторi A i 45◦-детектор в аналiзаторi B, то можна говорити про телепортацiю за умови, що (−45◦)-детектор “промовчав”. Справдi, при телепортацiї ймовiр-

нiсть одночасного спрацьовування двох детекторiв в аналiзаторi

A дорiвнює 1/4, оскiльки при цьому реалiзується стан Ψ−12 один iз чотирьох базисних станiв Белла (Ψ−12, Ψ+12, Φ−12, Φ12). Iмовiрнiсть

спрацювання в цей момент (45◦)-детектора в аналiзаторi B дорiв-

нює одиницi, i отже, повна ймовiрнiсть того, що цi три детектори “заговорять” одночасно, дорiвнює 1/4. При цьому важливо, що при телепортацiї (−45◦)-детектор у B не спрацьовує.

Припустимо, що фотони “1” та “2” “вдарять” у дзеркало аналiзатора A неодночасно, тобто вони не iнтерферують. Це легко зробити, затримавши фотон “1” на його шляху до A, наприклад,

змiною положення дзеркала, що вiдбиває первiсний фемтосекундний iмпульс. Тепер iмовiрнiсть одночасного спрацювання обох детекторiв в A дорiвнює двом шансам iз чотирьох: обидва фотони

або вiдбиваються вiд дзеркала, або обидва пройшли крiзь нього. А ймовiрнiсть спрацьовування кожного з детекторiв у B дорiв-

нює 1/2. Так що ймовiрнiсть одночасного спрацьовування трьох детекторiв (двох в A i одного в B) дорiвнює 2/4 × 1/2 = 1/4. Тоб-

то маємо ту саму ймовiрнiсть, що i при телепортацiї, однак тепер спрацьовує i (−45◦)-детектор в аналiзаторi B. Отже, якщо пiдрахувати кiлькiсть спрацювань (−45◦)-детектора залежно вiд часу

затримки фотона “1”, то в мiнiмумi цiєї залежностi (який теоретично дорiвнює нулевi) матимемо телепортацiю стану |ϕi з точки A в точку B.

§ 96. Квантовий комп’ютер

Теорiя квантових комп’ютерiв мiждисциплiнарна наука, що виникла на перетинi квантової фiзики i математики. Квантовi комп’ютери виявляють порiвняно з класичними обчислювальними машинами принциповi переваги завдяки використанню суттєво квантових ефектiв. Така наука, як криптографiя, також знайшла новий розвиток, оскiльки технiчнi засоби захисту iнформацiї прямо пов’язанi з можливостями обчислювальних машин, а крiм того, новi можливостi дають i принципи квантової механiки. Торкнемось тут цих питань iз метою зацiкавити Читача.

766

Неподiльна одиниця класичної iнформацiї, що набуває два значення 0 i 1, має назву “бiт”. Квантовi системи з двома станами називають квантовими бiтами (qubits), скорочено кубiтами або квабiтами, базисом яких є:

Тобто квабiт це нормованi на одиницю вектори двовимiрного гiльбертового простору. Вiн може зображати числа 0 i 1. Квабiтом може слугувати будь-яка квантова система, яка має два стани (або й бiльше). З прикладами таких систем ми вже неодноразово мали

Отже, ми отримуємо базис у 4-вимiрному гiльбертовому просторi, який може зображати числа вiд 0 до 3. Прямий добуток N квабiтiв очевидно утворює базис, вектор x у якому дозволяє зображати всi цiлi числа вiд 0 до 2N − 1 (N–квабiтовий реґiстр):

|xi = |xN−1xN−2 . . . x2x1x0i,

xj = (0, 1), j = 0, . . . , N − 1.

767

Розгляньмо квантовi логiчнi елементи, тобто оператори, що змiнюють стани окремого квабiта i з яких складається машина пiд назвою квантовий комп’ютер. Перетворення Адамара задаємо унiтарним оператором (див. приклад 3 до §13)

дiю якого на вектор стану легко знаходимо

Тобто цей оператор творить суперпозицiйнi стани, що в загальному випадку записуємо так:

тового реґiстра, складеного з N двостанових пiдсистем, є такою:

768

чає натуральне число з областi вiд 0 до 2N − 1. Це найголовнiша

перевага квантового комп’ютера над класичним, адже в класичному комп’ютерi кожен його стан задає лише одне число, а у квантовому його стан задає 2N чисел. Наприклад, якщо ква-

бiти це атоми, то спецiально пiдiбранi лазернi iмпульси дiють на їхнi електроннi стани i початкова суперпозицiя 2N чисел еволю-

цiонує до iншої суперпозицiї так, що змiнюється кожне вхiдне число. Це означає, що квантовий комп’ютер за один крок проводить одну операцiю над 2N рiзними вхiдними числами паралельно, i в результатi на виходi маємо суперпозицiю 2N нових чисел. Класичний комп’ютер такi обчислення мусить проводити за 2N крокiв або за один крок, але на 2N паралельно працюючих комп’ютерах.

Отже, квантовий комп’ютер дає великий виграш як часу обчислень, так об’єму пам’ятi. Ця властивiсть квантового комп’ютера має назву квантовий паралелiзм, i саме вона визначає його так звану надефективнiсть.

для того, щоб сконструювати довiльний унiтарний квантовий оператор, тобто квантовий логiчний елемент, що дiє на один квабiт.

Наведемо зараз простий одноквабiтовий квантовий пристрiйтак званий iнтерферометр Маха–Цандера (див. рис. 75). Отже, нехай ми маємо напiвпрозорий бар’єр для частинок, це може бути тонке напiвпосрiблене дзеркало 1, на яке падає фотон.

Вiдбиваючись вiд двох звичайних плоских дзеркал 2 та 3, пучки рощепленого вихiдного пучка знову сходяться на напiвпосрiбленому дзеркалi 4. Обчислимо ймовiрностi потрапляння частин-

769

Рис. 75. Iнтерферометр Маха–Цандера. 1,4 дiльники частинок у вiдношеннi 50/50; 2,3 дзеркала; D0, D1 детектори частинок.

оскiльки частинка двiчi проходить крiзь бар’єр, щоразу уполовинюючи ймовiрнiсть, i двiчi набуває фазу π/2 (див. §25 та виноску

на стор. 764). Амплiтуда потрапляння частинки в цей детектор по

з принципом суперпозицiї, дорiвнює сумi амплiтуд по правому й лiвому шляхах:

eiπ 1

A0 = 2 + 2 = 0,

i, отже, частинка нiколи не потрапить у детектор D0. Аналогiчно обчислюємо й амплiтуду потрапляння частинки в детектор D1.

770