Вакарчук І.О. Квантова механіка

Якщо функцiя G вiдома, то загальний розв’язок нашого вихiдного

рiвняння може бути записаний у виглядi

Z

ψ(r) = ψk(r) + G(r, r′)2~m2 U(r′)ψ(r′)dr′.

Справдi, якщо подiяти на цей вираз оператором 2+k2, то перший доданок iз ψk(r) дає нуль, а дiя на G(r, r′) пiд iнтеґралом дає δ-

функцiю, яка знiмає iнтеґрування, i ми отримаємо праву частину вихiдного рiвняння.

Для того щоб знайти функцiю Ґрiна, пригадаймо, що кулонiвський потенцiал задовольняє рiвняння Пуасcона:

при k = 0 отримаємо, що G(R) = −1/4πR. З iншого боку, якщо R 6= 0, то функцiя Ґрiна повинна мати експонентний вигляд,

оскiльки права частина рiвняння дорiвнює нулевi, а другi похiднi вiд функцiї G(R) пропорцiйнi їй самiй. Таким чином, приймаємо,

що

= δ(R) + α2G(R),

821

де множник бiля δ-функцiї береться, зрозумiло, при R = 0. Звiдси

випливає, що наш вираз для функцiї Ґрiна задовольняє рiвняння для неї, якщо α2 + k2 = 0, тобто α = ±ik. Отже,

Як бачимо, ми отримали сферичнi хвилi. Оскiльки нас цiкавитимуть великi значення координати r, то i для функцiї ψ(r), у рiвняння якої входить G(R), ми також отримуємо сферичну хвилю.

Причому знак “+” у показнику експоненти вiдповiдає хвилям, що поширюються вiд центра (розсiянi хвилi), а знак “−” дає хвилi,

що збiгаються до центра. Нас цiкавить саме розсiяна хвиля, тому рiвняння для функцiї ψ(r) остаточно запишемо в такому виглядi:

Зазначимо, що це не є розв’язоком рiвняння Шрединґера, оскiльки пiд iнтеґрал входить шукана функцiя. Отриманий вираз є точним iнтеґральним рiвнянням для хвильової функцiї ψ(r) i лише iншим записом рiвняння Шрединґера.

Оскiльки нас цiкавить розв’язок при r → ∞, зробимо деякi простi перетворення. Потенцiальна енерґiя U(r′) має деякий радiус дiї r0. Це означає, що при r′ > r0 функцiя U(r′) швидко спадає i внеску в iнтеґрал не дає. Отже, актуальнi значення змiнної iнтеґрування r′ обмеженi радiусом r0. Тому при r → ∞ величина r′/r

є малою. Таким чином, ми можемо скористатись розкладом:

де одиничний вектор n = r/r. Якщо зберiгати лише ведучi члени

асимптотики, то хвильова функцiя

822

де хвильовий вектор

k′ = kn

за величиною збiгається з хвильовим вектором частинки, що налiтає, а за напрямком руху розсiяної частинки. Iншими словами, ~k′ це iмпульс розсiяної частинки. Перепишемо отриманий ви-

раз для хвильової функцiї так:

називають амплiтудою розсiяння. Вона вiдiграє центральну роль

у теорiї зiткнень. Амплiтуда розсiяння залежить вiд векторiв k i p

k′, тобто вiд енерґiї налiтаючої частинки, k = 2mE/~2, i кута

розсiяння θ = d′ : k k

f = f(k, k′) = f(k, θ).

Амплiтуда розсiяння f має розмiрнiсть довжини.

Знайдемо зв’язок мiж амплiтудою f i диференцiальним пере-

рiзом розсiяння. Для цього потрiбно знайти потiк розсiяних частинок:

j = 2mi~ (ψроз ψроз − ψроз ψроз),

1 eikr

ψроз(r) = √V r f.

Нас цiкавить випадок r → ∞. Обчислюємо похiднi, залишаючи

головний внесок:

j = ~mk V1 n|f|2 r12 = j0 n |f|2 r12 .

Пiдставляємо цей вираз в означення диференцiального перерiзу розсiяння i остаточно знаходимо:

dσ = |f|2. dΩ

823

У границi малих значень енерґiї k → 0 амплiтуда розсiяння

f = −a,

де величину a часто називають довжиною розсiювання. Вона ха-

рактеризує радiус дiї мiжчастинкових взаємодiй.

Розгляньмо розсiювання тотожних частинок. У цьому випадку нам потрiбно певним чином симетризувати хвильову функцiю. Залежно вiд спiнового стану i статистики, якiй пiдкоряються частинки, просторова хвильова функцiя може бути симетричною або антисиметричною щодо їх перестановки. Оскiльки ми працюємо в системi центра мас, то хвильова функцiя вiдносного руху залежить вiд радiус-вектора r = r1 − r2. Перестановка частинок мiсцями приводить до замiни r1 − r2 = r на r2 − r1 = −r. У сферичних координатах така замiна означає замiну кута розсiяння θ на (π − θ). Отже, належно симетризована хвильова функцiя

eikr

ψ(r) = const × eikr ± e−ikr + r [f(θ) ± f(π − θ)] .

Тепер диференцiальний перерiз розсiяння

dσ = |f(θ) ± f(π − θ)|2. dΩ

Якщо система частинок не має визначеного спiнового стану, тобто пучок є неполяризованим, то для диференцiального перерiзу розсiяння беремо суму:

dσ = C+|f(θ) + f(π − θ)|2 + C−|f(θ) − f(π − θ)|2. dΩ

Наприклад, для частинок, спiн яких дорiвнює 1/2, усiх можли-

вих спiнових станiв є чотири: один синґлетний, коли повний спiн S = 0, i три триплетнi стани з проекцiями спiну m = −1, 0, 1, коли повний спiн S = 1. У цьому випадку ваговi коефiцiєнти C+ = 1/4,

C− = 3/4.

824

§ 105. Борнiвське наближення

Зупинимося на обчисленнi амплiтуди розсiяння в так званому борнiвському наближеннi (М. Борн, 1926). У цьому пiдходi iнтеґральне рiвняння для хвильової функцiї розв’язуємо методом iтерацiй.

У першому борнiвському наближеннi у вихiдний вираз для амплiтуди розсiяння

f = − m Z e−ik′r′ U(r′)√V ψ(r′) dr′

2π~2

пiдставляємо першу iтерацiю iнтеґрального рiвняння для функцiї ψ(r′), тобто плоску хвилю:

Уведемо коефiцiєнт Фур’є енерґiї мiжчастинкової взаємодiї

Отже, амплiтуда розсiяння в першому борнiвському наближеннi

m

f = −2π~2 νq,

Борнiвське наближення застосовне за умови, що потенцiальна енерґiя може розглядатись як збурення. Це означає, що енерґiя й iмпульс налiтаючої частинки повиннi бути достатньо великими.

825

Розгляньмо докладнiше цi умови. Для цього нам потрiбно повернутись до iнтеґрального рiвняння з попереднього параграфа для хвильової функцiї ψ(r) i пiдставити його другу iтерацiю у

Умовою збiжностi цього ряду, тобто умовою застосовностi борнiв-

плiтуду розсiяння, нiж перша. Замiсть r′′ уведемо нову змiнну iнтеґрування r = r′ − r′′ i запишемо цю нерiвнiсть так:

Якщо радiус дiї потенцiалу дорiвнює a, то, по-перше, зважаючи на оцiночний характер наших обчислень, замiнимо U деяким

значенням ¯ з основної областi його iснування. По-друге, оскiль-

U

ки довжини радiус-векторiв r′ та r′′, за якими вiдбувається iнтеґрування у виразi для амплiтуди f, також обмеженi радiусом дiї потенцiалу, то й iнтеґрування за r обмежимо цим радiусом. Пi-

сля цих спрощень та iнтеґрування за кутовими змiнними наша нерiвнiсть набирає такого вигляду:

826

Якщо швидкостi частинок, якi налiтають на мiшень, є малими, ka < 1, то звiдси, розкладаючи експоненту в ряд, отримуємо таку

умову:

При великих швидкостях частинок, коли величина ka > 1, експо-

нента швидко осцилює i в середньому внеску не дає, тому тепер наша умова є такою:

| ¯ | ma U

~2k 1

або

| ¯ | a U

~v 1,

v = ~k/m швидкiсть частинки.

Як приклад розгляньмо розсiювання на кулонiвському потенцiалi

U(r) = ZZαe2/r,

де Z заряд силового центру, Zα заряд, налiтаючої на нього частинки. Оскiльки для цього потенцiалу iнтеґрал за r в умо-

вi застосовностi борнiвського наближення має, як легко бачити, логарифмiчну розбiжнiсть, то скористаймось таким трюком. Розгляньмо екранований потенцiал Юкави

друга умова (коли ka > 1)

ZZαe2 1,

~v

як незалежна вiд параметра a, має силу за будь-яких його значень, а отже, i при a → ∞, тобто для кулонiвського потенцiалу.

Тому борнiвське наближення застосовне i для кулонiвського потенцiалу, якщо налiтаюча на мiшень частинка має достатньо велику швидкiсть.

827

Тому що коефiцiєнт Фур’є для кулонiвського потенцiалу

де енерґiя налiтаючої частинки E = ~2k2/2m. Ця формула збiга-

ється з вiдомою формулою Резерфорда, яка отримана методами класичної механiки. Формула Резерфорда не працює при малих кутах розсiяння, коли θ → 0. Зауважимо, що точний квантовоме-

ханiчний розв’язок цiєї задачi дає цей же результат. Виявляється, що в точному розв’язку модуль амплiтуди розсiяння дорiвнює борнiвському наближенню “набiгає” лише фаза. Отже, класична i квантова механiка дають для диференцiального перерiзу розсiяння в кулонiвському полi однаковий результат.

§ 106. Розсiяння електронiв на атомi

Проведемо розрахунок диференцiального перерiзу розсiяння електронiв на атомi без урахування обмiнних ефектiв, тобто не симетризуючи хвильових функцiй електрона, що налiтає на атом, iз хвильовими функцiями електронiв, якi є в атомi. Уведемо потенцiал поля ϕ так, що потенцiальна енерґiя електрона в полi

атома

U = eϕ.

Потенцiал ϕ задовольняє рiвняння Пуассона:

ϕ = −4πρ,

828

де ρ густина зарядiв атома. Вона враховує заряд ядра й заряд атомних електронiв, розподiлених з густиною n(r)

ρ = Z|e|δ(r) + en(r),

нагадаємо, що заряд електрона e = −|e|. Запишемо розклади

Фур’є:

ϕ = V1 X ϕqeiqr,

q

δ(r) = V1 X eiqr,

q

n(r) = V1 X nqeiqr.

q

Для коефiцiєнтiв Фур’є цих величин рiвняння Пуассона дає:

−q2ϕq = −4π(Z|e| + enq),

Коефiцiєнт Фур’є енерґiї взаємодiї

νq = Z U(r)e−iqrdr = eϕq = −4πeq2 2 (Z − nq),

де фур’є-образ електронної густини

Z

nq = n(r)e−iqrdr.

Таким чином, амплiтуда розсiяння в борнiвському наближеннi f = −mνq/2π~2, а диференцiальний перерiз розсiяння

829

У цiй формулi зведена маса m = me, де me маса електрона.

Проаналiзуймо отриманий вираз при малих значеннях iмпульсу передачi q:

Другий доданок iз скалярним добутком qr у цьому розкладi при iнтеґруваннi за кутом θ дає нуль, а в третьому доданку вiд усереднення cos2 θ виникає множник 1/3. Диференцiальний перерiз

у цiй границi є скiнченною величиною:

Таким чином, на вiдмiну вiд випадку кулонiвського потенцiалу, урахування електронної структури атома робить застосовним борнiвське наближення i при малих кутах розсiяння θ.

При великих значеннях iмпульсу передачi q величина nq → 0 i ми отримуємо формулу Резерфорда:

§107. Метод парцiальних хвиль

Уцентральному полi U = U(r) момент iмпульсу є iнтеґралом

руху, тому стани з рiзними значеннями орбiтального квантового числа l даватимуть у розсiяння незалежнi внески. Отже, пере-

рiз розсiяння може бути зображений у виглядi суми парцiальних перерезiв розсiяння для певних значень орбiтального квантового числа. Нашим завданням є знайти цей вираз.

830