Вакарчук І.О. Квантова механіка

Будь-який розв’язок рiвняння Шрединґера можна зобразити (див. §38) у виглядi розкладу за добутками сферичної функцiї Yl,m(θ, ϕ) на радiальну функцiю RE,l(r), яка задовольняє рiвняння

Тут ми розглядаємо випадок неперервного спектра, коли енерґiя E = ~2k2/2m, тому для радiальної функцiї χl маємо рiвняння:

похiднi функцiї χl за r позначено штрихами. У теорiї розсiяння нас цiкавлять розв’язки рiвняння при r → ∞. Аналiз виписаних

рiвнянь для цього випадку ми провели ранiше в §38. Тут, однак, нас цiкавитимуть i фази хвильових функцiй, тому зробимо докладнiший аналiз радiального рiвняння Шрединґера.

Почнемо з вiльної частинки (U = 0). Точний розв’язок рiвняння для функцiї χl легко знаходимо пiдстановкою

831

Звiдси очевидно, що wl = ul+1. Отже, ми знайшли таке спiввiдно-

шення:

Випишемо тепер рiвняння для функцiї χ0:

χ′′0 + k2χ0 = 0.

Розв’язок цього осциляторного рiвняння повинен забезпечити скiнченнiсть радiальної функцiї R = χ0/r на малих вiдстанях,

тому

χ0 = C sin kr.

Знайдемо сталу C з умови нормування для неперервного спектра, нормуючи хвильовi функцiї на δ-функцiю вiд модулiв хвильових

векторiв k:

Z ∞

Rk′,l(r)Rk,l(r)r2dr = δ(k′ − k).

0

Тут i далi ми будемо приписувати радiальнiй функцiї, крiм ор- p

бiтального квантового числа l, квантове число k = 2mE/~2,

що визначає енерґiю. У нашому випадку ця умова нормування

дає:

Z ∞

C2 sin k′r sin kr dr = δ(k′ − k),

0

832

Оскiльки хвильовi вектори k′ та k є додатними величинами i, за умовою задачi, в теорiї розсiяння не дорiвнюють нулевi k′ > 0, k > 0, то δ(k′ + k) = 0. Отже, лiва частина рiвняння умови нормування дорiвнює δ(k′ − k)πC2/2 i πC2/2 = 1. Тому

r

i точний розв’язок радiального рiвняння Шрединґера для вiльної частинки має вигляд

де сталу нормування Cl нам необхiдно ще знайти.

833

Ведучий член асимптотики при r → ∞ вiдшукаємо, якщо по-

хiднi брати лише вiд синуса:

Саме ведучий член асимптотики i визначає iнтеґрал нормування, оскiльки решта порiвняно з ним (розбiжним при k′ = k) дають зникаюче малий внесок. Тому сталу Cl знаходимо з умови норму-

вання цього асимптотичного виразу:

Повторюючи викладки, зробленi вище для l = 0, знаходимо, що

834

При малих значеннях r, розкладаючи синус, маємо:

Кожне диференцiювання разом iз множником 1/r зменшує степiнь змiнної r на 2. Тобто, диференцiюючи l разiв r2n, отримуємо вираз r2n−2l. Головний внесок у Rk,l(r), пропорцiйний до rl, отримуємо, якщо n = l:

Перейдемо до встановлення асимптотичного вигляду радiальної функцiї частинки, що рухається в полi з потенцiальною енерґiєю U при r → ∞. Оскiльки при r → ∞ величина U → 0, то зрозумiло, що залежнiсть радiальної функцiї Rk,l вiд вiдстанi r є та-

кою ж, як i для вiльної частинки може змiнитись лише фаза хвильової функцiї:

Тут δl додаткова фаза, що “набiгає” внаслiдок дiї поля U. Для вiльної частинки, коли U = 0, додаткова фаза δl = 0.

Маючи цi вирази, ми можемо знайти тепер асимптотичний вираз хвильової функцiї частинки, що розсiюється на силовому центрi. Виберемо таку систему координат, у якiй вiсь z напрямлена вздовж iмпульсу налiтаючої частинки k, i розкладемо плоску хви-

лю в ряд за добутками сферичної функцiї на радiальну функцiю вiльної частинки:

l=0 m=−l

835

коефiцiєнти розкладу. Оскiльки kr = kz = kr cos θ i з лiвого боку вiдсутня залежнiсть вiд азимутального кута ϕ, то залишається лише внесок iз магнiтним квантовим числом m = 0,

коли сферична функцiя зводиться до полiнома Лежандра:

Коефiцiєнти розкладу Bl знаходимо шляхом порiвняння множникiв бiля r cos θ у лiвiй i правiй частинах цiєї рiвностi

Хвильова функцiя частинки в потенцiальному полi U на великих

вiдстанях буде мати вигляд, який рiзниться вiд цього додатковою фазою δl пiд знаком синуса i сталими Cl:

836

Вiднiмемо вiд цього виразу плоску хвилю i отримаємо, за означенням, хвильову функцiю розсiяної частинки

eikr

f r = ψ(r) − eikr.

√

Ми не беремо тут до уваги сталої величини 1/ V , яка випадає при визначеннi амплiтуди розсiяння f. Отже,

Сталi величини Cl пiдберемо так, щоб залишалась лише хвиля,

яка поширюється вiд центра. Для цього треба покласти

Cl = eiδl .

У результатi

f = 2ik X∞ (2l + 1)(1 − e2iδl )Pl(cos θ).

l=0

Цей вираз розв’язує задачу зображення повної амплiтуди розсiяння через парцiальнi внески з рiзними значеннями орбiтального квантового числа, якi залежать вiд додаткової фази δl.

837

Повний перерiз розсiяння

ZZ π

σ = |f|2dΩ = 2π |f|2 sin θdθ

0

легко знайти, якщо врахувати, що полiноми Лежандра є взаємно ортогональними для рiзних значень l, що випливає з ортогональ-

ностi сферичних функцiй (див. §34):

X

l=0

Звiдси, зокрема, маємо, що максимальний перерiз розсiяння iз заданим l дорiвнює 4π(2l + 1)/k2, якщо фаза δl = π/2 + nπ, n = 0, 1, 2, . . .. При δl = nπ парцiальний внесок до перерiзу розсi-

яння дорiвнює нулевi. Коли в околi максимуму парцiального внеску в σ фаза δl швидко змiнює своє значення як функцiя енерґiї

налiтаючої частинки, то говорять про так званий резонанс. Припускаючи поблизу резонансу лiнiйну залежнiсть фази вiд енерґiї δl π/2 + 2(E − Er)/ , де Er, додатнi величини, якi характе-

ризують його положення i ширину, та, зауважуючи, що при цьому ctg δl −2(E − Er)/ , знаходимо парцiальний внесок до перерiзу

розсiяння

формула Брейта–Вiґнера.

838

Повний перерiз можна записати через уявну частину амплiтуди розсiяння. Справдi, з виразу для f маємо

1 X∞

Imf(θ) = 2k l=0 (2l + 1)(1 − cos 2δl)Pl(cosl θ).

Оскiльки при θ = 0 полiном Pl(1) = 1, то

Imf(0) = k1 X∞ (2l + 1) sin2 δl.

l=0

Отже,

σ = 4kπ Imf(0),

тобто повний перерiз розсiяння визначається уявною частиною амплiтуди розсiяння вперед. Це спiввiдношення називають оптичною теоремою.

Приклад. Розсiяння на потенцiалi твердих сфер. Нехай потенцiальна енерґiя U дорiвнює нулевi при r > a i набуває безмежнi значення при r ≤ a. Прикладом такої взаємодiї є зiткнення бiльярдних куль дiаметром a. Така функцiя U моделює вiдштовхувальну частину взаємодiї, наприклад, атомiв гелiю. Розгляньмо внесок у розсiяння s-хвиль, тобто коли l = 0. Хвильова

Для забезпечення умови Rk,0(r) = 0 при r = a необхiдно покласти фазу

δ0 = −ka.

Тепер iз формули для повної амплiтуди розсiяння через парцiальнi внески, наведеної в цьому параграфi, отримаємо при l = 0 амплiтуду в наближеннi

f = −a.

839

Цей вираз увiв у 1936 роцi Е. Фермi для опису взаємодiї нейтронiв iз ядрами. Нагадаємо, що тут m є зведеною масою i для розсiяння двох однакових ча-

стинок вона дорiвнює половинi маси частинки. Наприклад, для двох атомiв

гелiю

U = 4πm~2 aδ(r),

m маса атома.

§ 108. Теорiя непружного розсiяння

Нехай частинка з iмпульсом p = ~k i координатою r налiтає на систему, що складається iз сукупностi N частинок iз координатами Rj , j = 1, . . . , N. Позначимо оператор потенцiальної енерґiї

взаємодiї налiтаючої частинки iз системою через ˆ . Вiн складає-

V

ться iз суми енерґiй взаємодiї з кожною частинкою системи

Для розрахунку диференцiального перерiзу розсiяння будемо виходити з виразу для ймовiрностi переходу за одиницю часу:

wi→f = 2~π |Vfi|2δ Ef(0) − Ei(0) .

Хвильова функцiя налiтаючої частинки до розсiяння є плоскою хвилею

eikr

|ki = √ . V

Ми нормуємо хвильовi функцiї на великий об’єм перiодично-

стi V . Початкова енерґiя Ei(0) складається iз суми енерґiї частинки ~2k2/2m й енерґiї системи, яку ми позначимо через EA:

840