22.Система уравнений для расчета параметров осн. Видов км

Важнейшие параметры - коэфф-ты регрессии а0, а1, …а(n).При их обосновании исп-ся 2 способа: 1)метод моментов, 2) метод наименьших квадратов(МНК).Сущность МНК в том, что нужно найти такие знач-ия а0, а1,…а(n), при кот. сумма квадратов отклонений расчётных знач-й рез-го пок-ля от фактич-го - величина мин, в идеале предел 0. Σ(Ух-Уi)^2→min,lim→0. Чем < разность, тем в большей степени коэфф-ты регрессии а0, а1,..а(n) характ-ют измен-ие результ-го пок-ля. В чём выражается МНК и как рассчитывать на его основе а0, а1,…,а(n). Допустим, что мы хотим рассчитать параметры простейшей лин. однофакторн. КМ:Ух=а0+а1х. Подставим выраж-е справа в фор-лу МНК: Σ(а0+а1х-уi)^2=(а0+а1*х1-у1)^2+(а0+а1*х2-у2)^2+…+(а0+а1*хn-yn)^2. В получ-х выраж-ях неизв. явл-ся а0 и а1. Найдём их значения, взяв производные по а0 и а1, dy/da0=2(а0+а1х1-у1)+2(а0+а1х2-у2)+…+2(а0+а1хn-уn),dy/dа1=2(а0+а1х1-у1)х1+ 2(а0+а1х2-у2)х2+…+2(а0+а1хn-уn)хn. Тк лев. части=0, то сл-но и прав.=0. Тк все выражения справа имеют общ. множитель 2, то поделив на него получим тождестве-нные выраж-я. (а0+а1х1-у1)+(а0+а1х2-у2)+…+(а0+а1хn-уn)=0, (а0+а1х1-у1)х1+ (а0+а1х2-у2)х2+…+(а0+а1хn-уn)хn=0. Упростим получ. выраж-е: а0*n+а1*(х1+х2+…+хn)=у1+у2+…+уn, а0*n+а1*Σх=Σу,

а0*(х1+х2+…+хn)+а1*(х1^2+x2^2+…+хn^2)=у1*х1+у2*х2+…+уn*хn, а0*Σх+а1*Σх^2=Σу*х. Т.о. чтобы найти а0,а1 линейной однофакторной КМ необх. решить систему ур-ний. Допустим, что модель линейная многофакторная: Ух=а0+а1*х1+а2*х2+…+аn*х*n. Необх. найти параметры а0,а1,…,аn. Запишем с-му для нахождения а0,а1,…аn на основе логики формир-я сис-мы ур-ний для лин-ой однофакторной КМ. Логика формир-ия сис-мы ур-ний для нахождения параметров а0,а1,…,аn : 1)число ур-ний на 1 больше числа факторов;2)первое ур-ие записываем как: а0*n+все последующие коэф-ты регрессии умножая на суммы соответств. факторов = сумме у : а0*n+а1*Σх1+а2*Σх2+… +аn*Σxn=Σy 3) второе ур-ние-это первое без n умножаем на первую сумму, третье ур-ние —первое без n «*» на сумму x^2, n-ое уравнение-первое без n, умноженное на Σх. а0*Σх1+а1*Σх1^2+а2*Σх1х2+… +аn*Σх1хn=Σух1; а0*Σх2+а1*Σх1х2+а2*Σх2^2+…+аn*Σхnх2=Σух2 ……… а0*Σхn+ +а1*Σх1хn+а2*Σх2хn+…+а2*Σхn^2=Σухn. Если модель нелин., то методика формир-ия сис-мы ур-ний для нахождения параметров а0, а1…аn след.: Допустим, что нелинейн. модель простейшая степенная: Ух=а0х^а1. Приводим эту модель к условию линейной, для чего логорифмируем: LgУх=Lgа0+А1Lgx, Ух'=а0'+а1х' – однофакторн. лин. КМ. Для нахождения параметров этой модели в классич. варианте Ух=а0+а1х надо было решить систему уравнений: {а0*n+a1Σх=Σу, а0*Σхn+а1Σх^2=Σух; В нашем сл. а0 надо заменить на а0', Ух-Ух' ,х-х'. { а0'n+а1Σх'=Σу', а0'Σх'+а1Σх^n=Σу'х'; Заменим в системе уравнений а0',х',у' на исх. значения. { Lgа0n+а1ΣLgx=ΣLgу, Lgа0ΣLgx+a1Σ(Lgx)^2= =ΣLgуLgx; Чтобы найти параметры а0, а1 не лин. модели необх. решить сис-му. Если модель нелин. имеет n факторов, то сис-ма ур-ний формируется по тем же принципам, как и в многофакторн. лин. модели. Возможна ситуация, когда в многоф-ой лин. модели отд-ые из факторов следует учесть как нелин. влияющие: Ух=а0+а1х1+а2х2+а3х3^к+…+аnxn,к≠1. В этом случае в системе ур-ний для нахождения пар-ов а0, а1,…аn вместо х3 везде запишем х3^к. Возможна ситуация, что влияние отд-го фактора в КМ будет опис-ся выраж-ем: Ух=а0+а1х1+а2х2+а3х3+аnх3^k, к=1. Влияние х3 выраж-ся ур-нием из 2 членов , тогда при записи сис-мы ур-ний для нахождения а0, …,аn каждый член выраж-ия будем считать как самост. фактор, т.е. в нашем случае сис-ма будет состоять из 4 факторов, 4-й фактор-х3^к