Утверждаю

Зам. директора по УПР

________ Мельник Л.В.

«___» ________ 2012 г.

Перечень вопросов для подготовки к экзамену

Дисциплина: Математика (II семестр)

Специальность: 2-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий

Специализация: 2-40 01 01 35 Программное обеспечение обработки экономической и деловой информации

Квалификация: Техник-программист

Преподаватель: Полейчук Э.А.

Рассмотрен на заседании цикловой комиссии

Протокол № ___ от ______________

Председатель цикловой комиссии Овчинникова Л.И.

Теоретические вопросы

1. Сформулируйте основные определения, связанные с понятием производной. Сформулируйте и докажите теорему о связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке.

2. Сформулируйте теоремы о нахождении производной суммы, произведения и частного двух функций, о производной сложной и обратной функции. Докажите одну из этих теорем.

3. Дайте определения функций, заданных параметрически и неявно, опишите метод нахождения производных таких функций.

4. Раскройте сущность понятия дифференциала, перечислите его свойства. Докажите свойство инвариантности формы дифференциала. Дайте понятие дифференциалов высших порядков.

5. Сформулируйте и докажите теоремы Лагранжа и Ролля.

6. Сформулируйте и докажите теорему Коши (дифференциального исчисления).

7. Сформулируйте и докажите правило Лопиталя и следствия из него.

8. Приведите схему исследования функции, сформулируйте основные определения и теоремы, которые используются при исследовании функции на экстремум. Сформулируйте достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции, точки перегиба.

9. Сформулируйте определение асимптоты графика функции, назовите виды асимптот, формулы для вычисления коэффициентов в уравнении наклонной асимптоты. Приведите примеры функций, графики которых имеют асимптоты.

10. Сформулируйте определения функции двух переменных, многих переменных, линии и поверхности уровня, предела и непрерывности функций многих переменных.

11. Дайте понятие частных производных первого порядка функции многих переменных, полного дифференциала первого порядка, приведите примеры.

12. Дайте понятие частных производных второго и более высоких порядков функции многих переменных, точки локального экстремума функции двух переменных. Сформулируйте необходимое и достаточное условия локального экстремума функции двух переменных.

13. Дайте понятие первообразной и неопределенного интеграла. Перечислите простейшие свойства неопределенного интеграла. Приведите примеры «неберущихся» интегралов.

14. Перечислите формулы таблицы интегралов. Приведите примеры непосредственного интегрирования функций.

15. Дайте описание основных методов интегрирования (метод замены переменной, интегрирование по частям). Укажите классы функций, интегралы от которых вычисляются с помощью интегрирования по частям.

16. Опишите метод нахождения интегралов вида , , , .

17. Опишите метод интегрирования рациональных функций. Укажите типы простейших дробей и методы их интегрирования.

18. Дайте описание метода разложения рациональной функции на сумму простейших дробей.

19. Раскройте сущность понятия определенного интеграла на примере задачи о вычислении площади криволинейной трапеции. Дайте определение интегральной суммы и определенного интеграла.

20. Дайте понятие нижней и верхней сумм Дарбу, перечислите их свойства. Докажите любые два из этих свойств.

21. Сформулируйте необходимое и достаточное условия интегрируемости функции на данном отрезке . Приведите доказательства этих теорем.

22. Перечислите свойства определенного интеграла. Приведите доказательство двух свойств (по выбору).

23. Сформулируйте и докажите теоремы о среднем.

24. Дайте понятие интеграла с переменным верхним пределом. Сформулируйте теорему о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом, следствие из нее. Докажите эту теорему.

25. Сформулируйте и докажите теорему Ньютона-Лейбница.

26. Дайте описание основных методов вычисления определенного интеграла (метод замены переменной, интегрирование по частям).

27. Дайте характеристику методов приближенного вычисления определенного интеграла на примере формул прямоугольников и трапеций.

28. Дайте понятия несобственных интегралов I и II рода, укажите правила их вычисления, приведите примеры.

29. Сформулируйте определение линейного пространства, приведите примеры линейных пространств.

30. Сформулируйте определения базиса и размерности линейного пространства, координат вектора в данном базисе, матрицы перехода между базисами. Дайте понятие линейного оператора, приведите примеры линейных операторов.

31. Сформулируйте определение евклидова пространства, приведите примеры евклидовых пространств.

32. Назовите основные определения теории числовых рядов. Приведите примеры сходящихся и расходящихся рядов. Сформулируйте и докажите необходимое условие сходимости числового ряда, следствие из этой теоремы.

33. Сформулируйте теоремы сравнения для положительных числовых рядов, признаки Даламбера и Коши сходимости положительных рядов. Докажите одну из этих теорем.

34. Дайте определение абсолютной и условной сходимости ряда, приведите примеры. Сформулируйте теорему Лейбница и следствие из нее.

35. Дайте определение функционального ряда, его суммы и области сходимости. Раскройте сущность понятия равномерной сходимости функциональных рядов, сформулируйте мажорантный признак Вейерштрасса.

36. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства равномерно сходящихся рядов. Докажите теорему о непрерывности суммы равномерно сходящегося функционального ряда.

37. Дайте определение степенного ряда, его радиуса и интервала сходимости. Укажите формулы для вычисления радиуса сходимости (с выводом одной из них).

38. Назовите формулы разложения в ряд Маклорена для функций , , , , , , . Укажите область сходимости соответствующих рядов к этим функциям.

39. Дайте описание методов использования степенных рядов в приближенных вычислениях (при вычислении значений функций и определенных интегралов).

40. Дайте понятия ортогональной тригонометрической системы функций, ряда Фурье -периодической функции, сформулируйте теорему о сходимости ряда Фурье.

41. Сформулируйте основные определения теории дифференциальных уравнений первого порядка. Дайте описание метода решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

42. Дайте понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка и опишите метод его решения.

43. Дайте понятие линейного дифференциального уравнения первого порядка и опишите метод вариации произвольных постоянных для его решения.

44. Дайте описание метода решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью подстановки Бернулли. Дайте описание метода решения уравнения Бернулли.

45. Дайте определения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, его общего и частного решения, линейной зависимости и линейной независимости функций, определителя Вронского. Сформулируйте теорему о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

46. Дайте описание метода решения однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами с помощью характеристического уравнения.

47. Дайте понятие комплексного числа, назовите формы комплексного числа. Сформулируйте определения функции комплексной переменной, однозначной и многозначной функции, предела и непрерывности функций комплексной переменной.

48. Дайте понятия основных элементарных функций комплексной переменной.

49. Сформулируйте определения производной функции комплексной переменной, дифференцируемой и аналитической функции, сформулируйте условия Коши-Римана дифференцируемости функций, правила дифференцирования. Приведите примеры функций, которые не являются аналитическими.

50. Дайте понятие графа, перечислите основные определения, связанные с этим понятием (степени вершины, полного и пустого графа, подграфа, маршрута в графе, цепи, цикла, эйлерового цикла, связного графа, дерева).

51. Сформулируйте теорему Эйлера теории графов. Приведите решение задачи о кенигсбергских мостах. Дайте описание алгоритма Краскала построения минимального остовного дерева.

52. Дайте общее описание численных методов. Сформулируйте задачу аппроксимации функции. Дайте понятие интерполирования функции. Назовите интерполяционный многочлен Лагранжа.

53. Опишите метод наименьших квадратов получения эмпирических формул. Рассмотрите случай предполагаемой линейной зависимости между переменными.

54. Дайте описание методов приближенного решения нелинейных уравнений (метод деления отрезка пополам, метод хорд, метод касательных).

55. Опишите метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений.

Задачи

1. Найдите производную и дифференциал первого порядка функции .

2. Закон движения материальной точки . Найдите ее скорость в момент времени с.

3. Найдите для неявно заданной функции .

4. Используя правило Лопиталя, найдите предел .

5. Используя правило Лопиталя, найдите предел .

6. Проверьте справедливость теоремы Ролля для функции .

7. Найдите полный дифференциал функции двух переменных .

8. Проверьте, удовлетворяет ли уравнению функция .

9. Найдите неопределенный интеграл .

10. Найдите неопределенный интеграл , используя метод интегрирования по частям.

11. Найдите неопределенный интеграл .

12. Найдите неопределенный интеграл .

13. Найдите неопределенный интеграл .

14. Найдите неопределенный интеграл .

15. Найдите неопределенный интеграл .

16. Вычислите определенный интеграл .

17. Вычислите определенный интеграл .

18. Исследуйте на сходимость числовой ряд .

19. Исследуйте на сходимость числовой ряд .

20. Исследуйте на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд .

21. Найдите радиус, интервал и область сходимости степенного ряда .

22. Разложите в ряд Маклорена функцию . Укажите область сходимости полученного ряда к этой функции.

23. Является ли множество комплексных чисел С евклидовым пространством, если скалярное произведение двух комплексных чисел и определить следующим образом: ?

24. Используя мажорантный признак Вейерштрасса, докажите равномерную сходимость функционального ряда в промежутке .

25. Найдите общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения .