2.4. Метод касательных (Ньютона-Рафсона)

Одним из наиболее распространенных методов определения корней уравнений является метод касательных (метод Ньютона-Рафсона).

Для нахождения коня уравнения (2.1) этим методом необходимо представлять приблизительное значение корня, т.е. задавать его начальное приближение x₀. В основе метода лежит разложение в ряд Тейлора функции F(x) в окрестности начального приближения x₀:

.

Касательная в точке x₀ задается при помощи двух членов ряда. Если x₀ находится близко от искомого корня, то разность ( x ‑ x₀) мала, и членами, содержащими вторую и выше производные, можно пренебречь. Тогда приближенно можно записать:

или . (2.11)

Геометрическое представление метода проиллюстрировано на рис.2.4. На интервале, где первая и вторая производные функции F(x)сохраняют постоянные знаки, выбирают начальное приближение корня x₀ уравнения (2.1). Через точку F(x₀) проводят касательную, уравнение которой:

.

Полагая, что y = 0, а x – точка пересечения касательной с осью абсцисс, можно ее значение рассчитать по (2.11). Используя в качестве следующего приближения полученное значение абсциссы точки пересечения касательной с осью 0X, повторяют нахождение нового значения корня согласно соотношению

до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность нахождения корня, т.е. .

Метод касательных дает наиболее быстро сходящийся метод, однако не лишен недостатков. Для нахождения корня этим способом необходимо найти значение производной. Так как не всегда возможно найти аналитическое выражение для производной F’(x), то в некоторых случаях на каждом шаге первую производную удобно вычислять по формуле:

Тогда корень уравнения вычисляют используя итерационную формулу

. (2.11*)

Процесс нахождения корня сводится к следующим этапам:

1. Выбирается некоторое x₀, являющееся начальным приближением (приближенным значением корня).

2. Вычисляется значение F(x₀) и F’(x₀), рис.2.4.

3. Проводят касательную к точке, отвечающей значению F(x₀).

4. Значениенаходят как точку пересечения касательной с осью абсцисс. Это соответствует нахождению коня из соотношения (2.11*).

5. Находят новое значение корня, проводя касательную в предыдущей точке.

6. Процесс повторяется в том же порядке дальше. Последовательные значения x_i сходятся к точке пересечения x = a. Процесс останавливается при выполнении условия , где -точность нахождения корня.

Например. Пусть имеются некоторая слабая кислота (например, уксусная) и вода, которые диссоциируют по уравнениям:

Уравнение материального баланса в кислоте выглядит следующим образом:

.

Раствор электролита в целом электронейтрален, поэтому количество положительных и отрицательных зарядов ионов должно быть одинаково:

.

Исходя из вышеизложенного, зависимость концентрации протонов в растворе от исходной концентрации кислоты выражается соотношением:

.

Если K_a = 1,7710 ^‑5, а K_W = 1,0010 ^‑14 , а концентрация кислоты 0,0001 M, то решив уравнение, можно найти концентрацию ионов водорода в растворе кислоты заданной концентрации.

ЗАДАНИЯ

1. Теплота испарения этилового спирта описывается как функция от температуры на интервале температур от 10С до 150С следующим соотношением

.

Определить температуру, при которой поглощается следующее количество тепла: а) 886,3 Дж/г; б) 855,1 Дж/г; в) 818,4 Дж/г; г) 775,3 Дж/г.

2. Для проведения химической реакции в газовой фазе химические вещества были взяты в стехиометрических количествах. Реакция проводилась при постоянных давлении и температуре. Требуется вычислить равновесный состав смеси (в мольных процентах), если известен десятичный логарифм константы равновесия при этой температуре:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Пусть имеется раствор слабого электролита K₂A, который диссоциирует согласно реакции: . согласно закону разбавления Оствальда, это равновесие можно описать следующей формулой:

.

Рассчитайте степень диссоциации этого электролита при заданных K_C и C₀:

а) K_C  = 0.01, C₀ = 0.001; б) K_C  = 0.01, C₀ = 0.005; в) K_C  = 0.001, C₀ = 0.01.

4. Радиальная волновая функция R(r) 3s ‑ электрона в возбужденном атоме водорода имеет вид:

,

где r – расстояние между электроном и ядром (протоном) в ангстремах, c – нормирующий множитель, . Приc = 1 и x = r/a₀ радиальная функция принимает вид: .

Найти значения корней уравнения и расстоянийr на отрезке .

5. Найти состав эвтектической смеси бинарной системы, если в эвтектической точке выполняется условие

.

Температуры плавления чистых компонентов T₁ = 117.14 К, Т₂ = 435,47 К, а энтальпии их плавления H₁ = 27805 Дж , H₂ = 13600 Дж.

6. Зависимость константы скорости реакции по теории Эйринга описывается формулой:

,

где h_B – константа Больцмана; h – постоянная Планка.

Найдите температуру T, отвечающую следующим параметрам: k = 0,001 л/c; S^# = -11.8 кал/(мольK); H^# = 25000 кал/моль.

7. В системе протекает синтез монокристалла германия осаждением из газовой фазы. Необходимо рассчитать парциальные давления компонентов газовой фазы, если полное давление постоянно и равно 760 мм рт. ст., а в системе протекают реакции:

Если ввести обозначения: ,,, то можно получить уравнение, решение которого позволит получить парциальные давления компонентов газовой фазы:

.