1.6. Интегрирование методом Монте-Карло

Интегрированием методом Монте-Карло часто получают лучшие результаты, чем перечисленными выше методами. К достоинствам этого метода также можно отнести простоту его реализации и возможность проведения интегрирования функций не только одной переменной f(x), но и двух f(x,y) и трех переменных f(x,y,z) и т.д.

Суть данного метода интегрирования состоит в выборе среднего значения (средней высоты) функцииf(x) для всего интервала ее интегрирования [A,E]. Для этого на отрезке [A,E] выбирают случайные точки, вычисляют значения функции в этих точках и находят их сумму (рис.1.7). После деления суммы на число точек, получают среднее значение, которое тем ближе к истинному среднему значению функции, чем больше выбрано случайных чисел на отрезке [A,E]. В результате интегрирование фигуры, ограниченной точками ACDE, сводится к нахождению площади прямоугольника ACDE, шириной которого является величина отрезка [A,E], а высотой – средняя высота интегрируемой фигуры.

Если имеется функция двух независимых переменных и необходимо вычислить двойной интервал по некоторой области в плоскости xy, то выбирают точки со случайными координатами внутри области интегрирования, вычисляют значения функции в этих точках, определяют среднее значение, которое умножают на площадь области интегрирования.

Например. Радиоактивный распад протекает таким образом, что уменьшение количества атомов dN за время dτ пропорционально числу N оставшихся атомов. Пусть N₀ – число атомов радиоактивного вещества в момент времени τ = 0. Нужно вычислить среднюю продолжительность существования одного атома к моменту времени τ, если известно, что количество атомов, имеющих продолжительность существования, равную τ равно:. Чтобы получить среднюю продолжительность существования атома, нужно умножитьdN на время τ , в течение которого эти атомы существовали, проинтегрировать по τ в пределах от τ = 0 до τ и разделить на первоначальное количество атомов N₀. Таким образом, задача свелась к нахождению значения интеграла: , где ‑ константа радиоактивности вещества, равная, например, для радона 2,08410 ^‑6 с ^‑1.

ЗАДАНИЯ

1. Одним из описанных выше численных методов проинтегрируйте широко используемую в статистике функцию erf(x) – функцию ошибок.

.

Величина x задается пользователем. Сравните результаты численного интегрирования с данными справочника по статистике.

2. Проинтегрируйте функции, интеграл которых можно вычислить аналитически, и сравните результаты численного и аналитического методов. В качестве примера можно взять функции f(x)=x² или f(x)=sin(x).

3. Зависимость мольной теплоемкости C_p некоторого гипотетического вещества от температуры задана формулой

Размерность C_p в соответствии с приведенной выше формулой при Т, стремящемся к бесконечности, C_p приближается к значению 3R. Рассчитайте по этой формуле энтальпию Н. Пусть Н=0 при Т=0. Составьте таблицу значений C_p и Н при разных температурах. При вычислении Н нижний предел интегрирования приравняйте нулю. Напоминаем:

4. Постройте график зависимости мольной теплоемкости металла по Дебаю C_p от величины z=Θ/T в интервале z от 0.01 до 3, если выражение для C_p задается следующей формулой:

5. Определить константу равновесия К⁰ при 733 К для реакции

3Н₂ + N₂ 2NH₃,

если ,,

,,

а зависимости теплоемкостей от температуры выражаются следующим образом

,

,

.

6. Пусть дана одномерная волновая функция: , гдеN – нормировочный коэффициент, который выбирают так, чтобы выполнялось условие: . Для нормированной волновой функции интеграл перекрывания рассчитывают по формуле:, где- расстояние между атомами. Вычислите интегралы перекрывания при различных расстояниях между атомами.