V. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Уравнения, содержащие производную функции одной переменной, возникают во многих областях прикладной математики. Вообще говоря, многие химические ситуации, где рассматривается степень изменения одной переменной по отношению с другой переменной величины, описывается дифференциальным уравнением. Например, кинетика химических реакций, явления тепло и массопереноса в технологических процессах, при экстракции, адсорбции и др.

Рассмотрим пример. Пусть степень изменения y по отношению к x пропорциональна y:

(5.1)

или можно записать иначе, используя другую форму записи производной: y = y.

Решение этого уравнения: y = aexp(x), где a – произвольная постоянная, при различных значениях постоянной a получается семейство кривых, которые все удовлетворяют уравнению (5.1). Собственно говоря, уравнение (5.1) является просто утверждением, что в каждой точке кривой значение самой функции равно значению производной. Если в дополнение в дифференциальному уравнению задать значение y для некоторого значения x, то можно определить постоянную a. Например, предположив, что решение уравнения (5.1) проходит через точку x = 0, y = 1, или

y(0) = 1 , (5.2)

можно найти, что постоянная a равна 1 и что из всего семейства кривых только одна кривая, удовлетворяет одновременно и (5.1) и (5.2):

y = exp(x).

Существует множество приемов для нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные или специальные функции, например функции Бесселя. Однако очень часто в практических задачах такие методы или вообще неприменимы, или приводят к таким сложным решениям, что затраты труда на их получение или на соответствующие расчеты превосходят все допустимые пределы. Например, уравнение y = x² + y², внешне простое, не имеет элементарного решения.

При решении дифференциальных уравнений могут встречаться три основных типа задач:

1) дифференциальные уравнения с заданными начальными условиями, как, например, в кинетических задачах;

2) краевая задача, когда известно значение функции или ее производных в определенных точках, а необходимо найти решение между точками;

3) задачи на собственные значения, когда необходимо подобрать параметр наилучшим образом соответствующий заданным краевым условиям.

Рассмотрим численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с одним начальным условием:

y = f(x,y), (5.3)

y(x₀) = y₀ (5.4)

Итак, уравнение (5.3) можно рассматривать как определение кривой через ее производную в координатной плоскости XY. В общем случае уравнению (5.3) удовлетворяет целое семейство кривых, начальное условие (5.4) позволяет выбрать из этого семейства одну определенную кривую, которая проходит через заданную точку (x₀,y₀). Таким образом, решение находится в виде функции y = F(x). Чтобы найти численные значения функции, необходимо просто подставить соответствующие значения x и вычислить y.

В основном существует две категории методов: а) одноступенчатые методы, в которых используется информация о самой кривой в одной точке и не производятся итерации; б) многоступенчатые, в которых следующую точку кривой можно найти итерационными процессами, задав точность вычисления.