2.2. Метод деления отрезка пополам (Метод дихотомии)

Иногда используют метод, который сводится к отысканию таких двух значений x_A и x_B , для которых на отрезке [x_A , x_B] функция F(x)из уравнения (2.1) непрерывна и ее значения в на границах этого отрезка имеют разные знаки, т.е. определяются такие x_A и x_B, которые удовлетворяют одному из условий:

F(x_A) < 0 и F(x_B) > 0,

F(x_A) > 0 и F(x_B) < 0,

или иначе оба условия можно задать неравенством

F(x_A)F(x_B) < 0. (2.8)

Тогда между x_A и x_B есть по крайней мере одна точка, где F(x)= 0. Тогда в качестве первого приближения можно принять

В качестве следующего приближения

,

где - границы нового отрезка, на котором выполняется условиеF(x^*_A)F(x^*_B) < 0.

Продолжая процесс деления отрезка, границы нового отрезка задают перемещая соответствующую границу предыдущего отрезка в новое значение, так, чтобы F(x_A)F(x_n) > 0. или F(x_B) F(x_n) > 0.

Геометрическое представление процесса нахождения коня уравнения (2.1) методом дихотомии показано на рис. 2.2.

Процесс нахождения корня сводится к следующим этапам:

1. Находят отрезок области определения функции на котором функция непрерывна и меняет знак, т.е выполняется условие (2.8).

2. Находят первое значение корня уравнения (2.1).

. (2.9)

3. Проверяют условия равенства знаков функции в границах и в найденном приближенном значении корня и находят новые границы отрезка поиска решения.

Если F(x_A)F(x)> 0, то левая граница отрезка, отвечающая значению x_A переносится в значение x.

Если F(x_B)F(x)> 0, то правая граница отрезка, отвечающая значению x_B переносится в значение x.

4. Находят новое значение корня по (2.9).

5. Процесс повторяется в том же порядке дальше. На рис. 2.2 последовательность операций указана стрелкой. Из рисунка 2.2 видно, что последовательные значения x сходятся к точке пересечения x_A = x_B. Процесс останавливается при выполнении условия , где - точность нахождения корня.

Метод дихотомии имеет единственный недостаток – трудность нахождения отрезка, на котором функция меняет знак, т.е. сложность первого этапа приближенного поиска корня.

2.3. Метод Секущих

Этот подход к приближенному нахождению корня уравнения (2.1) так же сводится к отысканию таких двух значений x_A и x_B , для которых на отрезке [x_A , x_B] функция F(x)непрерывна и ее значения в границах этого отрезка удовлетворяют условию (2.8).

Графическое представление поиска корня методом хорд показано на рис.2.3. На отрезке [x_A , x_B] через точки, соответствующие значениям функции в границах отрезка F(x_A) и F(x_B) проводят прямую (“хорду”). Точку пересечения этой прямой с осью абсцисс принимают за приближенное значение корня, которое находят из подобия треугольников ADC и CGB:

(2.10)

Процесс нахождения корня сводится к следующим этапам:

1. Находят отрезок области определения функции на котором функция непрерывна и меняет знак, т.е выполняется условие (2.8).

2. Находят первое значение корня уравнения по (2.10).

3. Проверяют условия равенства знаков функции в границах и в найденном приближенном значении корня и находят новые границы отрезка поиска решения путем переноса границы в которой знак функции совпадает со знаком функции в найденном по (2.10) приближенном значении корня.

4. Находят новое значение корня по (2.10).

5. Процесс повторяется в том же порядке дальше. Последовательные значения x_i сходятся к точке пересечения x_A = x_B. Процесс останавливается при выполнении условия , где -точность нахождения корня.