5.3. Методы прогноза и коррекции

Отличительной чертой метода Рунге-Кутта является то, что при вычислении следующей точки (x_i+1,y_i+1) используется информация только о точке (x_i,y_i), но не о предыдущих. В методах второго и выше порядков вычисляются значения функции в одной или нескольких промежуточных точках. Наиболее рациональными оказываются методы, сочетающие в себе оба подхода. Такие методы объединены под названием методов прогноза и коррекции. В них сначала «предсказывается» значение y_i+1, а затем «корректируется» тем или иным методом. Процесс корректировки итерационный.

Чтобы начать решение с помощью метода прогноза и коррекции, часто используют метод Рунге-Кутта. Например, если для прогноза можно взять формулу второго порядка:, где верхний индекс (0) обозначает исходное приближение кy_i+1, т.е. предсказанное значение. Геометрическая интерпретация прогноза представлена на рис. 5.2. Находят угол наклона касательной l₁ в точке (x_i,y_i), после чего через точку (x_i-1,y_i-1) проводится параллельная прямая l₂, и считают, что искомое предсказанное значение будет располагаться в точке пересечения прямой l₂ с ординатой x_i+1.

Для коррекции предсказанного значения усредняют тангенсы наклонов касательных в точках (l₃) и (l₁). Проводят линию l с полученным наклоном через точку и находят новое приближениеиз точки пересечения этой линии с ординатой(рис. 5.2). Это приближение называют скорректированным и находят из соотношения:

.

В общем случае, j – тое приближение к вычисляется по формуле:

для j = 1, 2, 3,… Итерационный процесс прекращается, когда для некоторого.

5.4. Решение систем дифференциальных уравнений

Методы, рассмотренные в данном разделе, легко можно обобщить для системы уравнений первого порядка. Кроме того, уравнения высших порядков можно свести к системе уравнений первого порядка. Например, уравнение второго порядка y = g(y, y, x) можно переписать в следующем виде:

где z – новая зависимая переменная, определяемая вторым уравнением. Таким образом получается система уравнений относительно y и z. Решение данной системы даст функцию и ее производную.

Пусть имеется n неизвестных функций , i = 1,…,n, которые описываются n дифференциальными уравнениями:

.

Начальные условия для системы уравнений первого порядка записываются следующим образом: . Запись системы в векторной форме позволяет упростить вычисления, поэтому вводят:

, ,.

Тогда начальная задача для системы дифференциальных уравнений запишется в виде:

. (5.8)

Для решения данной системы могут быть применены методы Эйлера и Рунге-Кутта, описанные для решения дифференциального уравнения первого порядка с начальными условиями и заданным шагом изменения x.

Пример 1. Пусть имеется химическая реакция . Уравнение для скорости этой реакции можно записать соотношением:, где- концентрация к моменту времени t от начала реакции; k₁ , k₂ ‑ константы скорости первой и второй стадии процесса, соответственно; ‑ начальная концентрация соединенияA. Необходимо найти зависимость от времени, если заданы начальные условия:. Решение данной задачи сводится к решению дифференциального уравнения, соответствующего кинетическому уравнению системы, с заданными начальными условиями. Решение это можно осуществить, например, методом Эйлера согласно (5.5), задав начальные значения времени и концентраций, а так же шаг интегрирования. Причем решение можно уточнять, уменьшая шаг.

Пример 2. Имеет место кинетическая система:..

Начальные концентрации: = 1.0; = 0.0. Константы скорости k₁ = 10; k₂ = 5. Необходимо найти С_A(0.1) и С_В(0.1). Указанная кинетическая система описывается системой дифференциальных уравнений:

, которую можно привести к виду (5.8).

Если ,,,и, то система принимает вид. Можно найти значения корней этой системы в виде таблицы значений концентраций компонентовA и B от времени с шагом . Решать полученную систему можно используя как метод Эйлера, так и метод Рунге-Кутта.

ЗАДАНИЯ

1. Степень радиоактивности пропорциональна количеству остающегося радиоактивного вещества. Дифференциальное уравнение, описывающее эту систему записывается в следующем виде: . Приk = 0.01 и принимая, что начальная масса вещества г, найти сколько вещества останется в момент времени. Найдите решение численно с помощью: а) метода Эйлера при ; б) улучшенного метода Эйлера при ; в) метода Рунге-Кутта при; г) метода прогноза и коррекции с, если известно, что; д) метода прогноза и коррекции с, если известно, что.

2. Пусть скорость радиолиза вещества A пропорциональна заданной безразмерной величине – плотности излучения D.

. Уменьшение величины D приближенное описывается экспоненциальной функцией времени: . Параметры имеют следующие значения:. С помощью метода Эйлера найдите зависимость[A]/[A₀] от времени, задав ее таблично, и вычислите, какой станет [A] через бесконечно большой промежуток времени.

3. Химическая реакция протекает в термически изолированном сосуде. Дифференциальное уравнение, описывающее изменение концентрации исходного вещества, имеет вид: . Для константы скоростиk выполняется уравнение Аррениуса: . Температура в реакторе меняется в зависимости от степени превращения:, гдеH – величина, пропорциональная энтальпии реакции. Методом Рунге-Кутта найдите таблично заданную зависимость концентрации c от времени t для эндотермической и экзотермической реакции. Соответствующее дифференциальное уравнение можно получить из приведенных ранее уравнений. Решите аналогичную задачу для реакции второго порядка.

4. Дана реакция разложения a ‑ го порядка: . Тепловой эффект реакции равенH. Реактор помещен в термостат с температурой T_b. Количество тепла, передаваемое от реактора к термостату, пропорционально . Зависимость температуры в реакторе от времени можно описать следующим дифференциальным уравнением:. ВеличинаH пропорциональна энтальпии реакции; D ‑ коэффициент теплопередачи через стенку реактора. Составьте систему дифференциальных уравнений, описывающую процессы в реакторе и напишите программу для решения соответствующей системы методом Эйлера. Найдите зависимость c от времени при заданных значениях параметров при начальном условии . Чтобы устранить трудности вычислений в случае сильно экзотермической реакции следует отрезок, ограниченный начальным и конечным значениями аргумента, разбить на очень большое число частичных отрезков.

5. При описании кинетики процессов растворения лекарственного препарата в определенном объеме жидкости различают твердое вещество F и уже растворенное L. При этом исходят из следующих упрощений: а) скорость расходования растворенного вещества пропорциональна количеству вещества, что соответствует реакции первого порядка; б) скорость растворения твердого вещества F пропорциональна величине F^a и разности , где‑ растворимость препарата в данной жидкости. Этой модели соответствует система уравнений

.

Методом Рунге-Кутта рассчитайте зависимость скорости расходования лекарственного препарата при следующих значениях параметров: . Начальные условия:.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Саутин С.Н. Мир компьютеров и химическая технология / С.Н. Саутин, А.Е. Пунин. – Л.: Химия, 1991. – 144 с.

2. Эберт К. Компьютеры. Применение в химии / К. Эберт, Х .Эдерер; Пер. с нем. ‑ М.: Мир, 1988. 416 с.

3. Мак-Кракен Д. Численные методы и программирование на фортране / Д. Мак-Кракен, У. Дорн; Пер. с англ. – М.: Мир, 1977. – 584 с.

4. Джонсон К. Численные методы в химии / К .Джонсон; Пер. с англ. – М.: Мир, 1983. – 504 с.

5. Бактнер Л.М. Математические методы в химической технике / Л.М. Бактнер, М.Е. Позин. – Л.: Химия, 1971. – 824 с.

6. ЭВМ помогает химии: Пер с англ./ Под ред. Г.Вернена, М.Шанона. – Л.: Химия, 1990. – 384 с.

7. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш; Пер. с англ. под ред. Х. Д. Икрамова.—М.: Мир, 1998.—575 c.

8. Бахвалов Н.С. Численные методы: Учеб. пособие для студ. физ.-мат. спец. вузов / И. В. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. ‑  СПб.: Лаборатория базовых знаний, 2000.—622 с.

Составители: Протасова Ирина Валентиновна

Крысанов Вячеслав Александрович

Редактор Тихомирова Ольга Александровна