Стратегический анализ

Раздел III. Технология принятия стратегических управленческих решений

Естественно, оптимизация предполагает также и минимизацию. Для того чтобы определить, будет ли данная функция иметь максимум или минимум, следует удовлетворить определенные условия для второй производной, о чем уже говорилось ранее.

2. Вычисления позволяют обрабатывать многомерные функции, что было бы чрезвычайно трудно, если вообще возможно, сделать табличным методом. Метод предельного анализа многомерных функций развивает рассмотренный ранее вычислительный метод. Частные производные берутся для каждой независимой переменной, при этом остальные переменные считаются константами. Все частные производные затем приравниваются к нулю. В результате получается система уравнений, в которой количество переменных будет равно количеству уравнений и соответственно каждое уравнение может быть решено для каждой переменной. Мы покажем воз-

можности этого метода, продолжив анализ нашего примера.

ПРЕДЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МНОГОМЕРНОЙ ФУНКЦИИ. Предположим, что в результате опыта, накопленного в ходе рекламной кампании, рекламное агентство получило новую информацию, позволяющую выявить влияние объявлений, помещенных в каждом из этих двух журналов. Тогда функция спроса приобретет следующий вид:

ãäå Ì1 — количество полностраничных объявлений, помещенных в

журнале «Бухгалтерский учет»; Ì2 — количество полностраничных объявлений, помещенных в

журнале «Экономический анализ».

Как следует распределить бюджет рекламной кампании между упомянутыми журналами в свете этой дополнительной информации? Для ответа на этот вопрос возьмем частные производные от уравнения (7):

ОПТИМАЛЬНЫЕ ФАКТОРЫ ВХОДА. Уравнение (8) показывает, что спрос на выпускаемую продукцию изменяется на (66 − 6M1) единиц при изменении на единицу M1, когда Ì2 считается константой. Уравнение

(9) демонстрирует, что спрос изменится на (34 − 4Ì2) единиц при изменении на единицу Ì2, когда M1 считается константой. Эти функции характеризуют предельный продукт M1 è Ì2 соответственно.

211

Стратегический анализ

Теперь мы можем применить теорию предельной производительности для определения оптимального сочетания M1 è Ì2. Ñî-

гласно теории предельной производительности, оптимальное распределение факторов производства имеет место, когда соотношение предельного продукта ÌÐ ê åãî öåíå Ð будет одинаковым для

всех факторов, т.е.

MPA = MPB = ... = MPN .

PA PB PN

Отсюда следует, что оптимальное сочетание имеет место, когда

66 − 6M1 = 34 − 4M2 .

6000 4000

Решив это уравнение, мы получим, что M1 = M 2 + 2,5; ýòî îçíà-

чает, что следует всегда давать на 2,5 объявления больше в журнале «Бухгалтерский учет», чем в журнале «Экономический анализ». Здесь не содержится информации о том, какое количество объявлений будет оптимальным, но утверждается, что при любом уровне выхода мы получим максимальную отдачу от наших вложений, если

будем следовать указанному правилу распределения.

ОПТИМАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ ВЫХОДА. Если под оптимумом мы будем понимать максимум объема продаж, то ответ можно получить, просто приравняв уравнения (8) и (9) к нулю. Тогда мы получим, что M1 должно равняться 11, а Ì2 − 8,5. Хотя это и соответствует нашему

заключению относительно оптимального соотношения объявлений в журналах «Бухгалтерский учет» и «Экономический анализ», но предполагает, что рационально помещать рекламные объявления на полполосы в журнале «Экономический анализ». Это противоречит заданному условию, что объявления должны быть только на полную полосу. Означает ли это, что наше предположение о непрерывности функции спроса ведет к ошибочному заключению?

Технически ответ будет утвердительным, однако практически такая ошибка будет несущественной. Если мы подставим значения Ì1 = 11, à Ì2 = 8,0; 8,5 или 9,0, то получим следующие результаты.

Поместив объявление на полполосы, мы получим непредсказуемый результат, а изготовление и продажа половины продукта может

212

Раздел III. Технология принятия стратегических управленческих решений

быть невозможной (в зависимости от продукта), так что принимается простое решение: поместить 11 полнополосных объявлений в журнале «Бухгалтерский учет» и 8 полнополосных объявлений в журнале «Экономический анализ».

Дадут ли такие расходы на рекламу ожидаемое увеличение объема продаж? При предыдущем распределении 1:1 оптимальным было производство 1000 единиц продукции, дающих 300 000 руб. в стоимости продаж при расходах на рекламу 100 000 руб. При новом распределении оптимальный объем производства составит 1007 единиц продукции при стоимости продаж в 302 100 руб. и расходах на рекла-

му 98 000 руб. Это позволит повысить нашу прибыль на 4100 руб. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРИБЫЛИ. Если под оптимальной понимать макси-

мальную прибыль, то надо прежде всего использовать уравнение (7), чтобы получить новые уравнения для общего дохода, полных переменных затрат и вложенной прибыли. Такими новыми функциями будут

Для определения рационального распределения объявлений, дающего нам максимальную прибыль, возьмем частную производную от уравнения и приравняем ее к нулю:

Оптимальные расходы на объявления в этих двух журналах составят:

6 (6000) + 3 (4000) = 48 000 ðóá.

При этом уровне расходов на рекламу объем продаж составит:

Q = 500 + 66Ì1 − 3Ì12 + 34Ì2 − 2Ì22 =

= 500 + 66(6) − 3(36) + 34(3) − 2(9) = 872 единицы,

213

Стратегический анализ

что позволит получить вложенную прибыль в размере 126 400 руб.

TCP = 100 000 + 7200Ì1 − 600 Ì12 + 2800Ì2 − 400Ì22 =

= 100 000 + 7200(6) − 600(36) + 2800(3) − 400(9) = 126 400 ðóá.

ОГРАНИчЕННЫЙ ОПТИМУМ. Ранее мы исходили из подразумеваемого предположения о наличии неограниченных ресурсов — не вводились ограничения на производственную мощность предприятия или на объем оборотного капитала, расходуемого на рекламу. В реальной жизни работники планового отдела не работают в таких идеальных условиях. Все они вынуждены идти на компромиссы в распределении ограниченных ресурсов с тем, чтобы получить максимально возможный результат при ограничениях, налагаемых или решениями управляющих, или условиями жизнедеятельности. В этих условиях эффективным инструментом можно считать предельный анализ на базе дифференциального исчисления.

В нашем примере мы показали, что прибыли будут максимальными, если мы поместим шесть объявлений в журнале «Бухгалтерский учет» и три объявления в журнале «Экономический анализ», затратив на них в целом 48 000 руб. Как следует их израсходовать, чтобы получить максимальную прибыль?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся возможностями теории предельной производительности и множителя Лагранжа.

Применение теории предельной производительности. Из предыду-

щего примера по максимизации объема продаж при отсутствии ограничения по расходам на рекламу мы получили для оптимального сочетания объявлений уравнение

Если мы можем израсходовать на рекламу только 40 000 руб., то нам известно, что

Подставив уравнение (15) в уравнение (16), получим

6000(Ì2 + 2,5) + 4000Ì2 = 40 000 ðóá.; 10 000Ì2 + 15 000 = 40 000 ðóá.;

Ì2 = 2,5; Ì1 = 5.

Отсюда следует, что нам нужно поместить пять объявлений в журнале «Бухгалтерский учет» стоимостью в 30 000 руб. и два объявления в журнале «Экономический анализ» за 8000 руб., затратив в

214

Раздел III. Технология принятия стратегических управленческих решений

общей сложности на рекламу 38 000 руб. На этом уровне рекламы объем продаж, исходя из уравнения (7), будет равен

Q = 500 + 66(5) − 3(25) + 34(2) − 2(4) = 815 единиц.

Вложенная прибыль при этом составит

ÒÑÐ = 200(815) − 38 000 = 125 000 ðóá.

Множитель Лагранжа. Еще более мощным средством для опти-

мизации любой многомерной функции при одном или нескольких ограничениях служит множитель Лагранжа. Множитель Лагранжа — это искусственная переменная, обозначаемая греческой буквой «лямбда» (λ). Возможности его использования будет легче объяснить

на том же примере, для которого мы определили функцию спроса

Функция спроса будет максимизирована, когда мы приравняем к нулю как уравнение ограничения (18), так и частные производные по M1 è Ì2 в уравнении (17). Мы можем приравнять к нулю уравне-

ние ограничения, тогда оно будет иметь следующий вид:

Но когда мы возьмем частные производные от уравнения (17), то в результате получим систему из трех уравнений с двумя переменными, которая не имеет решения.

Разрешить эту дилемму можно, умножив уравнение (19) на искусственную переменную и прибавив полученное значение к уравнению (17). Теперь мы имеем функцию из трех переменных:

Q = f(M1, M2, λ) = 500 + 66M1 − 3M12 + 34M2 − 2Ì22 + + 6000λM1 + 4000λM2 − 40 000λ.

Когда мы возьмем частные производные по всем переменным (M1, M2, λ), то получим три уравнения для тех переменных, которые

доступны решению:

215

Стратегический анализ

Необходимо обратить внимание на то, что частная производная относительно λ также будет ограничением. Решив эту систему, мы

получим

M1 = 5,0; Ì2 = 2,5; λ = − 0,006.

Заметим, что исходя из теории предельной производительности M1 è Ì2 будут иметь те же значения, что мы получили. Значение λ,

однако, дает нам дополнительную информацию, которую было невозможно получить другим путем. Знак «минус» говорит нам, что значение функции будет увеличиваться при ослаблении эффекта, накладываемого ограничением. Насколько велико будет такое улуч- шение? В данном случае оно составит примерно 0,006 единиц на каждый рубль, добавляемый к расходам на рекламу. Поскольку каждая проданная единица продукции дает 200 руб. прибыли, предельная прибыль при данном уровне расходов на рекламу составит 200 руб. × 0,006 = 1,20 руб. Поскольку функция прибыли нелинейна

и предельная прибыль уменьшается с увеличением расходов на объявления и становится отрицательной, расходы на рекламу превысят 48 000 руб.

Однако в реальных условиях мы часто имеем многомерные функции со многими ограничениями. Для решения таких задач нам достаточно ввести дополнительную искусственную переменную для каждого дополнительного ограничения. Следует заметить, что множитель Лагранжа при решении задач нелинейного программирования (как в нашем примере) служит аналогом двойственных переменных в задачах линейного программирования. Как двойственные переменные, так и множитель Лагранжа выражают изменения целевой функции, ожидаемые при изменении на единицу правой части ограничения.

10.3. ПРИНЯТИЕ СТРАТЕГИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ — вид математического моделирования, который служит для поиска оптимального варианта распределения ограниченных ресурсов между конкурирующими работами. Оно получило развитие после Второй мировой войны, и сфера его применения расширялась параллельно с развитием компьютерной индустрии, поскольку его практическое использование требует больших вычислительных мощностей. Любая экономическая задача, связанная с максимизацией или минимизацией (т.е. оптимизацией) линей-

216

Раздел III. Технология принятия стратегических управленческих решений

ной целевой функции (например, функции прибыли, полной стоимости или аналогичных экономических величин) и выраженная в форме комплекса линейных неравенств (например, ограничений по рабочей силе, материалам, капиталу или другим ресурсам), будет задачей линейного программирования. Линейное программирование с большим успехом используется для решения многих задач в области бизнеса. Некоторые из них представлены далее.

1.Определение набора продуктов, отвечающих заданным ограни- чениям при минимальных затратах. Примерами служат задачи по со-

ставлению марочной смеси бензопродуктов или набора продуктов питания, отвечающих заданным диетическим требованиям.

2.Определение оптимальных производственных линий и производственных процессов. Примеры встречаются везде, где действуют ог-

раничения на производственные мощности (например, на размер завода или на машинное время) и где принимаются решения о выпуске продукции при наличии ограничений на ресурсы.

3.Определение оптимальных маршрутов перевозок. В качестве

примера можно привести фирмы, производственные предприятия и склады, размещенные далеко друг от друга и стремящиеся минимизировать свои расходы на перевозки продукции от места производства на склад.

Это только немногие примеры широкого класса задач, решае-

мых методом линейного программирования. По масштабам своего использования это, вероятно, наиболее успешный и широко применяемый подход к решению задач о распределении ресурсов, что связано с развитием электронно-вычислительной техники, поскольку сложные задачи линейного программирования требуют такого объема вычислений, на какой способна только современная ЭВМ. Поэтому большинство управляющих бизнесом, которым действительно необходимо решать задачи линейного программирования, ограничиваются их постановкой и передают на решение техни- ческим специалистам. Вероятность ошибок уменьшается, если данные сводятся в удобную для работы форму.

ПРИМЕР 1

ХИМИчЕСКИЙ ЗАВОД ПОЛУчИЛ ЗАКАЗ НА ПРОИЗВОДСТВО 50 000 Т СПЕЦИАЛЬНОЙ СМЕСИ

217

Стратегический анализ

ТРЕБУЕТСя ОПРЕДЕЛИТЬ: КАКОЕ КОЛИчЕСТВО КАЖДОГО КОМПОНЕНТА ДОЛЖНО БЫТЬ ИСПОЛЬЗОВАНО ДЛя МИНИМИЗАЦИИ СТОИМОСТИ ПРОДУКТА?

ФОРМА ПОСТАНОВКИ ТАКОЙ ЗАДАчИ ПРИМЕТ СЛЕДУЮЩИЙ ВИД:

ПУСТЬ X1 = КОЛИчЕСТВУ M КОМПОНЕНТА 1; Õ2 = КОЛИчЕСТВУ M КОМПОНЕНТА 2; Õ3 = КОЛИчЕСТВУ M КОМПОНЕНТА 3.

ТРЕБУЕТСя МИНИМИЗИРОВАТЬ

УРАВНЕНИя (1), (2) И (3) ОПРЕДЕЛяЮТ ПЕРЕМЕННЫЕ Õ1, Õ2 È Õ3 В ТЕРМИНАХ КОЛИчЕСТВА КОМПОНЕНТОВ 1, 2 И 3-ГО ВИДА СООТВЕТСТВЕННО. ЭТИ КОЛИчЕСТВА, ЕСТЕСТВЕННО, НЕ МОГУТ БЫТЬ МЕНЬШЕ НУЛя.

УРАВНЕНИЕ (4) УТВЕРЖДАЕТ, чТО ЦЕЛЬ ДАННОЙ ЗАДАчИ СОСТОИТ В МИНИМИЗАЦИИ СТОИМОСТИ НАБОРА КОМПОНЕНТОВ. (СТОИМОСТЬ КОМПОНЕНТА ВЫчИСЛяЕТСя ПУТЕМ УМНОЖЕНИя ЕГО КОЛИчЕСТВА НА СТОИМОСТЬ ЕГО ЕДИНИЦЫ. СУММИРУя СТОИМОСТЬ ВСЕХ КОМПОНЕНТОВ, ПОЛУчАЕМ ПОЛНУЮ СТОИМОСТЬ НАБОРА.)

УРАВНЕНИЕ (5) УКАЗЫВАЕТ, чТО ПОЛНЫЙ ВЕС СМЕСИ ДОЛЖЕН БЫТЬ НЕ МЕНЕЕ 50 000 Т. УРАВНЕНИЕ (6) УТВЕРЖДАЕТ, чТО ДОЛЖНО БЫТЬ ИСПОЛЬЗОВАНО НЕ БОЛЕЕ 15 000 Т КОМПОНЕНТА 1.

УРАВНЕНИЕ (7) УСТАНАВЛИВАЕТ, чТО ДОЛЖНО БЫТЬ ИСПОЛЬЗОВАНО НЕ МЕНЕЕ 7500 Т КОМПОНЕНТА 2.

УРАВНЕНИЕ (8) УТВЕРЖДАЕТ, чТО ДОЛЖНО БЫТЬ ИСПОЛЬЗОВАНО НЕ МЕНЕЕ 10 000 Т КОМПОНЕНТА 3.

УРАВНЕНИЕ (9) ФОРМАЛЬНО УТВЕРЖДАЕТ, чТО ЭТИ ПЕРЕМЕННЫЕ БУДУТ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ.

ПРИВЕДЕННАя ПОСТАНОВКА ЗАДАчИ СООТВЕТСТВУЕТ ФОРМАТУ, ЗАЛОЖЕННОМУ В ПАКЕТЕ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ ЭВМ ДЛя РЕШЕНИя ЗАДАч ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИя. ПОСЛЕ ВВОДА ДАННЫЕ ОБРАБАТЫВАЮТСя КОМПЬЮТЕРНОЙ ПРОГРАММОЙ, РЕЗУЛЬТАТОМ ПРИМЕНЕНИя КОТОРОЙ яВЛяЕТСя РЕШЕНИЕ ЗАДАчИ. ДЛя НАШЕЙ ЗАДАчИ РЕШЕНИЕМ яВЛяЮТСя СЛЕДУЮЩИЕ ВЕЛИчИНЫ:

Õ1 = 15 000; Õ2 = 25 000; Õ3 = 10 000.

ЭТО ОЗНАчАЕТ, чТО ЦЕЛЬ МИНИМИЗАЦИИ СТОИМОСТИ БУДЕТ ДОСТИГНУТА ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ 15 000 Т КОМПОНЕНТА 1; 25 000 Т КОМПОНЕНТА 2 И 10 000 Т КОМПОНЕНТА 3. ЭТИ ЗНАчЕНИя УДОВЛЕТВОРяЮТ КАЖДОМУ ИЗ НАЛОЖЕННЫХ ОГРАНИчЕНИЙ.

218

Раздел III. Технология принятия стратегических управленческих решений

Линейное программирование может быть использовано только для решения задач, имеющих все четыре представленные далее характеристики:

—комплекс неотрицательных независимых переменных;

—одну и только одну цель, служащую функцией переменных (например, минимизация затрат или максимизация прибыли);

—наличие ограничений, налагающих пределы на достижение цели. Обычно они имеют вид верхнего или нижнего пределов для сочетания переменных;

—линейный характер количественных соотношений.

В приведенном примере имеется три переменных, так что зада- ча должна быть решена симплексным методом. Симплексный метод может быть также использован для решения задачи вручную, однако он лучше всего подходит для постановки решения задачи на ЭВМ. Если имеются только две переменные, то возможно использовать графический метод.

Графический метод практически не используется для решения реальных задач линейного программирования, однако он очень полезен для разъяснения базовых концепций, методов и элементарной геометрии линейного программирования. Именно поэтому, прежде чем излагать алгебраическую технику симплексного метода, мы графически решим задачу с двумя переменными. Можно построить график для трех переменных, хотя это достаточно сложно. Модели с четырьмя и более переменными графическому решению не поддаются.

ПРИМЕР 2

ГОНчАРНОЕ ПРЕДПРИяТИЕ «ПОСУДА» ВЫПУСКАЕТ ДВА ВИДА ГЛИНяНОЙ ПОСУДЫ: ГОРШКИ И ВАЗЫ. ДЛя ИЗГОТОВЛЕНИя ГОРШКА ТРЕБУЮТСя 4 КГ ГЛИНЫ И 1 ч РАБОТЫ, А ЕГО РЕАЛИЗАЦИя ПРИНОСИТ 4 РУБ. ПРИБЫЛИ. ДЛя ИЗГОТОВЛЕНИя ВАЗЫ ТРЕБУЮТСя 3 КГ ГЛИНЫ И 2 ч РАБОТЫ. ПРИБЫЛЬ ОТ РЕАЛИЗАЦИИ ВАЗЫ СОСТАВЛяЕТ 5 РУБ. НА ФИРМЕ 40 ч В НЕДЕЛЮ РАБОТАЕТ ОДИН ГОНчАР; ДОПУСТИМЫЙ РАСХОД ГЛИНЫ СОСТАВЛяЕТ 120 КГ В НЕДЕЛЮ. СКОЛЬКО ГОРШКОВ И ВАЗ НУЖНО ИЗГОТОВИТЬ В НЕДЕЛЮ, чТОБЫ МАКСИМИЗИРОВАТЬ ПРИБЫЛЬ ПРЕДПРИяТИя?

Ð Å Ø Å Í È Å :

ПРЕЖДЕ ВСЕГО СЛЕДУЕТ ПОСТРОИТЬ ХОРОШУЮ МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИя. ЗАТЕМ МЫ СНАчАЛА РЕШИМ НАШУ ЗАДАчУ ГРАФИчЕСКИМ МЕТОДОМ, А ПОТОМ СИМПЛЕКСНЫМ.

ØÀÃ 1. ÎПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ.

ПУСТЬ Õ1 — КОЛИчЕСТВО ГЛИНяНЫХ ГОРШКОВ, ПРОИЗВОДИМЫХ ЗА ДЕНЬ;

Õ2 — КОЛИчЕСТВО ВАЗ, ПРОИЗВОДИМЫХ ЗА ДЕНЬ.

219

Стратегический анализ

ØÀÃ 2. ÎПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ.

КАЖДЫЙ ГОРШОК ДАЕТ 4 РУБ. ПРИБЫЛИ, А КАЖДАя ВАЗА — 5 РУБ. ЦЕЛЬ Z, СОСТОяЩАя В МАКСИМИЗАЦИИ ПРИБЫЛИ, ВЫРАЖАЕТСя КАК

Z = 4Õ1 + 5Õ2.

ØÀà 3. ÎПРЕДЕЛЕНИЕ ОГРАНИ÷ÅÍÈÉ.

А) ОГРАНИчЕНИЕ ПО ТРУДУ.

ИЗГОТОВЛяя ГОРШКИ ИЛИ ВАЗЫ, ГОНчАР БУДЕТ РАБОТАТЬ МАКСИМУМ 40 ч В НЕДЕЛЮ. ОН МОЖЕТ РАБОТАТЬ МЕНЬШЕ, НО НЕ БОЛЬШЕ. КАЖДЫЙ ГОРШОК ТРЕБУЕТ 1 ч РАБОТЫ, А КАЖДАя ВАЗА — 2 ч. СООТВЕТСТВЕННО

Õ1 + 2Õ2 ≤ 40.

Б) ОГРАНИчЕНИЕ ПО МАТЕРИАЛАМ.

ГОНчАР ИМЕЕТ МАКСИМУМ 120 КГ ГЛИНЫ В НЕДЕЛЮ, РАСХОДУЕМОЙ НА ПРОИЗВОДСТВО КАК ГОРШКОВ, ТАК И ВАЗ. КАЖДЫЙ ГОРШОК ТРЕБУЕТ 4 КГ ГЛИНЫ, А КАЖДАя ВАЗА — 3 КГ. СООТВЕТСТВЕННО

4Õ1 + 3Õ2 = 120.

ØÀà 4. ÂВЕДЕНИЕ ОГРАНИ÷ÅÍÈÉ ÍÀ ÇÍÀ÷ЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ.

ФИЗИчЕСКИ НЕВОЗМОЖНО ПРОИЗВЕСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ КОЛИчЕСТВО ГОРШКОВ ИЛИ ВАЗ. СООТВЕТСТВЕННО

Õ1, Õ2 ≥ 0.

ØÀÃ 5. ÏОСТРОЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ И ВЕРТИКАЛЬНОЙ ОСИ ГРАФИКА.

ОБОЗНАчИМ ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ ОСЬ Õ1, А ВЕРТИКАЛЬНУЮ ОСЬ — Õ2. ЭТИ ОСИ ОПРЕДЕЛяЮТ ГРАНИЦЫ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ОГРАНИчЕНИЙ. ВСЕ ТОчКИ, ЛЕЖАЩИЕ ВЫШЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ОСИ И СПРАВА ОТ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ОСИ, БУДУТ УДОВЛЕТВОРяТЬ ЭТИМ ОГРАНИчЕ- НИяМ (СМ. РИС. 10.4).

Ðèñ. 10.4. Неотрицательные ограничения

220