Теор.вер

І. Ю. Каніовська

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ У ПРИКЛАДАХ І ЗАДАЧАХ

Навчальний посібник

КИЇВ 2002

І. Ю. Каніовська

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ У ПРИКЛАДАХ І ЗАДАЧАХ

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів

вищих навчальних закладів

КИЇВ 2002

ПЕРЕДМОВА

При вивченні теорії ймовірностей, як і при вивченні всього курсу вищої математики, найбільші труднощі виникають у процесі розв’язання задач. Метою навчального посібника є надання допомоги студентам в опануванні методики розв’язання задач з використанням теорії ймовірностей. Зміст глав відповідає основним темам курсу теорії ймовірностей у вищому навчальному закладі. На початку кожного розділу вміщено короткі теоретичні відомості та формули, наведено зразки розв’язання типових задач. Задачі для самостійної роботи розподілені на дві групи: А та Б. До групи Б належать задачі підвищеної складності. Майже всі задачі, які зібрані в посібнику, мають загальнотехнічний характер, тому його можна використовувати на різних технічних факультетах вищих навчальних закладів.

Автор вдячна доценту І.П. Шмакову за цінні зауваження щодо вдосконалення видання.

ВСТУП

Теорія ймовірностей – математична наука, яка вивчає закономірності в масових випадкових явищах. Вона є найбільш “експериментальною” з усіх математичних дисциплін. До задач теорії ймовірностей входить розробка загальних методів кількісних оцінок впливу випадкових факторів на різні явища реальної дійсності. Як і будь-яка наука, теорія ймовірностей має ряд основних первинних понять, на яких базуються всі теоретичні побудови й висновки. До них належать: стохастичний експеримент, випадкова подія, ймовірність, випадкова величина. Сутність цих понять розглядають, вивчаючи дисципліну. Зазначимо лише, що всі ці поняття є математичними абстракціями, які успішно використовують для характеристики реальних об’єктів.

Теорія ймовірностей як наука зародилася в середині XVІІ століття. У своєму розвитку вона пройшла довгий шлях і зараз продовжує інтенсивно розвиватися. Коло практичних застосувань теорії ймовірностей розширюється у природних і технічних науках. Вимоги різних технічних потреб суспільства дали поштовх до розвитку цілого ряду прикладних розділів теорії ймовірностей. Це насамперед – статистична теорія зв’язку, теорія інформації, теорія масового обслуговування, теорія надійності, статистична радіотехніка, економетрія, математична статистика тощо.

Тут доречно навести слова засновника української школи теорії ймовірностей академіка Б.В. Гнеденко: “Теорія ймовірностей з дедалі більшою швидкістю почала займати основні позиції в прикладній математиці й одночасно зміцнювати своє становище як одна з центральних математичних дисциплін” (Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988.– 446 с.)

Отже, знайомство з методами теорії ймовірностей в наш час необхідне для кожного фахівця. Досвідченому фахівцю перш за все належить у реальній задачі визначити її ймовірнісні риси, поставити, якщо потрібно, експеримент, розумно обробити його результати, а також сформулювати рекомендації щодо подальших дій. Таких навичок можна набути, розглядаючи конкретні приклади і задачі.

ГЛАВА 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ТЕОРЕМИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

1.1. Події, операції над подіями

Стохастичним експериментом називається експеримент,

який можна неодноразово повторювати за деяких незмінних умов і результат якого передбачити заздалегідь неможливо. Подія – це будь-який результат стохастичного експерименту. Події бувають: елементарні, випадкові, неможливі, вірогідні. Елементарні події – це логічно єдино можливі результати експерименту, які взаємно виключають один одного. Кожному стохастичному експерименту ставиться у відповідність простір елементарних подій ,

елементами якого є елементарні події . Кожна випадкова подія А інтерпретується як підмножина простору елементарних подій .

Неможлива подія – це порожня множина. Вірогідна подія – це весь простір .

Подія А відбулася, якщо відбулася будь-яка подія А. Над подіями виконують такі операції.

1. Об’єднання подій А В – це подія, яка відбувається, якщо відбувається хоча б одна з подій А або В. Об’єднувати можна і нескінченну кількість подій. Результат цієї операції позначають

через A n.

n 1

2. Перетин подій А В – це подія, яка відбувається, якщо відбувається і подія А, і подія В. Перетинати можна і нескінченну

кількість подій. Результат цієї операції позначають через A n.

n 1

Дві події називаються несумісними, якщо А В= , тобто вони одночасно не відбуваються.

Події А1, А2, ..., Аn утворюють повну групу подій:

а) якщо A i = ;

i 1

б) якщо Аi Аj= , i j; такі події називаються попарно несумісними.

3. Доповнення події A (протилежна до А подія). Кожній події А можна поставити у відповідність протилежну подію А , яка відбувається тоді, коли А не відбувається. Очевидно, A A та

A A .

4. Різниця А \ В подій – це подія, що відбувається тоді, коли

відбувається подія А і не відбувається подія В. Очевидно, що A = = \ A.

Включення (А В). А В означає, що подія В відбулася, якщо відбулася подія А. Тобто з появи події А випливає поява події В.

Непорожня система підмножин f множини називається алгеброю подій, якщо вона замкнена відносно операцій об’єднання та доповнення. Це означає:

А1. f ;

А2. А f, В f А В f; А3. А f

Якщо система підмножин f має нескінченну кількість подій, то замкненість операції об’єднання узагальнюється так: для будь-

яких подій А1, А2, ..., Аn,... f A i f. У такому разі система

i 1

підмножин f називається σ-алгеброю подій.

Простір елементарних подій , на якому введена алгебра подій f (або -алгебра), називається вимірним простором, який позначається через , f .

Приклади розв’язання задач

Задача 1.1. Нехай подія Аi={і – група, яка в даний момент часу перебуває на заняттях}, і=1,2,3. Описати події: 1) А1 А2 А3;

2) А1 А2 A 3; 3) А1 А2 А3; 4) A1 A2 A3 ; 5) (А1 A 2 A 3)( A 1 А2 A 3)( A 1 A 2 А3).

Розв’язання.

1. Подія А1 А2 А3 означає, що всі групи в даний момент часу знаходяться на заняттях.

2.Подія А1 А2 A 3 означає, що лише перша та друга групи знаходяться на заняттях.

3.Подія А1 А2 А3 означає, що принаймні одна з груп знаходиться на заняттях.

4.Подія A1 A2 A3 є протилежною до події А1 А2 A3 . Вона означає, що жодна група не знаходиться на заняттях.

5.Подія (А1 A 2 A 3) ( A 1 А2 A 3) ( A 1 A 2 А3) означає, що в даний момент часу лише одна з груп знаходиться на заняттях.

Задача 1.2. На електричній схемі (рис. 1.1):

a

b c

Рис. 1.1

вихід з ладу елемента a – це подія А, елемента b – подія В, елемента с – подія С. Через події А, В, C записати події D ={схема не

працює} та D .

Розв’язання. Схема не буде працювати, якщо вийде з ладу елемент а та принаймні один з елементів b або c, тому

D =A (B C).

Відповідно, якщо схема працює, то працюють елемент а або елементи b та c разом. Тому

D = A ( B C ).

Задача 1.3. По мішені зроблено два постріли. Розглянемо події: А0={промах у кожному пострілі}, А1={одне влучення}, А2={два влучення}. Чи утворюють ці події повну групу?

Розв’язання. Ці події утворюють повну групу подій тому, що

вони попарно несумісні Аi Aj = , i j. Крім того А0 А1 А2= , тобто подія вірогідна.

Задачі

Група А

1.1. Нехай події А та В означають влучення кулі відповідно у мішені А та В (рис. 1.2).

B

A

Рис. 1.2

Описати події А В, А В, A , А B , A В, A B , A B . Зробити геометричну інтерпретацію відповідей.

1.2. Нехай події А, В, C означають виконання вправ бойової стрільби курсантами А, В, С відповідно. Описати такі події:

А В C, А B C , А В C, A B C , A B C .

1.3. На електричній схемі (рис. 1.3): a1 a2

b1 b2

c1 c2

Рис. 1.3

подія Аі означає роботу елемента аі, і =1,2; подія Bі – роботу елемента bі, і =1,2; подія Сі – роботу елемента сі, і =1,2. Записати

події D = {схема працює} та D .

1.4. На електричній схемі (рис. 1.4):

b1

a b2

b3

Рис. 1.4

вихід з ладу елемента а – це подія А, елементів bк – подія Bk,

k =1, 2, 3. Записати події C = {схема не працює}, C .

1.5. Проведено радіолокаційне спостереження за групою, яка складається з чотирьох літаків. Розглянемо події: А = {виявлено один літак}, B = {виявлено принаймні один літак}, C = {виявлено не менше двох літаків}, D = {виявлено два літаки}, E = {виявлено три літаки}, F = {виявлено чотири літаки}. Описати події: 1) А В;

2)А В; 3) В C; 4) В C; 5) D E F; 6) В F.

1.6.По мішені зроблено два постріли. Розглянемо події:

А1={принаймні одне влучення}, А2={принаймні один промах}. Чи утворюють ці події повну групу?

1.7.По мішені зроблено три постріли. Нехай подія

Аk={отримано рівно k влучень у мішень}, k =0,1,2,3. Чи утворюють події Аk повну групу?

1.8.Протягом деякого часу експлуатують два прилади.

Розглянемо події: А1={прилади працюють}, А2 ={один з приладів працює, а другий – ні}, А3 ={прилади не працюють}. Чи утворюють ці події повну групу?

1.9.В однакових умовах передають три повідомлення

однакової довжини. Розглянемо події: B1={спотворено перше повідомлення}, B2={спотворено друге повідомлення}, B3={спотворено третє повідомлення}. Чи утворюють ці події повну групу?

1.10.Два шахісти грають одну партію. Розглянемо події: А={виграє перший шахіст}, B ={виграє другий шахіст}. Яку подію необхідно додати до означеної сукупності подій, щоб утворилася повна група подій?

Група Б

1.11. Довести, що для будь-яких подій А, В і C мають місце співвідношення:

1)A B = A B , A B A B (правила де Моргана);

2)(А В) C=(А C) (В C);

3)A B C A С B С ;

4)A B \ B A \ A B A B;

5)A \ B C A \ B A \ C .

Зробити геометричну інтерпретацію.

1.12. Спростити подію А=(В C) (В C ) ( B C).

1.13.Прилад складається з двох блоків першого типу та

трьох блоків другого типу. Розглянемо події: Аk = {працює k-й блок першого типу }, k =1,2; Bj ={працює j-й блок другого типу}, j=1,2,3. Прилад працює, якщо працює принаймні один з блоків першого типу або не менше двох блоків другого типу. Записати подію C={прилад працює}.

1.14.Знищення бойового літака може відбутися при влученні

вкожний з двох двигунів (події D1 та D2) або при влученні в кабіну пілота (подія К). Проведено обстріл літака. Відбулася подія А={знищення літака}. Описати простір елементарних подій.

Записати подію А через події D1, D2, К, а також через елементарні події.

1.15.На відрізок [а, b] навмання ставлять дві точки. Нехай х та y – координати точок. Зобразити на площині XOY області, що

відповідають подіям: , А, В, А В, А\В, А В, де подія А = {друга точка знаходиться ближче до лівого кінця відрізка, ніж перша точка до правого}, подія В = {відстань між точками менша за половину довжини відрізка}.

1.16. Електронна схема містить три транзистори, чотири конденсатори і п’ять резисторів. Розглянемо події: Tk = {не працює k-й транзистор}, k=1,2,3; Сі = {не працює i-й конденсатор}, i=1,2,3,4; Rj = {не працює j-й резистор}, j=1,2,3,4,5. Схема працює, якщо працюють усі транзистори, не менше, ніж два конденсатори та принаймні один з резисторів. Записати подію А = {схема не працює}.