Теор.вер

Характеристичною функцією випадкової величини

називається комплексна функція дійсного аргументу t, яка за означенням дорівнює:

(t) Meit eitxk P xk ,

к 1

якщо – дискретна випадкова величина;

(t) Meit eitx f x dx ,

якщо – неперервна випадкова величина; i 1 .

Характеристична функція дає можливість обчислювати

числові характеристики випадкових величин за формулами:

M i (0); D (0) , (4.9)

де (t) ln (t) .

За допомогою характеристичної функції можна знайти щільність розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини :

Характеристична функція суми незалежних випадкових величин 1, 2, ... , n дорівнює добутку характеристичних функцій

доданків:

обов’язково парна й відповідає закону розподілу випадкової величини , симетричному відносно нуля. Крім того, завжди

(0) =1, (t) 1 .

Якщо – дискретна випадкова величина, яка набуває

невід’ємних цілих значень, то її характеристична функція пов’язана з генератрисою формулою

(t) = Ф (eit ) .

Приклади розв’язання задач

Задача 4.9. Знайти щільність розподілу ймовірностей f (x) випадкової величини , характеристична функція якої має вигляд:

щільність, називається розподілом Лапласа.

Задача 4.10. Знайти характеристичну функцію дискретної випадкової величини , розподіленої за законом Пуассона з

параметром а, та обчислити з її допомогою числові характеристики

M , D .

Розв’язання. За означенням характеристична функція дискретної випадкової величини

D (0) a . Одержуємо вже відомий результат.

Задача 4.11. Скласти композицію двох нормальних законів розподілу, якщо відомо, що характеристична функція закону

Розв’язання. Нехай випадкова величина 1 має нормальний закон розподілу з параметрами (a1 ,1 ) , а 2 – нормальний закон розподілу з параметрами (a2 , 2 ) . Треба знайти закон розподілу суми 1+ 2 , якщо 1 та 2 – незалежні випадкові величини. За

формулою (4.11) знаходимо характеристичну функцію суми незалежних випадкових величин:

Отже, з наведеної формули видно, що це – характеристична функція нормального закону з параметрами (a1 a2 , 12 22 ) . Результат задачі показує, що закон Гаусса стійкий.

Задачі

Група А

4.48. Випадкова величина має біномний розподіл з параметрами n та p. Знайти характеристичну функцію цього

розподілено за біномним законом з однаковою ймовірністю p. Знайти (t) .

4.57. Знайти характеристичну функцію суми двох незалежних випадкових величин, які мають показникові закони розподілу з однаковим параметром , обчислити числові характеристики цієї суми.

Група Б

4.58.Довести, що характеристична функція дійсна тоді і тільки тоді, коли вона парна.

4.59.Нехай та – незалежні, однаково розподілені

випадкові величини, які мають характеристичну функцію (t) . Знайти характеристичну функцію випадкової величини .

4.60. Довести, що наступні функції не можуть бути

законом Коші випадкові величини, кожна з яких має щільність

ГЛАВА 5. ГРАНИЧНІ ТЕОРЕМИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

5.1. Закон великих чисел

Закон великих чисел – це теореми, які встановлюють стійкість середнього арифметичного випадкових величин. При доведенні цих теорем часто користуються нерівністю Чебишева: якщо випадкова величина має математичне сподівання M та

скінченну дисперсію D , то при 0 виконується нерівність:

P M D .2

Одна з найважливіших форм закону великих чисел має назву

теорема Чебишева.

Нехай задано послідовність 1 , 2 ,..., n ,... незалежних

Теорема Чебишева має важливий наслідок. Нехай 1, 2,..., n є значення деякої випадкової величини , які одержані в n

У процесі доведення теореми Чебишева одержують таку корисну оцінку:

Важливим окремим випадком теореми Чебишева є теорема

Бернуллі.

Нехай кількість появ події А в n незалежних дослідах

дорівнює m , імовірність появи події А в кожному досліді дорівнює p. Тоді для 0

Тобто частота появи події А збігається з імовірністю її появи. При доведенні теореми Бернуллі одержана оцінка:

де q 1 p .

Приклади розв’язання задач

Задача 5.1. Імовірність виготовлення нестандартної радіолампи дорівнює 0,04. Яку найменшу кількість радіоламп треба відібрати, щоб з імовірністю 0,88 можна було б стверджувати, що частка нестандартних радіоламп серед них буде відрізнятися від імовірності виготовлення нестандартної радіолампи за абсолютним значенням не більше ніж на 0,02?

Розв’язання. З оцінки (5.2) дістанемо:

За умовою задачі ймовірність p = 0,04, величина = 0,02,

Задача 5.2. Дисперсія кожної з 3500 незалежних випадкових величин k дорівнює п’яти. Оцінити ймовірність того, що

відхилення середнього арифметичного цих випадкових величин від середнього арифметичного їхніх математичних сподівань не перевищує 0,25.

Розв’язання. За формулою (5.1):

Задачі

Група А

5.1. Імовірність появи деякої події в кожному з 1500 незалежних випробувань дорівнює 0,2. Випадкова величина

означає кількість появ події. За допомогою нерівності Чебишева оцінити ймовірність того, що відхилення кількості появ події від математичного сподівання величини за абсолютним значенням

буде більше за 40.

5.2.Відомо, що 75 % від усієї продукції, яку виробляє завод, має вищу якість. Оцінити ймовірність того, що кількість виробів вищої якості серед 100 000 виготовлених буде відрізнятися від математичного сподівання цієї кількості не більше ніж на 1000 виробів.

5.3.Для визначення середньої тривалості роботи радіолампи

зпартії вибирають 150 радіоламп. Оцінити знизу ймовірність того, що середня тривалість роботи відібраних 150 радіоламп відрізняється від середньої тривалості роботи радіоламп усієї партії за абсолютним значенням менше ніж на 5 год, якщо відомо, що середньоквадратичне відхилення тривалості роботи ламп не перевищує 6 год.

5.4.Скільки разів потрібно виміряти величину, значення якої дорівнює a, щоб із імовірністю, не меншою за 0,98, можна було б стверджувати, що середнє арифметичне значення цих вимірів відрізняється від a за абсолютним значенням менше ніж на 3, якщо середньоквадратичне відхилення кожного виміру менше 6?

5.5.Імовірність появи деякої події дорівнює 0,3 в кожному з n = 900 незалежних випробувань. За допомогою нерівності Чебишева оцінити ймовірність того, що подія відбудеться від 240 до 300 разів.

5.6.Довести нерівність Маркова. Якщо випадкова величина

набуває невід’ємних значень, то для 0 P( ) M .

5.7.За допомогою нерівності Маркова розв’язати задачу: середня кількість сонячних днів у даній місцевості дорівнює 90. Оцінити ймовірність того, що протягом року в цій місцевості буде не більше як 240 сонячних днів.

5.8.Встановити, чи буде виконано умови застосування закону великих чисел до послідовності незалежних дискретних

випадкових величин 1, 2, ..., n, ..., які мають такі розподіли

(табл. 5.1 і 5.2):

Таблиця 5.1 Таблиця 5.2