Теор.вер

Чи можна до цієї послідовності застосувати закон великих чисел?

5.14. Нехай задано випадкову величину . Довести твердження: якщо (x) – монотонно зростаюча додатна функція, для якої математичне сподівання М існує, то справджується

нерівність:

Р t М . t

5.15. Випадкові величини 1 , 2 ,..., n ,... мають однакові

математичні сподівання й обмежені скінченні дисперсії. Чи можна до цієї послідовності застосувати закон великих чисел, якщо всі взаємні кореляційні моменти цих величин К i j від’ємні?

5.2. Центральна гранична теорема

Найпростішим варіантом центральної граничної теореми є інтегральна теорема Муавра – Лапласа. Нехай проводиться n незалежних випробувань, у кожному з яких може з’явитися з імовірністю р деяка подія А. Якщо кількість появ події А дорівнює m, m n , то рівномірно для всіх х (– ,+ )

де q 1 p .

З цієї теореми випливають такі важливі наслідки:

n

то випадкова величина i при досить великих значеннях n

i 1

має наближено нормальний розподіл з параметрами:

Приклади розв’язання задач

Задача 5.3. З усієї кількості виготовленої продукції 60 % – продукція вищого гатунку. Приймальник бере 200 виробів. Яка ймовірність того, що виробів вищого гатунку серед відібраних буде від 120 до 150?

Розв’язання. Імовірність того, що продукція буде вищого гатунку, дорівнює 0,6. Тоді величина np = 120, а npq = 48. За формулою (5.3)

Отже, з імовірністю, яка дорівнює 0,5, можна стверджувати, що серед 200 виробів вищого гатунку буде від 120 до 150 виробів.

Задача 5.4. Скільки разів треба підкинути монету, щоб з імовірністю, яка дорівнює 0,997, частота появи герба відрізнялась би від імовірності появи герба не більше ніж на 0,5 %?

Розв’язання. Використаємо формулу (5.4), в якій візьмемо

Лапласа (дод. 1) знаходимо, що значенню 0,4985 наближено відповідає аргумент 2,97, тобто 100n =2,97. Звідки n 88210.

Задача 5.5. У груповому повітряному бою з одного боку беруть участь 50 бомбардувальників, а з другого – 50 винищувачів. Кожний винищувач атакує одного бомбардувальника. Імовірність того, що в такому елементарному бою буде уражений один

бомбардувальник, дорівнює 0,3. Якщо бомбардувальник не уражений, то він атакує винищувача і уражає його з імовірністю, що дорівнює 0,2. Знайти наближено ймовірність того, що в цьому бою буде уражено не менше п’яти винищувачів.

Розв’язання. Введемо випадкові величини i , які набувають

значення одиниці, якщо в i елементарному бою уражений винищувач, і нуля, якщо винищувач не уражений, i= 1, 2, ..., 50.

50

Тоді загальна кількість уражених винищувачів S = i .

i 1

Знайдемо числові характеристики величин i . Для цього складемо ряд розподілу i , і = 1, 2, ..., 50. Знайдемо ймовірності, з якими

До випадкової величини S застосовується центральна гранична теорема для однаково розподілених доданків, тому S має

наближено нормальний розподіл з параметрами MS =7, S = 6,02 .

Задачі

Група А

5.16. Розв’язати задачу 5.10 за допомогою центральної граничної теореми.

5.17.Імовірність появи події А в окремому досліді дорівнює 0,75. Визначити кількість дослідів, які потрібно провести, щоб відхилення частоти появи події А від імовірності її появи не перевищувало за абсолютним значенням 0,05 з імовірністю, яка дорівнює 0,96. Задачу розв’язати: 1) за допомогою закону великих чисел; 2) за допомогою центральної граничної теореми. Результати порівняти.

5.18.Деяка подія при кожному випробуванні настає з імовірністю, яка дорівнює 0,6. Чи можна з імовірністю 0,96 стверджувати, що при проведенні 1000 незалежних випробувань кількість появ цієї події буде в межах 550 ... 650?

5.19.Імовірність виходу з ладу приладу за час випробувань дорівнює 0,05. Знайти ймовірності того, що за час випробувань із 100 приладів вийдуть з ладу: 1) не менше 5; 2) не більше 5; 3) від 5 до 10 приладів.

5.20.Імовірність виходу з ладу за час Т одного конденсатора дорівнює 0,2. Знайти ймовірності того, що за час Т із 100 конденсаторів вийдуть з ладу: 1) не менше 20; 2) менше 28; 3) від 14 до 26 конденсаторів.

5.21.Складають 12 незалежних випадкових величин, кожна з яких має рівномірний розподіл в інтервалі (0, 1). Записати наближений вираз для щільності розподілу суми цих випадкових величин. Знайти ймовірність того, що ця сума знаходиться в межах від 5 до 7.

5.22.Відділ технічного контролю перевіряє якість 900 деталей. Імовірність того, що деталь стандартна, дорівнює 0,9.

Випадкова величина означає кількість стандартних деталей в

партії. Знайти найменший інтервал, симетричний відносно математичного сподівання М , в якому з імовірністю, не меншою

за 0,9544, буде знаходитись кількість стандартних деталей.

5.23. Перевіркою якості виготовлених радіоламп встановлено, що 95 % цих ламп працює не менше від гарантованого терміну. Визначити ймовірність того, що з 500 радіоламп: 1) частка ламп, термін роботи яких менший за гарантований, буде відрізнятися від імовірності виготовлення такої радіолампи не більше ніж на 0,02; 2) частка ламп, термін роботи яких менший за гарантований, буде більше за 95 %.

5.24. Випадкова величина є результатом виміру деякої фізичної величини, закон розподілу якої невідомий. Визначити, яку максимально можливу відносну точність виміру можна гарантувати з імовірністю не меншою за 0,95, якщо: 1) відомо, що математичне сподівання М = 0,1; середньоквадратичне відхилення0,02 ; проводять один вимір; 2) проводять п’ять вимірів і за

результат випадкової величини беруть середнє арифметичне

значення; 3) беруть середнє арифметичне 100 вимірів і при цьому використовують центральну граничну теорему. (Відносною

точністю вимірів називають величину М ).

М

5.25. Цех заводу виготовляє кульки для підшипників. За зміну виготовляють 10 000 кульок. Імовірність того, що одна з кульок має дефект, дорівнює 0,05. Причини дефектів для окремих кульок незалежні. Продукцію контролюють відразу після виготовлення, причому дефектні кульки бракують і зсипають у бункер. Встановити, на яку кількість дефектних кульок має бути розрахований цей бункер, щоб з імовірністю, яка дорівнює 0,99, він не був переповненим після зміни?

Група Б

5.26. Нехай 1, 2 , ..., п ,... – послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин зі скінченними дисперсіями. Припустимо, що n 1 2 ... п . Довести, що

для будь-яких скінченних чисел a та b виконується нерівність

Р a n b 0.

5.27. Нехай 1 , 2 ,..., n ,... – послідовність незалежних однаково розподілених величин із нульовими математичними

однаково розподілених випадкових величин із скінченними

виконується для цієї послідовності центральна гранична теорема? 5.32. При яких значеннях параметра для послідовності

незалежних випадкових величин 1 , 2 ,..., n ,..., таких, що

P n n 12 , виконується центральна гранична теорема?

ВІДПОВІДІ НА ЗАДАЧІ Глава 1

до В}; А В ={влучили в ту частину мішені В, що не входить до

А}; А В А В ={у жодну з мішеней куля не влучила}. 1.2. А В С {всі курсанти виконали вправу};

АВ С ={тільки курсант А виконав вправу};

АВ С ={принаймні один курсант виконав вправу};

АВ С ={принаймні один курсант не виконав вправу};

АВ С ={всі курсанти не виконали вправу}.

1.3.D

D

1.4.C= A A; 3) B; 4) C; 5) C; 6) F. 1.6. Ні. 1.7. Так. 1.8. Так. 1.9. Ні.

1.10. Нічийний результат. 1.12. A B C.

1.13.С= A1 A2 B1 B2 B1 B3 B2 B3 .

1.14.k ,k 1,2,...,8 , де

1.34.1) 0,63; 2) 0,03; 3) 0,07; 4) 0,97.

1.35.a) 0,948; б) 0,794; в) 0,854; г) 0,9. 1.36. 0,834. 1.37. 2101 .

Резервування окремих елементів надійніше. 1.44. 1) 0,476; 2) 0,438.

імовірність виграшу другого гравця. 1.48. 1130 . 1.49. 0,021.