Теор.вер

експерименту, тобто виконуються умови А1, А2, А3. Припустимо, що кожній події А f поставлено у відповідність число P(А), що

задовольняє умови:

Р1. A f : P(А) 0;

Для розв’язання деяких задач достатньо використання умови скінченної адитивності.

Число Р(А) називається ймовірністю події А.

Твердження А1, А2, А3, Р1, Р2, Р3 складають систему аксіом теорії ймовірностей. Вимірний простір , f , на якому введена

ймовірність, називається ймовірнісним простором.

Наведемо деякі приклади побудови ймовірнісних просторів. Нехай простір складається із скінченного числа

де m – число елементарних подій, які сприяють появі події A ;

n – число всіх елементарних подій. Формула (1.1) називається формулою класичної ймовірності.

Нехай простір елементарних подій інтерпретується як область на числовій осі (на площині або у просторі), яка має відповідно довжину (площу або об’єм). Розглянемо -алгебру f

всіх підмножин , які мають довжину (відповідно площу або об’єм). Нехай подія A f . Тоді

де (А) – довжина (площа, об’єм) області А; ( ) – довжина (площа, об’єм) області .

Формула (1.2) називається формулою геометричної ймовірності.

Із означення ймовірності випливають її властивості:

1)Аf: P(А) 1;

2)P( А ) = 1 – P(А);

3)P( ) = 0;

4)P(А В) = P(А)+P(В) – P(А В)

(теорема додавання ймовірностей); 5) якщо А В, то P(А) P(В).

Приклади розв’язання задач

Задача 1.4. На трамвайній зупинці дев’ять пасажирів чекають трамвай, який має три вагони. Кожен пасажир вибирає вагон навмання. Знайти ймовірності подій:

1)А ={у перший вагон зайдуть три пасажири};

2)B ={у кожний вагон зайдуть по три пасажири}.

Розв’язання. Кожен з пасажирів може вибрати один з трьох вагонів трамвая. Якщо один з пасажирів вже вибрав вагон, то наступний пасажир також може вибрати будь-який з трьох вагонів і так далі. Тому дев’ять пасажирів можуть увійти в трамвай 39 способами. Отже, стохастичний експеримент складається з 39

рівноможливих елементарних подій. Події А сприяє 26 C93

Задачі

Група А

1.18. У районі знаходяться два винищувачі та три бомбардувальники. Демаскуючі ознаки однакові. За допомогою радіолокаційної станції (РЛС) виявлено три повітряні цілі. Знайти ймовірності: 1) того, що не виявлено жодного винищувача; 2) виявлено один винищувач; 3) виявлено два винищувачи;

4) виявлено принаймні один винищувач; 5) виявлено не менше одного винищувача; 6) виявлено не більше одного винищувача; 7) не виявлено жодного бомбардувальника; 8) виявлено принаймні

один бомбардувальник; 9) виявлено один винищувач та один бомбардувальник.

1.19.Після виконання бойової задачі на аеродром повертаються шість бомбардувальників, з яких два повністю витратили боєзапас. Знайти ймовірність: 1) того, що один з бомбардувальників, виявлений РЛС противника, не має боєзапасу;

2)виявлений бомбардувальник не повністю витратив боєзапас.

1.20.Дві однакові радіостанції можуть настроюватися на десять фіксованих частот. Яка ймовірність того, що вони будуть працювати на одній частоті, хоч включені незалежно?

1.21.П’яти радіостанціям дозволено працювати на шести радіохвилях. Вибір хвилі на кожній станції проводять навмання. Знайти ймовірність: 1) того, що при одночасній роботі всіх радіостанцій принаймні дві радіохвилі не збігуться; 2) при одночасній роботі всіх радіостанцій було використано різні радіохвилі.

1.22.Партія складається з N деталей. Серед N деталей

знаходяться M бракованих. Для контролю вибирають n деталей (nN). Яка ймовірність того, що з вибраних деталей буде m (m M) бракованих? Розв’язати задачу для N = 10, n = 4, M = 2, m = 2.

1.23. На круглому екрані радіолокатора радіусом R є точкове зображення об’єкта М. Яка ймовірність події А = {відстань від точки M до центра екрана не перевищує R2 }?

1.24.Стрижень довжиною l навмання розламали на дві частини. Яка ймовірність того, що з одержаних частин можна утворити трикутник?

1.25.Дві туристичні групи умовилися зустрітися між 12.00 та

13.00годинами. Група, яка підійшла першою, чекає іншу 20 хв, потім покидає місце зустрічі. Яка ймовірність зустрічі цих груп, якщо моменти приходу кожної групи протягом однієї години незалежні один від одного?

1.26.По радіоканалу зв’язку на проміжку часу (0,1)

передають два сигнали тривалістю 1/2. Кожен з них починається у будь-який момент інтервалу (0, 1– ). Якщо сигнали перекривають один одного хоч би частково, вони не приймаються. Яка ймовірність прийому сигналів?

Група Б

1.27.Регістр калькулятора містить вісім розрядів. Будемо вважати, що поява будь-якого числа на регістрі рівноможлива. Знайти ймовірності подій: А = {в усіх розрядах стоять одні нулі};

В= {у розрядах стоять однакові цифри}; C = {регістр має дві однакові цифри}; D = {регістр має дві пари однакових цифр}; E = ={регістр має три однакові цифри}; F = {регістр містить тільки три різних цифри}.

1.28.Знайти ймовірність того, що корені квадратного

що при вказаних умовах корені рівняння будуть додатними?

1.29.З відрізка [–1, 2] навмання беруть два числа. Яка ймовірність того, що їхня сума більша від одиниці, а добуток менший від одиниці?

1.30.Задача Буфона: на площину, яка розграфлена паралельними прямими, що розташовані одна від одної на відстані

2а, навмання кидають голку довжиною 2L (L a). Яка ймовірність того, що голка перетне одну з паралельних прямих?

1.31. На шахівницю зі стороною квадрата а кидають монету радіусом r < а2 . Знайти ймовірності: 1) того, що монета повністю

буде всередині квадрата; 2) монета перетне не більше однієї сторони квадрата.

1.32. Яка ймовірність того, що в групі з n (n 365) навмання відібраних студентів принаймні у двох виявиться день народження в один і той самий день? Підрахувати Pn для n = 24 та n = 50.

1.3. Теореми додавання і множення ймовірностей

Теореми додавання і множення ймовірностей використовують для знаходження ймовірностей складних подій, тобто таких, які можна записати через інші події за допомогою алгебричних операцій. У теоремах множення ймовірностей часто використовують поняття умовної ймовірності.

Нехай , f , P імовірнісний простір і P B 0, B f . Умовною ймовірністю події A за умови, що відбулася подія B,

називається величина

P A / B P A B . P B

Події А та В назвемо незалежними, якщо P A / B P A або

P B / A P B .

Наведемо теореми додавання і множення ймовірностей.

1.Якщо A B , то P A B P A P B .

2.У загальному випадку P A B P A P B P A B .

5. Якщо А і В – незалежні події, то

P(А В)=P(А)P(В).

6. Для двох незалежних подій

P A B 1 P A P B .

7. Якщо n подій – незалежні у сукупності, то

10. У загальному випадку для n подій

n

P( Ai )=P(А1)P(A2/A1)P(A3/A1 A2) ... P(An/A1 ... An-1).

i 1

Приклади розв’язання задач

Задача 1.6. На електричній схемі (рис. 1.6):

A2

A3

Рис. 1.6

елементи працюють незалежно один від одного. Надійність (імовірність безвідмовної роботи) елементів А1, А2, А3, А4 за час T відповідно дорівнює 0,6; 0,8; 0,7; 0,9. Знайти надійність всієї схеми за час Т.

Розв’язання. Вводимо події: B={схема працює}, Ak = {працює k-й елемент}, k =1,2,3,4. Тоді B =A1 А4 (А2 А3). За умовою задачі елементи працюють незалежно, тому P(В)=P(А1)P(А4)P(А2 А3). Для

двох незалежних подій P(А2 А3)=1–P( A2 )P( A3 ). Остаточно маємо:

P(В)=P(А1)P(А4)[1 – P( A2 )P( A3 )]= 0,6 0,9 (1 0,06 ) = 0,5076.

Задача 1.7. Із урни, яка містить чотири білі та дві чорні кулі, виймають по черзі три кулі. Знайти ймовірність того, що всі вони будуть білими:

1)якщо кулі не повертають в урну після огляду;

2)якщо кожну кулю після огляду повертають в урну.

Розв’язання. Вводимо події: A={усі кулі білі}, Ak={поява білої кулі в k-й раз}; k=1,2,3. Подія A = A1 А2 А3. Коли кулі не повертають в урну після огляду, то події А1, А2, А3 – залежні, тому що з кожним разом змінюється кількість куль в урні. Тоді

P(А)=P(А1)P(A2/A1)P(A3/A1A2) = 64 53 24 0,2.

Коли кулі повертають після огляду в урну, то події А1, А2,

4 3

А3 – незалежні, тоді P(А)=P(А1)P(А2)P(А3)= = 0,296.

6

Задача 1.8. Два зенітно-ракетних комплекси (ЗРК) одночасно незалежно один від одного випускають по одній ракеті по літаку. Імовірність влучення у літак першим ЗРК дорівнює 0,5, а другим – 0,4. Знайти ймовірності подій:

1)В = {обидва ЗРК влучають у літак};

2)C = {один ЗРК влучає у літак};

3)D = {літак не ушкоджений};

4)E = {принаймні один ЗРК влучає у літак}.

Розв’язання. Розглянемо події Ai = {влучення у літак і-м ЗРК}, i=1, 2. За умовою задачі P(А1) = 0,5; P(А2) = 0,4. Отже:

1)B = A1 А2. Події А1 та А2 – незалежні, тоді P(В) =

P(А1 А2)=P(А1)P(А2) = 0,2;

2)подію С можна записати так: C A1 A2 A1 A2 , тоді

P(C) P A1 P A2 P A1 P A2 0,5 ;

3)подія D = A1 A2 , отже, P(D) = P( A1 )P( A2 ) = 0,3;

4)подія E = A1 А2, оскільки події А1 та А2 – незалежні, то за

теоремою додавання для двох незалежних подій:

P Е 1 P А1 P А2 1 0,5 0,6 0,7.

три з чотирьох запитань білета. Яка ймовірність того, що студент здасть залік?

1.37.На семи картках написані літери “А” “К”, “И”, “К”, “Ї”, “И”, “В”. Після перетасування одну за одною виймають чотири картки. Яка ймовірність скласти слово “КИЇВ”?

1.38.Є n РЛС, які стежать за одним об’єктом. Кожна станція виявляє об’єкт незалежно від інших станцій з імовірністю Р. Яка ймовірність того, що об’єкт буде виявлено?

1.39.Імовірність влучення в мішень одним пострілом дорівнює р. Скільки треба зробити незалежних пострілів, щоб імовірність принаймні один раз влучити в мішень була не меншою за P? Задачу розв’язати для p = 0,4; P = 0,9.

1.40.Для сигналізації аварії встановлено два сигналізатори, які працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що при аварії спрацює перший сигналізатор дорівнює 0,95, а другий – 0,9. Знайти ймовірності того, що при аварії спрацюють: 1) принаймні один сигналізатор; 2) тільки один сигналізатор.

1.41.Літак долає три зони протиповітряної оборони (ППО). При подоланні першої зони його пошкоджено з імовірністю 0,6; другої, за умови, що він пройшов першу, – 0,7; а третьої, за умови, що він пройшов перші дві, – 0,5.

Знайти ймовірності подій: 1) проходження всіх зон; 2) пошкодження літака при проходженні другої зони.

Група Б

1.42. Імовірність виходу з ладу електричного приладу через те, що зіпсується електричне коло, дорівнює p . Для підвищення

надійності роботи у прилад поставлено m кіл, які дублюють одне одного. У скільки разів підвищиться при цьому надійність роботи приладу?

1.43. Схема працює, якщо сигнал послідовно проходить через елементи А1, А2, А3. Імовірності відмов цих елементів відповідно дорівнюють 0,1; 0,4; 0,1. Який спосіб з’єднання елементів більш надійний:

а) резервування всього кола (рис.1.8, а); б) резервування елементів кола (рис.1.8, б)?