Теор.вер

Удеяких технічних застосуваннях замість параметрів 1 та

2 іноді використовують серединні відхилення E1 E , E2 E .

Зв’язок між параметром E та середньоквадратичним відхиленням

Розсіювання нормально розподіленої випадкової точки з координатами , називається коловим, якщо 1 2 (або

E1 E2 E ). У цьому випадку еліпси розсіювання стають колами.

Рис. 3.12

Знайти ймовірність ураження літака, якщо прицілювання виконують по центру літака, систематичні помилки відсутні,

розсіювання колове із серединним відхиленням Е 6,2510 3 D , де D – дальність стрільби (в метрах). Визначити необхідну кількість пострілів, за якої ймовірність ураження літака буде не меншою за

P = 0,8.

Розв’язання. Нехай подія A ={літак уражений}. Імовірність знищення літака дорівнює ймовірності хоча б одного влучення при

двох незалежних пострілах, тобто Р A 1 1 p 2 , де р –

імовірність влучення в літак при одному пострілі. Систематичні помилки відсутні, тобто центр розсіювання збігається з точкою прицілювання. Тому ймовірності влучення в праву та ліву частини

знаходження ймовірності принаймні одного влучення при N

ln 1 0,8

N 86,7 . Отже, треба зробити не менше ніж 87 ln 1 0,0184

пострілів для ураження літака з імовірністю, не меншою за 0,8. Задача 3.7. Система двох випадкових величин , має

нормальний закон розподілу із щільністю розподілу ймовірностей

залежні випадкові величини. Знайдемо умовні щільності розподілу

Якщо спростити цей вираз, то будемо мати:

нормального закону з параметрами, які збігаються з умовним математичним сподіванням та умовною дисперсією. Порівнюючи умовні щільності розподілу із загальним виглядом щільності розподілу закону Гаусса, маємо такі умовні математичні сподівання: M y 2 , M 3 0,25 x 1 . Цей результат

показує, що лінії регресії для нормально розподілених випадкових величин є прямі.

Задачі

Група А

3.36. Щільність розподілу ймовірностей системи випадкових

3.37. Центр розсіювання системи двох нормально розподілених випадкових величин є точка М(4,–3), а кореляційна

розподілу ймовірностей f x, y випадкового вектора , .

3.38.Система двох випадкових величин , має

Записати щільність розподілу ймовірностей та функцію розподілу системи випадкових величин , в обох випадках.

3.39.Ціль на плані є прямокутник із сторонами 30 та 10 м, траєкторія руху ракети проходить через центр прямокутника, прицілювання виконують по центру прямокутника. Напрямок стрільби збігається з напрямком більшої сторони прямокутника, серединне відхилення за дальністю дорівнює 20 м, у боковому напрямку – 4 м. Яка ймовірність влучення ракети в ціль?

3.40.Система двох незалежних випадкових величин ,

має нормальний закон розподілу з параметрами М(0, 0), 1 10 та2 15. Знайти ймовірність попадання випадкової точки з координатами , в еліпс з центром на початку координат та з

півосями, які відповідно дорівнюють: 1) 5 та 7,5; 2) 10 та 15; 3) 20 та 30 м.

3.41. Задано щільність розподілу ймовірностей випадкової точки на площині:

f (x, y) Aexp 4 x 5 2 2 x 5 y 3 5 y 3 2 .

Треба: 1) знайти коефіцієнт А; 2) скласти кореляційну матрицю системи випадкових величин , ; 3) обчислити площу еліпса розсіювання з 1.

3.42.Система двох випадкових величин , має

координати точки.

3.44. Помилки визначення координат повітряних об’єктів РЛС розподілено за нормальним законом розподілу із щільністю

Яка ймовірність того, що координати об’єкта будуть виміряні з помилками за модулем не більше як 5 м вздовж осі ОХ та 10 м – вздовж осі ОУ?

3.45. Нормально розподілена система незалежних випадкових величин , має колове розсіювання із серединним

відхиленням 10 м та нульовим математичним сподіванням. Треба: 1) записати щільність розподілу системи; 2) знайти ймовірність того, що в чотирьох дослідах випадкова точка з координатами, не менше як три рази попаде у коло радіусом 18 м;

3) записати функцію розподілу та щільність розподілу ймовірностей радіального відхилення випадкової точки з координатами , від початку координат.

Група Б

3.46. Систему двох випадкових величин , розподілено за нормальним законом із щільністю

Записати щільності розподілу ймовірностей компонент та

і умовні щільності розподілу.

3.47.Відхилення від номіналів двох розмірів деталі та розподілено за нормальним законом із характеристиками:

M 1 мм, M 2 мм, 2,97 мм, 3,71 мм.

Відділ технічного контролю (ВТК) приймає тільки ті деталі, в яких відхилення від номіналів обох розмірів не виходить за межі (– 5; 5) та (– 7; 5,5) мм відповідно. Знайти ймовірності подій: А = {вибрана навмання деталь буде забракована ВТК}; В = {три деталі, вибрані навмання, прийняті ВТК}; С = {не менше, ніж дві з трьох деталей прийнято ВТК}; D = {принаймні одна з трьох деталей забракована ВТК}.

3.48.Ціль на плані є прямокутник зі сторонами 250 та 150 м. Заходження літака на бомбометання проходить вздовж більшої сторони. Серединне відхилення за дальністю дорівнює 100 м, за напрямком – 80 м. Прицілювання виконують по центру цілі, але через систематичні помилки центр розсіювання змістився в бік недольоту на 20 м та вправо на 10 м. Знайти: 1) імовірність влучення при скиданні однієї бомби; 2) імовірність ураження цілі при скиданні трьох бомб, якщо для цього достатньо одного влучення; 3) імовірність влучення в ціль двох з п’яти скинутих бомб; 4) середню кількість влучень при скиданні чотирьох бомб.

3.49.Парашутист бере участь у змаганні на точність приземлення й виконує свій стрибок останнім. Характеристики розсіювання точки приземлення парашутиста дорівнюють за

вітром – 2,5 м, проти вітру – 2 м. Систематичні помилки відсутні. Три кращих результати (відхилення точки приземлення від центра хреста), що були показані попередніми парашутистами, відповідно дорівнюють 1,5; 2 та 2,5 м. Знайти ймовірність того, що парашутист: 1) посяде перше місце; 2) посяде друге місце; 3) посяде третє місце; 4) не посяде призове місце.

ГЛАВА 4. ФУНКЦІЇ ВИПАДКОВИХ АРГУМЕНТІВ

4.1. Закон розподілу функції одного випадкового аргументу

Нехай – дискретна випадкова величина, закон розподілу якої має вигляд: P xk pk , k = 1, 2, ..., тоді закон розподілу дискретної випадкової величини знаходимо за таким алгоритмом:

1)обчислюємо всі значення, яких може набувати випадкова величина , тобто yk xk , k = 1, 2, ... ;

2)упорядковуємо ці значення;

3)під упорядкованими значеннями yk пишемо відповідні

ймовірності, якщо yk (xk ) (xr ) ... (xs ) , то ймовірність

обчислюємо так:

P yk } pk pr ... ps .

випадкової величини знаходимо за формулою:

диференційовна функція на області визначення, то кожна її монотонна частина має свою обернену функцію y i x , і=1,2,....,

n, де п – кількість монотонних частин функції y x . У цьому разі закон розподілу знайдемо за формулою:

Приклади розв’язання задач