Теор.вер

Для n = 2 функція розподілу є функція двох дійсних змінних:

F (x, y) Р{ x, y} .

Основні властивості функції розподілу у випадку n 2 :

Випадковий вектор називається дискретним, якщо його компоненти є дискретними випадковими величинами. Закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин , найчастіше задається таблицею розподілу (табл. 3.1).

Таблиця 3.1

дискретного двовимірного випадкового вектора функція розподілу

центром розсіювання. Для знаходження координат центра розсіювання у випадку n = 2 користуються формулами:

Дисперсію компоненти , яка означає розсіювання відносно осі OX, знаходимо за формулою

Випадкові величини називаються некорельованими, якщо

Обернене твердження виконується не завжди. Якщо r 0 , то це

означає тільки відсутність лінійної залежності між випадковими величинами, але інший вид залежності може бути.

Незалежність двох дискретних випадкових величин перевіряємо за формулами:

Уформулах (3.2) – (3.5) ряди замінюються скінченними сумами, якщо множина значень , скінченна.

Узагальному випадку (n > 2) обчислюють кореляційні моменти окремих пар компонент i і j :

K i j M i M i j M j , i, j=1,..., n,

значення яких записуються у вигляді кореляційної матриці

Важливою характеристикою умовного розподілу є умовне математичне сподівання. Умовним математичним сподіванням

Приклади розв’язання задач

Задача 3.1. Зроблено три постріли по мішені. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,4. Для ураження мішені достатньо двох влучень, а при одному влученні мішень може бути уражена з імовірністю, яка дорівнює 0,8.

1.Скласти таблицю розподілу випадкового вектора , , де

– загальна кількість влучень, характеризує стан мішені, тобто0 , якщо мішень не уражена, та 1, якщо мішень уражена.

2.Записати функцію розподілу системи випадкових величин

( , ).

3.Обчислити числові характеристики , .

p11 P 1, 1 C31 0,4 0,6 2 0,8 0,346;

p20 P 2, 0 P 0 ;

p21 P 2, 1 C32 0,4 2 0,6 1 0,288;

p30 P 3, 0 P 0 ;

p31 P 3, 1 0,4 3 1 0,064.

Зробимо перевірку результатів:

pij 0,216 0,086 0,346 0,288 0,064 1.

i j

Складемо таблицю розподілу системи , (табл. 3.2).

Таблиця 3.2

2. Для знаходження функції розподілу

F (x, y) P{ x, y}

зручно використовувати її геометричну інтерпретацію, оскільки

. Дійсно, у цьому випадку в зазначеній області немає жодної точки можливих значень , (рис. 3.2).

Дійсно, в заштрихованій на рис. 3.3 області знаходиться точка з координатами (0,0).

F (x, y) P 0, 0 P 0, 1 0,216 0 (рис. 3.4).

Аналогічно, орієнтуючись весь час на геометричну інтерпретацію функції розподілу, знаходимо всі значення F (x, y) .

Відшукані значення заносимо в табл. 3.3.

Таблиця 3.3

3. Для обчислення числових характеристик випадкового вектора , спочатку складаємо ряди розподілу окремих компонент вектора. Наприклад, для того щоб знайти ймовірності P xi , треба скласти ймовірності pij , які стоять у таблиці

p 0,302 0,698

За формулою (2.1) обчислюємо:

M 0 0,216 1 0,432 2 0,288 3 0,064 1,2 ;

M 0 0,302 1 0,698 0,698.

Таким чином, центр розсіювання випадкового вектора системи , має координати (1,2; 0,698). Знайдемо дисперсії компонент. Будемо використовувати формулу (2.4):

D 0 0,216 1 0,432 4 0,288 9 0,064 1,2 2 0,72;

D 0 0,302 1 0,698 0,698 2 0,211.

Кореляційний момент системи випадкових величин , обчислюємо за формулою (3.5):

K 0 0 0,216 0 1 0,086 0 2 0 0 3 0 1 0 01 1 0,346 1 2 0,288 1 3 0,064 1,2 0,698 0,2764.

Складемо кореляційну матрицю системи , :

скористаємося властивістю функції розподілу (3.1). Відповідні значення функції розподілу візьмемо з таблиці. Отже,

P 0 2, 0 1 F (2,1) F (0,0)F 0,1 F 2,0 0,302.

Задача 3.2. Система дискретних випадкових величин , задана таблицею розподілу (табл. 3.6).

Таблиця 3.6

Задачі

Група А

3.1. Випадковий вектор , має таблицю розподілу

(табл. 3.7).