Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4612 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Теор.вер

.pdf
Скачиваний:
387
Добавлен:
12.05.2015
Размер:
2.99 Mб
Скачать
☆

Задача 4.1. Закон розподілу дискретної випадкової величинизаданий рядом розподілу (табл. 4.1).

Таблиця

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–2

 

–1

 

–0,5

0,5

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

2

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

12

 

 

9

 

9

 

 

6

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайти закон розподілу випадкової величини 2 .

 

 

 

Розв’язання.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Знаходимо значення випадкової величини :

 

 

 

y 2 2

4;

y

 

1 2 1;

y 0,5 2

 

1

;

 

y

 

0,5 2

 

1

;

2

 

 

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 12 1;

 

y 22 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знаходимо ймовірності, з якими ці значення набуваються:

P 0,25 P 0,5 P 0,5 19 92 13 ;

P 1 P 1 P 1 121 16 14 ;

P 4 P 2 P 2 14 16 125 .

Отже, ряд розподілу має вигляд (табл. 4.2).

 

 

 

 

 

 

 

Таблиця 4.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,25

 

1

 

4

 

 

р

1

 

 

1

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

4

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.2. Через точку з координатами (a, 0), а > 0 на площині XOY проведено пряму під гострим кутом до осі ОХ

(рис. 4.1).

Рис. 4.1

Значення кута мають рівномірний розподіл в інтервалі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

. Знайти закон розподілу ординати точки перетину прямої

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з віссю OY.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. Випадкова величина

 

 

 

за умовою задачі має

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рівномірний

розподіл в

інтервалі

 

 

 

 

,

 

 

 

, тому

 

щільність

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

розподілу ймовірностей випадкової величини буде такою:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

,

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

,

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ордината точки перетину прямої з віссю OY є випадковою

величиною

,

яка зв’язана з

 

формулою

a tg . Функція

y a tgx, a 0

є зростаюча диференційовна функція в інтервалі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y arctg

y

 

 

 

 

,

 

 

. Вона має обернену функцію

 

 

. Відомо,

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

що похідна y

a

. Отже, за формулою (4.1) знаходимо:

 

 

a 2 y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

f y

 

 

a

 

, y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2 y 2

 

 

 

Це є щільність розподілу ймовірностей для закону Коші. Задача 4.3. Випадкова величина має рівномірний розподіл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в інтервалі

 

 

,

 

 

 

. Знайти закон розподілу випадкової величини

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання.

Функція

y cos x

 

–

немонотонна

функція в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

інтервалі

 

 

 

,

 

 

 

. У цьому інтервалі вона складається з двох

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

монотонних частин. Отже, при x

 

 

 

,0

 

y cos x має обернену

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

функцію 1

y arccosy,

 

 

0,

 

 

оберненою

функцією

при x

 

 

буде 2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

arccosy .

З

умови

задачі

щільність

розподілу

випадкової величини

дорівнює:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

,

 

 

 

 

 

f x

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

,

 

 

 

;

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

,

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

За формулою (4.2) знаходимо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

y f

 

 

1

y

 

y

 

 

f

 

 

2

y

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

,

 

y 0, 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 y 2

 

 

 

1 y 2

 

 

 

1 y 2

 

 

 

 

 

Задачі

Група А

4.1. Дискретна випадкова величина має ряд розподілу

(табл. 4.3).

Таблиця 4.3

 

–2

–1

0

1

2

 

 

 

 

 

 

p

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

Знайти закони розподілів випадкових величин 1 2 1,

2 .

4.2.Дискретна випадкова величина має ряд розподілу

(табл. 4.4).

Таблиця 4.4

 

0

1

2

 

 

 

 

p

0,2

0,5

0,3

Скласти ряди розподілів випадкових величин 1 2 1 ,

2 3 2 , 3 2 .

4.3.Неперервна випадкова величина має щільність

розподілу ймовірностей f x . Знайти закон розподілу випадкової величини a b , де а та b – дійсні числа.

4.4. Неперервна випадкова величина має рівномірний

 

 

 

 

 

розподіл в інтервалі

 

 

,

 

 

. Знайти закони розподілів

 

 

 

 

 

2

 

 

2

випадкових величин 1

sin ,

2

 

 

sin

 

.

 

 

має

 

 

 

 

 

 

4.5.

Неперервна

випадкова

величина

 

 

щільність

розподілу

ймовірностей

f x .

 

 

Знайти

закони

розподілів

випадкових величин 1

 

 

1

 

, 2

та 3

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

4.6. Неперервна випадкова величина розподілена за

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

законом Коші, тобто

f x

 

,

x .

 

1 x 2

 

Знайти

закони

розподілів

 

випадкових

величин:

1 3 ,

 

a 2 ,

 

arctg та

 

 

1

.

 

4

 

 

1

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.7.Знайти щільність розподілу об’єму куба, ребро якого є випадкова величина, рівномірно розподілена в інтервалі (0, а).

4.8.Через точку з координатами (0, l ) проведено навмання пряму. Знайти закон розподілу абсциси точки перетину цієї прямої

звіссю 0Х.

Група Б

4.9. Стрілець робить чотири постріли по мішені з різних відстаней. Імовірності влучення при кожному пострілі дорівнюють відповідно 0,4; 0,5; 0,5; 0,6. Знайти ряд розподілу кількості одержаних стрільцем очок у таких варіантах організації змагань:

1) за кожне влучення йому присуджується п’ять очок; 2) за одне – два влучення йому присуджується п’ять очок; за три– чотири влучення – 10 очок, за нуль влучень з нього знімають три очки.

4.10. Неперервна випадкова величина має щільність розподілу f x . Знайти закони розподілу випадкових величин:

1 sign , 2 min , 2 .

4.11. Неперервна випадкова величина має рівномірний розподіл в інтервалі (0, 1). Вона зв’язана з випадковою величиною

функціональною залежністю tg 2 e . Знайти щільність

розподілу ймовірностей f y .

4.12. Неперервна випадкова величина рівномірно розподілена в інтервалі (а, b) і має функцію розподілу F x . Вона

зв’язана з випадковою величиною функціональною залежністюF . Знайти закон розподілу випадкової величини .

4.13. Два відрізки довжиною а та b виходять з однієї точки під випадковим кутом один до одного. Кут є неперервна випадкова величина, яка рівномірно розподілена в інтервалі 0,

. Знайти щільність розподілу площі трикутника, побудованого на цих відрізках.

4.2. Закон розподілу функції кількох випадкових аргументів

 

 

 

Нехай випадкова величина 1 , 2 ,..., n , де випадковий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектор

 

1 ,..., n

має

щільність

розподілу

ймовірностей

f x , x

2

,..., x

n

,

 

тоді

закон

розподілу

випадкової

величини

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знаходимо за формулою:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F y

...

f x1, x2 ,...,xn dx1dx2...dxn ,

(4.3)

 

 

 

x ,...,x

 

 

Dy

 

 

y .

 

 

 

де

D

y

n

Rn

; x ,...,x

n

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Зокрема,

 

 

для

функції

 

двох

випадкових

аргументів

1 , 2 формула (4.3) має вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F z f 1 2 x, y dxdy ,

 

(4.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dz

 

 

 

 

 

де

D

z

x, y R2 : x, y z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Важливим випадком є складання закону розподілу суми

випадкових величин. Якщо

випадкова

величина 1

2 , то

щільність розподілу ймовірностей суми випадкових величин

 

 

 

 

f z f 1 2

x, z x dx або

f z f 1 2

z y, y dy .

 

 

 

 

Якщо додаються незалежні випадкові величини, то закон розподілу суми називається композицією законів розподілу доданків.

У цьому випадку щільність розподілу суми двох незалежних неперервних випадкових величин

f z f 1 f 2 z ,

тобто згортки законів розподілу доданків. Цей результат узагальнюється на будь-яке число доданків незалежних неперервних випадкових величин:

f 1 .... n z f 1 f 2 ... f n z .

Закон розподілу випадкової величини називається стійким, якщо композиція законів одного типу дає закон того самого типу.

Приклади розв’язання задач

Задача 4.4. Закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин заданий таблицею розподілу (табл. 4.5).

Таблиця 4.5

 

 

 

 

 

 

 

 

–1

0

1

0

0,1

0,2

0

1

0,2

0,3

0,2

Скласти ряд розподілу випадкової величини 2 2 .

Розв’язання. Обчислюємо можливі значення, яких набуває випадкова величина :

якщо x1 1, y1 0, то z1 2 1 02 2 ; якщо x1 1, y2 1, то z2 2 1 12 1; якщо x2 0, y1 0, то z3 2 0 02 0 ; якщо x2 0, y2 1, то z4 2 0 12 1; якщо x3 1, y1 0, то z5 2 1 02 2 ; якщо x3 1, y2 1, то z6 2 1 12 3 .

Імовірності, з якими ці значення набуваються, візьмемо з табл. 4.5:

p1 P 1, 0 0,1;

p2 P 1, 1 0,2;

p3 P 0, 0 0,2;

p4

 

P 0, 1 0,3;

p5 P 1, 0 0;

p6

 

P 1, 1 0,2.

За результатами складаємо ряд розподілу випадкової

величини (табл. 4.6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблиця 4.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–2

–1

 

0

 

1

 

2

3

 

 

p

0,1

0,2

0,2

 

0,3

 

0

0,2

 

Задача 4.5. Випадкова точка з координатами , має

рівномірний розподіл у квадраті K x, y :

0 x 1, 0 y 1 .

Знайти закон розподілу площі прямокутника із сторонами

та .

Розв’язання. Площа прямокутника S є випадкова величина,

яка дорівнює S ,

0 S 1. За формулою (4.4) функція

розподілу

Fs z

f x, y dxdy ,

 

 

DZ

 

де D x, y R2 : xy z .

 

Z

 

випадкових величин , має

За умовою задачі

система

рівномірний розподіл у квадраті К. Це означає, що щільність

розподілу ймовірностей випадкового вектора

, має вигляд:

1,

x, y K;

 

f x, y

x, y K.

 

0,

 

 

 

 

При 0 z 1 область інтегрування

Dz має вигляд, що

показано на рис. 4.2.

 

 

y

xy = z

1

Dz

0

z

1

 

 

x

 

 

Рис. 4.2

 

 

 

 

 

 

1

1

 

Отже, Fs z dxdy 1 dxdy 1 dx dy z 1 ln z .

DZ

 

DZ

z

 

z

 

Якщо z >1, то FS ( z ) =1, при z 0

 

 

x

FS ( z ) 0. Остаточно

 

0,

 

z 0;

 

 

 

F z

z 1 ln z , 0 z 1;

S

 

 

 

 

 

 

 

1,

 

z 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.6. Скласти композицію двох рівномірних законів, якщо вони задані відповідно в інтервалах (1, 3) та (2, 5).

Розв’язання. За умовою задачі потрібно знайти закон розподілу суми двох незалежних випадкових величин та ,

якщо:

 

1

 

, x 1, 3 ;

1

 

y 2, 5 ;

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

f x

2

 

x 1, 3 ;

f y

3

 

 

y 2, 5 .

0,

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знаходимо функцію розподілу

випадкової

величини

за формулою (4.4). Відомо,

що для

незалежних

випадкових величин виконується рівність:

f (x, y)

f (x) f ( y).

Отже, F z f x f y dxdy, де Dz – область, для якої x+y <z і

Dz

жодна з функцій f x , f y не набуває нульових значень. Область

інтегрування буде різною, залежно від того, в якому з проміжків,3 , 3,5 , 5,6 , (6,8] , (8, ) знаходяться значення z.

Області інтегрування показані на рисунках:

1)при z 3 (рис. 4.3), F z 0 ;

2)при 3<z 5 (рис. 4.4),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F z

z 2

 

 

 

 

 

z x

f y dy

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

x dx

 

 

 

 

z 3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) при 5 z 6 (рис. 4.5),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

z x

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F z

 

 

dx

 

dy

 

z 5 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

5x

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) при 6< z 8 (рис. 4.6),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 6 10 z ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z5

1

 

5

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

z x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F z

dx

 

 

dy

 

 

 

dx

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

6x 3

 

 

 

 

z5 2

6x

3

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) при z >8, F z

 

dx

 

dy 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y = z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y = z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

2 3

 

4

 

5 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

2 3 4 5 x

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.4z – 2

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y = z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y = z

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

2 3 4 5 6 x

 

0

 

 

 

 

1

2 3

4

5 6

7

8 x
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности