Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теор.вер

.pdf

Скачиваний:

387

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

2.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

		x (
A cos x,						,			);
				2			2
f (x)

	0,	x (			,			).

			2			2

1.Знайти коефіцієнт А та побудувати графік щільності розподілу ймовірностей f (x) .

2.Записати функцію розподілу F (x) та побудувати її

графік.

3. Обчислити числові характеристики M , D та середньоквадратичне відхилення .

4. Знайти ймовірність події		.
	3	3
Розв’язання.
1. Коефіцієнт А знайдемо з	умови	нормування щільності
				1
	2
розподілу ймовірностей. Маємо:	Acos xdx 1,		звідси A=		.
розподілу ймовірностей. Маємо:	Acos xdx 1,		звідси A=	2	.
				2
	2

Графік щільності розподілу ймовірностей наведений на рис. 2.4.

0,5

–	–	0	x

Рис. 2.4

2. Знайдемо функцію розподілу випадкової величини :

	x		1	x	1
F (x)		f (t)dt =	1	costdt	1	(sin x 1) ,
F (x)		f (t)dt =	2	costdt	2	(sin x 1) ,
			2		2
				2

якщо x (	,	).
2		2
При x				,	F (x) = 0, при			x ,	F (x) = 1.
При x				,	F (x) = 0, при			x ,	F (x) = 1.
		2						2
		2						2
Отже,
							0,	x				;
							0,	x				;
									2
									2

			F (x) =			1	(sin x 1),	x (					,		);
			F (x) =				(sin x 1),	x (		2			,	2	);
					2					2				2
							1,	x			.
							1,	x			.
								2
								2

Графік функції розподілу випадкової величини наведений на рис. 2.5.

1
0,5
0	x
Рис. 2.5

3. Числові характеристики випадкової величини обчислимо за формулами (2.7) і (2.8):

		1	2
M	xf (x)dx		x cos xdx 0 ;
		2

			2

										2
				1		2				2
D (x M )2	f	(x)dx		1			x2 cos xdx				2 ;
D (x M )2	f	(x)dx		2			x2 cos xdx		4		2 ;
				2					4
						2
					2		8
			D		2		8	.
			D		2			.

4. Імовірність попадання випадкової величини в заданий проміжок знайдемо за властивістю 4 функції розподілу:

									3
Р			= F	F		sin				.
Р		3	= F	F		sin	3	2		.
	3	3	3		3		3	2

Задачі

Група А

У задачах 2.16 – 2.22 випадкова величина має щільність розподілу ймовірностей f (x) . Знайти коефіцієнт А, побудувати графік функції f (x) , знайти функцію розподілу F (x) та

побудувати її графік, обчислити числові характеристики величини
	та знайти ймовірність події .
	2.16. f (x) = 0,	x 2, x 8;	3; = 5.
	A,	2 x 8;

2.17.f

2.18.f (

0, (x) =

Ax,

0, x) =

A(x 1),

x 0, x 2; 0 x 2;

x 1, x 2;

1 x 2;

1,5; = 2.

0; = 1.

2.19.	f (x) = 0,		x 1, x 2;
	A(x 1),			1 x 2;
2.20.	f (x) = 0, 2	,	x 0,	x 1;
	Ax	,	0 x 1;

1; = 43 .

0,25; = 0,25.

2.21. f (x) =

2 x 0,

x 3;

1; = 2.

A(3x x

0 x

2.22. f (x) =

2 x 0,

x 2;

0,5; = 1.

A(2x x

0 x

2.23. Функція розподілу неперервної випадкової величини

має вигляд:

x 0 ;

F (x)

0 x 3;

x 3.

Знайти

коефіцієнт А,

щільність

розподілу ймовірностей

f (x) , числові характеристики M

і D , а також імовірність події

1 4 .

2.24. Функція розподілу неперервної випадкової величини

має вигляд:

x a ;

F (x) A B arcsin

a x a ,

a 0 ;

x a.

Знайти коефіцієнти А та В, побудувати графік функції F (x) .

Записати щільність

розподілу

ймовірностей

f (x) , побудувати

графік. Яка ймовірність події

У задачах 2.25 – 2.27 неперервна випадкова величина має функцію розподілу, яка задана графічно (рис. 2.6 – 2.8). Записати

аналітичні вирази для функції	F (x)	та щільності	розподілу
ймовірностей f (x) . Обчислити числові характеристики M				і D
.
2.25.
1


0	2	5	x

Рис. 2.6

2.26.

0,5

-3

Рис. 2.7

2.27.

0,5

6 x

Рис. 2.8

Група Б

2.28. Неперервна випадкова величина має щільність


розподілу ймовірностей	f		(x) Ae	x	, 0	(розподіл	Лапласа).


Визначити коефіцієнт А,		побудувати графіки функції					f (x) та

функції розподілу F (x) . Знайти числові характеристики розподілу Лапласа та ймовірність події M .

2.29. Неперервна випадкова величина має щільність

розподілу ймовірностей, графік якої зображено на рис. 2.9 (закон Сімпсона).

	0	1	2		x
		Рис. 2.9
Записати аналітичні вирази			функцій	f (x) та		F (x) .

Обчислити числові характеристики M і D , знайти ймовірність події 1 1,5 .

2.30. Деякі неперервні випадкові величини, які використовують в економіці, статистиці та інших прикладних науках, розподілені за законом Парето. Функція розподілу закону Парето задається так:


		0,
	x0			a
F (x)	x0
1			,
1			,
		x
		x

x x0 ;

x x0 ,

a 0.

Записати щільність розподілу ймовірностей закону Парето. При яких значеннях параметра а існує математичне сподівання M та дисперсія D ? Знайти числові характеристики закону.

2.31. У задачах з радіотехніки і радіолокації часто зустрічаються неперервні випадкові величини , які розподілені за

законом Релея:

			0,					x 0 ;
				x	2
f (x)	x			x
f (x)	x					2		x 0,	0.
			e 2				,
		2	e 2				,

Записати функцію розподілу								F (x) . Побудувати графіки
функцій щільності розподілу			ймовірностей						f (x) та	F (x) ,

обчислити числові характеристики M і D .

2.32. Щільність розподілу ймовірностей випадкових амплітуд шумової напруги задають законом Релея з параметром . Чи однаково часто зустрічаються амплітуди, менші та більші за середню?

2.33. У деяких приладах термін служби елементів електронної апаратури задається законом розподілу Вейбулла,

функція розподілу якого має вигляд:
1 ехр сxa		,	x 0, a 0, c 0;
F (x)	0,			x 0.
	0,			x 0.
Записати щільність розподілу ймовірностей закону Вейбулла
та знайти числові характеристики M			і D .
2.34. Неперервна випадкова величина розподілена за законом
Коші, якщо її функція	розподілу	дорівнює		F (x) b c arctg	x	,
Коші, якщо її функція	розподілу	дорівнює		F (x) b c arctg		,
					a
					a

x . Знайти коефіцієнти b і с. Записати щільність розподілу закону Коші. Чи існує математичне сподівання цього розподілу?

2.35. У теорії масового обслуговування та теорії надійності важливу роль відіграє закон Ерланга, щільність розподілу


		0,		x 0;
ймовірностей якого має вигляд: f		n 1
ймовірностей якого має вигляд: f	(x)	n 1
			x n e x , x 0.
			x n e x , x 0.
		n!

Записати функцію розподілу закону Ерланга та знайти його числові характеристики.

2.3. Деякі закони розподілу випадкових величин

Біномний розподіл. Цілочислова невід’ємна випадкова величина розподілена за біномним законом, якщо подія m

має ймовірность:

P m Cnm pmqn m , m = 0, 1, 2, ..., n; q = 1 – p.

Функція розподілу випадкової величини має вигляд:

x 0 ;

k 1

(x) Cnm p m q n m ,

0 x k ;

m 0

k 1, 2, ...,n.

Числові характеристики біномного розподілу:

M np ;

D npq;

npq .

Розподіл Пуассона. Цілочислова невід’ємна випадкова

величина має

розподіл Пуассона,

якщо

подія

m має

ймовірність:

P m

a m

e a ,

(2.10)

де а > 0 – параметр закону Пуассона, m = 0,1,2,...

Функція розподілу величини має вигляд:

x 0;

F (x) n 1 a m

e a ,

0 x n,

n 1,2,...

m 0 m!

Числові характеристики закону Пуассона: M = D =а. Рівномірний розподіл. Неперервна випадкова величина

має рівномірний розподіл на проміжку [a,b], якщо її щільність розподілу ймовірностей задається так:

	1
		,	x [a,b];
		,	x [a,b];
f (x) b a
	0,		x [a,b].

Функція розподілу рівномірного закону має вигляд:

F(x) x a ,

b a1,

x a ;

a x b ; x b.

Числові характеристики рівномірного розподілу дорівнюють:

M		a b	; D	(b a)2
					.
		2		12

Експоненціальний (показниковий) розподіл. Неперервна
випадкова величина		має експоненціальний (показниковий)
розподіл, якщо її щільність розподілу ймовірностей має вигляд:
		0,		x 0;
f	(x)		e x ,	x 0,

де > 0 – параметр закону.

Відповідно функція розподілу записується так:

			0,			x 0;
F	(x) 1 e x , x 0.

Експоненціальний закон має числові характеристики:
M		1	; D					1		.
								2
Нормальний закон розподілу (закон Гаусса). Неперервна
випадкова величина	розподілена					за			законом Гаусса, якщо її
щільність розподілу має вигляд:
			1				( x a)2
f	(x)				e			2 2				,
								2 2

				2
				2
де а і >0 – параметри закону. Зміст цих параметрів такий:
M a; D 2 , тобто													.

Функція розподілу F (x)			закону Гаусса записується через
функцію Лапласа Ф(x) :
			x a								1
F (x) Ф												,
F (x) Ф											2	,
											2

де Ф(x) 1

Функція

x	t 2
x
e	2	dt .
0
Ф(х) – непарна, lim Ф(x) 0,5 ,			lim Ф(x) 0,5 .
		x	x

Таблиця значень функції Лапласа наведена в дод. 1. Для х > 5 вважають Ф(х) = 0,5.

При розв’язанні задач найчастіше користуються формулами:

P Ф

;

} 2Ф

;

3 } 2Ф 3 0,9973.

(2.11)

Формула (2.11) є змістом “правила 3 ”, згідно з яким практично всі значення нормально розподіленої випадкової величини знаходяться в інтервалі a 3 , a 3 .

У технічних задачах іноді замість параметра застосовують параметр Е, який називається серединним відхиленням. Цей


параметр визначається так:
Р	a	3 } 0,5 .
Р	a	3 } 0,5 .
З параметром він пов’язаний співвідношенням

	E 2 ,		(2.12)
де 0,477.

Якщо за числову характеристику розсіювання береться серединне відхилення, то щільність розподілу ймовірностей закону Гаусса набуває вигляду:

			2 ( x a)2
f (x)				2		,
f (x)		e		E		,

	E
а функція розподілу
	ˆ x a				1
F (x) Ф						,
F (x) Ф					2	,
		E			2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.05.2015270.34 Кб15ТЕМА_1_v2.doc
#
30.04.2019291.84 Кб2Тематика, задания КП, РСО.doc
#
17.03.2016104.45 Кб12Теми рефератів і приклади виконання.doc
#
17.03.2016122.37 Кб25Теми рефератів і приклади виконання.doc
#
08.09.20193.28 Mб8Теор мех окончательная.docx
#
12.05.20152.99 Mб387Теор.вер.pdf
#
12.05.201512.52 Mб85Теор_мех_1.doc
#
13.08.2019809.47 Кб7Теорія автоматичного управління.doc
#
09.11.20193.01 Mб2Теорія поля. Лінії з роподіленими параметрами.DOC
#
09.11.20193.35 Mб2Теорія поля. Основні рівняння електромагнітного...doc
#
17.03.2016998.18 Кб33Теорія тепло-масопереносу.pdf